LES FORMES ÛUADIIATKIIJES TERNAIRES INDÉFINIES
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 102, p. 735-737 ( 39 mars 188G)
Une forme (juadratlfjue ternaire iiidéfinle peul toujours s'écrire (en changeant au besoin tous les signes) de la façon suivante :
F(.r,j, .-) = Y-^-XZ, où
\ = ax -h by -h cz, Y — a' .c -h b'y + c' z, Z = a" x -h b"y -h c" z,
les r/, les b cl les c étant des nombres réels quelconques.
Soii'iil maintenant a, ^, y, 0 quatre nombres réels tels que ao ^ py ^ i .
l'osons
X'= a^X-f-îa-c Y -i-Y^Z,
Y' = apX -H («0 -H Py ) Y + ySZ,
Z'= p«X-i-2(i8Y-+- SsZ,
\' = ax' -^- by -y- rz', \' = a'x' -h b'y' -h c' z', Z' = a"x' -\- b"y' -i- c" z'.
J'appelle S la substitution qui change x, Yi - «n x' , y' , z' . C'est une substitution linéaire et, comme on vérifie aisément l'identité
Y'î— X'Z'= Y2— XZ,
(m voit que S n'allère pas la forme F (x, y, z).
Si les coefficients de S sont entiers, on dit (jue S est une substitution
SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET LES FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES INDÉFINIES. 65
semblable de la forme F; si ces coefficients, sans être entiers, sont rationnels, nous pourrons dire que S est une substitution semblable fractionnaire de F.
Si les coefficients de F sont entiers, les substitutions semblables forment un groupe discontinu G. A la substitution S faisons correspondre la substitution (::,— ^)' Au groupe G correspondra ainsi un groupe g qui sera un
groupe tucbsien.
Nous sommes ainsi conduits à nous servir do ce que nous savons des groupes fuchsiens pour l'appliquer à l'élude du grou|)C G. Si nous envisageons, par exemple, les cycles formés par les sommets du polygone générateur, nous verrons d'abord que la somme des angles d'un cycle ne peut être égale qu'à 2t.
(s il n y en a qu un ), a -. a -p , a -. a - ou a o.
Il y aura un cycle où cette somme sera tï, si F peut être transf<irinée par une subsliintion de déterminant i ou 2 en une funne telle que
a" 3'^ -i- a x^ -h ib" xy -t- a y"^.
Il y en aura un où relie somme sera - si F peut être transformée |iar une suiistilul ion de délciiiiliiaut 1 ou 2 en une foijiic lellc que
Ti < '^ l \ ■ '>''^\ ■ T^ •
Il y en aura un ou relie somme sera - f ou hicn — 1 si r |)Out cire transformée par une subsi ilul i<in de déterminant i (ou bien 3) en une toi'iue telle
que
a z""- + ib" {xy — r^ — y''-).
H y en aura un où cette somme sera o si F peut représenter o, c'est-à-dire si F satisfait aux condilinns du paragrapiie 209 des Disq. arithm. Dans ce cas, le groupe fuclisicu sera de la deuxième ou de la sixième famille. Dans tous les autres cas, il sera de la première.
Il est un autre point sur lequel je désirerais attirer l'attention. On peut se demander s'il existe pour une fonction fuchsienney (c) un théorème analogue à ce qu'est le théorème d'addition pour les fonctions elliptiques, c'est-à-dire si l'on peut trouver une relation algébrique entre /(:•) et /(;T), T désignant une substitution linéaire n'appartenant pas au groupe g de la fonction y [z). Pour cela, il faut et il suffit que les substitutions communes aux deux groupes fuchsiens g et T~'^T forment encore un groupe fuchsien.
66 SUK LKS FONCTIONS FUCHSIENNES tT LUS FORMES Ql ADHATIOUES TEnNAlRES INDÉFINIES.
Il ne semble pas quil en soit ainsi en général; on sait pourtant que cela a lieu pour la fonclion niotlulaire; carsiy'(3) désigne cette fonclion, et ii un entier quelconque, il y a une relation algébrique entre /(;) et /' ( — )•
La même propriété appartient aux fonctions fuchsiennes f{z) engendrées par un groupe^, lorsque ce groupe^- correspond, comme il a été dit plus haut, au groupe G des substitutions semblables d'une forme V .
Considérons maintenant le groupe des substitutions semblables fractionnaires àa la forme F; ce groupe ne sera plus disconlinu. Soit alors S une quelconque de ces substitutions semblables fractionnaires, et soit a la substitution de la forme ( z, -- — \, \ qui correspond à i] de la même manière que g correspond à G. Il y aura une relation algébrique entre y(^) e\.f[z<s).
Pour obtenir ce résultat, il faut s'appuyer sur le principe suivant:
Soit r le groupe des substitutions linéaires à coefficients entiers et de déterluinaiil 1 .
Soit r' un sous-groupe d'indice fini contenu dans Y . On peut convenir de ne considérer deux formes comme équivalentes que si l'on peut passer de l'une à l'autre par une substitution de F'. On peut faire ensuite, à ce nouveau point de vue, la théorie de la réduclit)n des formes quadratiques : elle ne dilTérera pas de la théorie ordinaire.
LES FONCTIONS FUCHSIENNES
L'EQUATION
Comptes rendus de l'Acadcniic des Sciences, t. 126, p. 627-630 {28 février iSijS).
Parmi les é(|iialiuns de la t'oriue
où a est une IniKlKiii r.il iiiiiiu'llc ilc deux \arialjles .r cl j' liées par une relation algél)ri(|iie donncc
parmi loiiles ('cs (■([ual ions, dis-p', cpii adnn'lU'nl des |>oniU ■.ini;nliers donnés et de telle façon que la dillerence des racines de elia(pic éipialion délerminanle soit un entier donné, il y a toujours une ('quation fuclisienne, c'est-à-dire engendrant des foncticuis fuchsiennes.
Nous avons donné de ce fait, TM . Klein et moi. une première démonslralion londée sur le principe de continuité. l'Ius tard. M. l'icarda ramené la question à l'intégration de l'équation
(3) Aw = e"
et il a démontré l'intégrabilité de celle équation par une méthode qu'il a imaginée et qui consiste à l'établir d'abord pour un domaine assez petit pour l'étendre ensuite au plan entier.
Voulant éviter ce détour, j'ai cliercbé une méthode nouvelle dont je vais exposer maintenant le principe.
68 I.KS FONCTIONS FUCIISIBNNES ET L'ÉQUATION A(( = e«.
.riiUiiHiuis la surjitce di' KIrin : c'est, niin surficc fcriiir'o; l\ IdiiI |ii)iui /vV?/ de celle sur la ce (•(irr('s[iiiiiil iiii pu ml iriiai;iiiaii(' de la l'diirijc (2) cl inversemenl. Je pose trailleurs
Vu = \ll -j- t dix!
où (/(,) csl un cIciiuMil (le la surface de Klein et dil r(''lt''ineiil correspoudaiU du |ilau (les X. L'équaliua (3) se ranièiie alors à la forme
(4) DU =e «"-<!>,
où fc) cl <!' soiil deux tonclloiis données, laprcniicre toujours positive.
Le problème de la formation de l'équation fuchsienne se ramène à la délerjMiaalKiu de la louclion IJ qui iloil ('■Ire pailoiil lime.
L'analyse repose sur certaines ini^-^alilés très simples qui se d('duisenl d'une remarque unique : si U est maximum, \)U est néf;atif; si U est minimum, DU est positif.
Je commence pur intéj;rer léquation
(5) Du = f,
où » est donnée; cette intégration n'est possible que si
/ If dtii = 0,
l'inlcgrale étant étendue à tous les éléments diii de la surface de Klein. L'éipiallon (5) est de même forme que l'équition bien connue de la ibéorie du potentiel
AK = !p,
qu'on intègre [lar la Iniielion de ('ireen. L'ecpialion ( 5) s'intègre pai- un procédé analogue; la fonction (pii jonc le |-i">le île i.i l'onclioa de (ireen t'sl la paiiie rérdie d'une iiiti'i;rale abidieune di' l|-oisiéine esjièce facile à loiiner. .1 l'I ild M' eji -Mlle I ('ipial ion
( 6> D a = Xtj u — <f — /•},
où Y,, 'i. '1/ sont trois fonctions donni'es. la |ii'eniière Imijours |iosili\c et cm ), est un paramètre positil.
Je montre d'abord que l'c-quation est intégrabie pf)ur les petites valeurs de A et que l'intégrale peut se développer suivant les puissances de X. Je montre ensuite que, si elle est intégrabie [lour ";, = Ao, elle le sera encore pour les
I,ES FONCTIONS FUCHSIENNES ET L'ÉQUATION A(/ = e". 69
petites valeurs fie X — \q cl que rin(<''i;rale peut se iliSeloppor suivant les puissances de À — Xq. Je conclus que réqualion est inlégraMe pour toutes les valeurs positives de "k.
Il y a un cas où cette méthode est en défaut. C'est quand le polvi;one luclisien a des sommets sur le cercle fondamental; dans ce cas il y a des points où les f(jnctions r^ et 9 dc\ icnnent infinies comme
Dans ce cas, d'ailleurs, la méthode de M. Picard est éi^alement en (N'faut. Je ne puis entrer dans le détail des artifices que j'ai dû employer pour triompher de cette difficulté. Cela a été la partie la plus longue de mon travail.
Je me bornerai à dire que l'intégrale est toujours finie, qu'elle peut se développer suivant les puissances de )., mais que les termes du développement peuvent devenir infinis.
C'est ainsi que la fonction x^ reste finie pour x = o, si X est positif; (lu'cUe peut se développer suivant les puissances de X
x* = I -+- X \ogX H (iogj;)--!-. . .,
mais que les termes du développement devienucul inlinis pour x = o. Cette difficulté vaincue, j'ahorde l'équation
OÙ 9, o et A sont connus et positifs, et où X est un paramètre positif.
Je suppose qu'on sache intégrer l'équation (7) pour X = o; je puis alors former une série procédant suivant les puissances de X et satisfaisant à (7). J'obtiens chaque terme par riulégralion d'une l'quaiidu de la forme (6); et, grâce aux inégalités établies au (h'bul, je montre l'acileMUMit que la série converge, si X est assez petit.
On peut démontrer alors de proche en proche, comme pour l'équallcui (G), que l'équation est intégrable pour toutes les valeurs positives de X.
En résumé, l'équation (i) est intégrable si <I> est touj(jurs positif, et il est aisé (le conclure (ju'elle l'est encore pourvu que
(8) /'*f/to>o.
Cette condition est nécessaire et sufllsanti'. Il reste à vérifier que cette
7p LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET I.'ÉQIIATION A « = e".
condition (8) est remplie dans les applications que l'on a à faire aux fondions fuchsiennes. dette vérification est facile.
Ou ncut entrevoir la possil)ilit(' d'une dénionstralion rij;oureuse fondée sur le calcul des variations. Il est aisé de former une intégrale double qui doit être minimum si l'équation (4) est satisfaite. Mais ce genre de raisonnement n'est pas satisfaisant, parce que, celle iLitégrale dépendant d'une fonction arbitraire, il n'est pas ccriain qu'elle ail un niininniiu prii|u'cnicnt dil.
Heurcusenicnt, dans le piniilèuie quL nous occupe, la fonction inconnue (d[x., y) doit satisfaire à certaines conditions; elle dépend seulement d'un nombre Jlni de constantes inconnues. La fonction u dépendra donc ellemême d'un nombre fini de constantes inconnues. Notre intégrale double, ne dépendant plus d'une fond iiiu aii)itraire, mais d'un certain nombre de paramètres arbitraires, aura certainement un minimum et la démonstration pourra devenir rigoureuse.
