l'appelle X l'axe des quantités réelles
Je suis donc amené à chercber tous les groupes discontinus qui sont formés de subsiiiulions Juu'airi's ; cL tout d'abord, ceux dont toutes les substitutions ont (les coefficients réels et que j'appelle groupes Jitchsiens. De pareilles substitutions conservent les angles, elles changent les cercles en cercles et les cercles ayant leur centre sur X en cercles ayant leur centre sur X. Soient a, ^ deux quantités imaginaires; a', p' leurs conjuguées; je pose
fJ'P-a'
Envisageons deux arcs de cercle a j3 el yo ayant leurs centres sur X. Si l'on a
(a, fi) = (-;, 3),
il existci'a iiiu; sidisl itut loii à roi'llieieuls ri'i'ls qui cliaugera 7. |j en yo; je l'apprlji- la Mibslitiilion fa, [j, y, o).
Le groupe liielisun étant discontinu, iim; |)orlion du plan fpii e-;l la partie
située au-dessus de X sera partagée en région^ 1», l!/..aiiiNi que je l'ai dit
plus liant. Mais |)ar un raisonnement très simple, je iiioutre quoii peut toujours supposer ([ue ces r<''gions sont des polygones curvilignes siliu's tout entiers au-flessiis de X et dont ii'> eiités sont de deux sortes; ceux de la première sorte sont des arcs de cercle ayaiil leur iriilie mit \. eriiv de la deuxième sorte sont des segments de l'axe \ lui-ini'nie.
Deux côtés consécutifs de la |iieiuière sorti' seront aiii-i sépales par un sommet situé au-dessus de X et que j'appelle sommet de la preiuièrc catégorie.
SUR LA TUÉOniE DES FONCTIONS FUCHSIIÎNNES. 77
oti por un sommet situé sur X (;t (jue j'appelle sdinmet de la deuxièuic catégorie, ou par un côté de la deuxième sorte que j'appelle par extension sommet de la troisième catégorie.
Grâce à cette convention, il est clair que l'on rencontre, en suivant le périmètre du polygone, alternativement un côté de la première sorte et un sommet de l'une des trois catégories. Le côté qu'on rencontrera après un sommet donné sera le ciUé sui^ant, le somuiet qu'on renciuitrera ensuite sera le sommet suivant, etc.
Chacune, des substitutions fondamentales du groupe changera le polygone curviligne Rq en un polvg(Mie limitrophe, et par conséquent l'un des côtés de la première sorte ab de Rq en im autre côté cd de ce même polygone. Cela montre que les côtés de la première sorte de II,, sont en u()ud)re jiair et se répartissent en paires. Si deux côtés ab . cd a[)partiennent à la mihuc paire, ils sont dits conjugués et l'on doit avoir
Je vais maintenant répartir les sommets en cycles de la manière sunaiile ; on [)arlira d Un somincl ipielcmicpie, on envisagera le côté sui\ant, puis ^(II1 conjugué, puis le sommet suivant, puis le côté suivant, puis son coniugué, puis le sommet suivant, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l"on revienne au sommet qui a servi de point de départ. Tous les sommets rencontrés de la sorte appartiendront à un même cycle. 11 est clair que tous les sommets d'un même cycle devront appartenir à la même catégorie.
Un polygone R„ (et le groupe tuclisien G correspondant) sera de la première lainille si tous ses sommets sont de la première catégorie; de la deuxième lamille, s'ils sont tous de la deuxième catégorie; de la troisième, s'ils sont tous de la troisième catégorie; le polygone Ro sera de la quatrième lamille, s'il a des sommets de la deuxième et de la troisième catégorie; de la cinquième, s il a des sommets de la première et de la troisième catégorie ; de la sixième, s'il en a de la première et de la deuxième catégorie; et enfin de la seplièuic. s il en a de toutes les catégories.
Quand on connaît le polygone R» et la distiilmi ion de ses côtés en paires, le groupe fuchsien est entièrement déterminé, car on connaît ses substitutions fondamentales. .Si par exemple ah^ cd sont deux côtés conjugués, l'une des siilistilul ions fondamentales sera la substitution (a, b, c, c/). On saura construire le polygone curxiligne R qui sera conligu à Rq le long de et/, car ce sera
78 SUR LA THÉORIE DKS FONCTIONS FUCHSIENNES.
le lr.m>lornn' de Ro par la siil)stilulion (a, h, c, d). On saura construire de luèiue tous les polyiiones liinitr(i|)lies de R,, le liinp d'un quelei)n(]ue de ses côtés; ri idiiv les polygones liinllrophes de ecux-ci, et ainsi de suite. Pour que le groujie soit discontinu, il laut que les polygones ainsi obtenus recouvrent toute la portion du plan situi'c au-dessus de X et ne la recouvrent qu'une fois.
Soient A un point quelconque inlérieurà Ro,B un point extérieur à Ko, mais silu(' a\i-ili'ssus de X ; je joins A et B par une eouriie quelconque, AMB ne coup.inl jias X. Cette courbe sortira de Rq par un des ccUés Go de ce polygone et l'on pourra construire, comme on l'a vu plus haut, le polygone R( limitrophe de Ro le long de C(,; si la courbe sort encore de R) par un des côtés C| de ce polygone, on construira de même le polygone Rj limitrophe de R, le long de Ci ; je dis que, après un nombre fini d'opérations, on arrivera à un polygone R„ conlenanl à son inlirieur le point 15. Car si cela n'était pas, il y aurait nu pniui de AMB dans le voisinage diiqni 1 les polygones R seraient infiniment petits. Or, on démontre qu'un polygone transformé de Rq par une substitution linéaire à coefficients rc'els ne |)eut être indniment petit que s'il est inliniment voisin de X.
11 reste à examiner si le polygone Pi„ obtenu cnI le inriue quel que soit AMB, ou (ce qui revient au même) s'il se réduit à R,, (piand jVMB se réduit à un couliiur ieruK' AMA. Soit dune AMA iiii contour fermé (pieleonque; décompoMiiis-le en une infinité de contours inliniment petits. Pour qu'en siii- \ant AMA on retombe sur Ro, il suffit qu'en |)arcourant un quelconque des contours infinitésimaux^ on retombe sur le ])olygone d'oîi l'on est parti. Or, cela arri\(!ra évidemment pour tout contour qui n'enveloppera aucun sommet <le la première catégorie, et il suflil d'ailleurs d'i'tudier les ecuitours II qui en\i'l(i|i|icul le-, ^oinniiis de lv„, car le eoulonr (pi i ein eloppe un sommet de R^ se couipiuli'iM iiHumi' relui (pii en\el(ippe li' souiuiet correspondant de Rq- Pour iju'iii ilirii\,iul I un quelconque des contours II, on retombe sur Rq, il faut et il suffit que la somme des angles du polygone de Rq, correspondant à des sommets de la première catégorie appartenant à an même cycle, soit n/ie partie aliqiiote de 271.
3. Telle est la condition nécessaire et suffisante pour (|ue R,, donne naissance à un groupe fucbsien.
Citons quelques exemples de polygones R„ conduisant à des groupes fuchsiens.
SUR I.A TllKORlli UKS FONCTIONS l'I CIISIKNNES. 79
Premier cas. — Je suppose que R„ soil uu piilyiioiie île 211 côtés dont les
sommets se siiccèdeat dans l'ordre suivant : A, Ao, .•-, A„, A„^,, B„, B„ ,, ...,
BjiA, ; les côtés A, A2, A, Bo ; AjA;,, B^jB^, ... ; AaAa^,, B/,Ba,i ; .. .; A„A„^,,
B,, A„+| seront conjugués; il y aura alors /; + 1 cycles formés respectivement
des sommets
A,; A2, B.; A3, Bj; Ai.Bj; ...; A„,B„; A„+,.
On devra avoir
(Al, A,) = (A,, B2), (Aa-, Aa-^,) = (Ba-, B,,+,), (A„, A„+,) = (B«, A„+,).
et les angles A,, A2+ Bj, A3+ B3, ..., A„+B„, A,,^, devnuil èirc parties aliquotes de 27ï.
Deuxième cas. — Je fais les mêmes hypothèses que dans le premier cas, mais je suppose de plus que tous les sommets A,, Aj, ..., A„^|, B„, B„, , ...jB^, A, sont sur X et que tous les angles sont nuls.
Troisième cas. — Je fais les mêmes hypothèses que dans le premier cas, je suppose de plus que le polygone est symétrique par rapport à A, A„^, et que celle droite est perpendiculaire à X. M. Klein m"a fait l'honneur de m'écrire que ce cas particulier lui était connu depuis quelque temps, et que, sans avoir rien fait imprimer sur ce sujet, il y a fait une fois une allusion dans son cours.
Quatrième cas. — Je fais les mêmes hypothèses cjue dans le troisième cas et je suppose de plus n = 2. Je retondjc ainsi sur le cas étudié par M. Schwarz dans le Tome 75 du Journal ric Crellc
Cinquième cas. — Je suppose ipie les sommets du polygone Rq sont successivement A,, A2, ..., Ao„, et que les côtés opposés soient conjugués. On devra
avoir alors
Si n est pair, tous les sommets appartienneni au même cycle et la somme de tous les angles doit être partie aliquolc de 211.
Si n est impair, il y a deux cycles, formés, l'un de tous les sommets de rang pair, l'autre de tous les sommets de rang impair. La somme de tous les angles de rang pair comme celle de tous les angles de rang impair devra être partie aliquote de 2tt.
Sixième cas. — L'un des cas particuliers les plus remarquables des groupes fuchslens, c'est celui où les coefficients des substitutions (i) sont entiers; c'est
8o Sl'R I.A THÉOniE DES FONCTIONS FUCHSIKNNRS.
ce cas qui a lail l'uKicI tlc^ mliTossaulos rcclierclios de M. Klein sur l(>s loiir- I ion-- iiiodnlaires.
i. .rajuu'lle [loiitts si/i^>ulicrs il'iin j;rou|U' liiclisicii les poiiils dans le voisinafjc (lesquels les polvt;oncs R sont infiniment petits; pour les groupes des |)reniière. deuxième et sixième l.imillcs, tout Taxe X est une ligne singulière; polir ceux des autres lamilles. les pdinls singuliers siiiit isolés sur X, quoique en nomliri' inllni.
Si ( i es| de hi première, de la troisième ou de la cinquième famille, je dirai qu'une loucliun iinirormc ne présente d'autres singularités que celles de G, si tous ses points singuliers sont ceux de ce groupe.
Supposons maintenant que d est de la deuxième, de la cpiatrième, de la sixième on de la septième lamille, do la deuxième par exemple pour fixer les idées. Il pourra toujours être regardé comme un cas [)articulier d'un groupe variable G' sat istaisant aux conditions suivantes ; tous les groupes G' seront isoiuoiplies entre eux et d('rivés d'un même nombre de substitutions fondamentales; les coefficients de ces substitutions seront des fonctions rationnelles d'un jjaramètre il. Pour « >• o, le groupe G' sera de la troisième lamille; pour u = o, il se réduira à (j et sera de la deuxième lamille. ,1e <lirai alors qu'une fonction V(z-) n'a d'autres singularités que celles de G quand elle pourra être regardée comme la limite d'une fonction F'(;) n'ayaul d'autre singularité que celle de G'.
o. Outre les grou])és fiiclisiens, j'ai étudi(' dans mes comuiunications des 27 juin et 1 1 juillet i.SSi les groupes discontinus formés de siibsl itutions telles que (i), mais où ayt, [i^, y/;, o/, sont imaginaires. M. Klein ayant le premier donné un exemple remarquable de pareils groupes, je les ai appelés groupes kleinéens. Ne pomant donner ici, laiite d'espace, la manière de les tonner, je renverrai aux communications citées.
6. Envisageoirs le gn)iij)e fuclisien (j et la décom[)osition correspondante de la portion du plan située au-dessus de X en polygones curvilignes R„, R^i, .... Décomposons de même la partie du plan siIik'c au-dessous de X en polygones curvilignes J«[,JV|, .... symétriques de R^, R,, ....
Soit
tir-
V^TT --f-v/-i
SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS FUCHSIENNES. 8l
J'appelle respectiveinenl fonction fachsieiiiic et fonctio/i thctafuchsienne deux lonclions F(;) et 0( :) iiiiiforiiies, telles que
(m étant un entier), el ne présentant d'aulres singularités que celles de G.
Je dis d'abord qu'il existe de pareilles (onctions. Envisageons, en ellet, la série
(,) s, H (lÈl^) ,..,, + 5,)-2,« (.-,, + ^/TTT)-'"- = s(z),
