VY^.S -I
"Il //( est un entier plus grand que i cl iiii II( ;) est une louctiDii r.il loiiiiciic de z n'ayant pas d'infini réel.
Je dis que cette série est convergente. Considi'iNuis d'alidrd la x'iic
' dl/. \"'
Envisageons une aire C,, intérieure à H^; i[iiand ; reste inti'rieiir à (!„, z-i, reste intérieur à une aire Ca, intérieure eile-iiiéine à Ryi. Si ; reste intérieur à Co, t restera intérieur à une aire G|,, et //; à une certaine aire G^.; et il est clan' ([lie les aires G' seront intérieures au lercle qui a piuir centre l'origine et pour rayon l'unité, et n'empiéteront pas les unes sur les autres. La somme des aires C est donc (inie, c'est-à-dire que la série
(4) SCI.
est convergente. Si GJ, était inliniincnt petite, on aurait
c, V dl
G|, étant fini, ^ sera compris entre la plus grande et i,i plus petite \.ileur (pie
puisse picndre iiiod(-^j , (piaïul t reste intérieur à G|j. Mais on déinonlre
que le rapport de cette plus grande et de cette plus petite valeur reste fini, quel que soit />■. La série
7 la plus grande valeur de niod i—r-]
^mi \dt I
est donc conxergente, et par conséquent il en est de même de ÎC mod (-7-^1 et de la série (.5 j.
Mais on a identiquement
H p. — II. Il
8a srn i.a theouik dks fonctions fuciisiknnes.
et \c module tlo(; + y.''- i' ""'II(;;t) ii'iuii;ini'ril(- |i;in iikIi'ImuiiiciiI um'c /<. \a\ série (2) est donc couverf;eiile et sa soiniiic csl liid(|)<'iiihiiili' de Turdro do ses Icrmcs. J'ai suppose' qui- ; (Mail iiili'iicur à \\„. mais Ir im'iiii' laisomiciiiciil > appi i(ju('i'ait dans Ions les cas possildo, pourvu ipir ; ne >oil m un iiihiii de II, ni un point sinf;nlier de G.
La fonction définie pur la série (2) est donc uiiilor 1 n'a d'aulrcs points
sing;nliers essentiels que ceux de ("1. Si (1 est de la premicie, de la deu\iciiie on de la siMciiie taiiiilie, elle nexisie (piaii-elessus de \, el toute celle droite est pour elle une lif;ne singulière essentielle. Si (1 (;sl (riine antre lainille, elle existe dans tout le plan et ses points singuliers sont isolés, quoique en nombre infini.
Si G est de la première, de la lroi>icuie ou de la cin<[ulciiic lamillc, (■^(z) naiiia. d'après la delinilioii du paragraphe i, d'aulrcs slngiilariU's que C(dles de G. Si G e>t d'une aiilre ramille, de la deuxième par exemple, on l'cnNisagera comme un cas particulier d'un groupe Naiialile G', ainsi qu'il es! dil au paragraphe 4; la lonclion 0(-) sera alors un cas particulier d'une lonclion B' ( z\ roriiu'e -.wcc G', comme elle l'est avec G; on démontre que fc>'(;) Csl une tiuiclKMi Ciuiliiiue de // pour 11 ru et pour II > o; d (u'i
e(-) = lime'(;).
Mais 0'( ; I n'a d'aulrcs singulaiih's ([iic ccdlcs de G' ; donc (-)(;) n'a, d'après la ih'-linilion du paragraphe 4-, d'aiilres siiigulanles ipie ccllo de G. l''lle joiiil d'ailleurs de la proprn'K'
H(;/,) = e(;Kv<- + 5/J'""-
C'est une lonclion lliétalnchMcnnc.
7. Il esl lai lie de trouver le noiiihre des zi'l'os el des niliiiis de (-)(;) inli'rieiir> à l\„. Les infinis de (")(:■) son! en eilel ceux des louchons lalionnclles II (j>ij. (^on>idénuis un quel coin pie des luliiiis de II ( r- ) Ml ne au-dessus de X, el par conséquent dans l'un des polygones de M. \ cet iidini correspondra un infini de chacune des ('(niclions II( ;*), et chacun de ces iiilinis sera dans un polygone R dillerent; l'un d'eux sera inhjrieiir à Ro; il r(''siilic de là que le tiomhre des Infinis de H( zi inl(Mieurs à ll„ est ('gai ,'i cidiii des iiiliiiis de II ( z j supérieurs à X. (Je nonihre csi ilonc liiii.
Pour a\()ir colui df^ zérns, on prendra rintt'i;rale
\r limj; ilu jx'riinrlro ilc R„. Si G c'sl il<' la |)reml(;re, de la Iroisiômc i>ii de la cinquième t'aiiillle, ce calcnl ne présente aucune dinicuUé, car la soiiiine des inl('i;rales prises le luni; de deu\ e(')lés conjugués de Rg a une valeur très simple.
Si G csl d'une aulie lamille, (ui considérera W(;j d(' luènK' qu'au |)arat;raplie 4 cumiiie uii cas parUeui ii'r de (")'(;); la tonction B' ('tant Cdiilinue pour » ^ o, le no]ul)re des zéros d<' (-) sera éji;al au nombre conslani des zéros (le (-)'. iJaiis tous les cas, un Irotne (pie le nniuhre des zéros est (lui.
8. (lomme le i[U(il leul de deux lonclioiis ilK-ialuclisiennes correspondant ù un même i;ioupe (i cl à une Mi('me valeur de //( est une lonctiiui liodisienne, l'exisience des loiiciiims luelisiciiiies se lrou\e di'iuoui r(''e. Ces fonctions ne pourront prendre à liuierieur de cliacuiic des r(''i;ions R un nomhie inlini (l(! l'ois la uK^-me valeur.
Soient deux tonctious tuclisiemies F et F, corres|)onilaut à un même {iroiipe ( I ; à cliacune des valeurs de !'" corresp(Uidra un iiomlire lini de valeurs (le F, et réeipro(piemeul , de l(dle sorte que F et F, seront liées par une relation al^^ébrique. Toules les t'on(li(ms tuciisicnnes correspondant à un même groupe seront donc loiicli(Mis ali;('hriques les unes des autres. Elles s'exprimeront rationnellemeul en (onctions de deux d'entre elles que j'a|)pelle x et Y et entre lesquelles il v a une r(dation
[^e f;enrc de c<>lle relation est le i;('nre du i;roupe (1 et des fonctions correspondantes.
Soit
'' = Vdi'
la loiiclion - — — j s^*ra une fond ion liiclisienne et |>ar conséquent une fonction rai ituiiudle o(,r, 1) de .r et de )'. La fonction u est donc rintéj;rale de r('(pialiim liiK-aire
8i SUR LA TIIKUHIK l)i:S FONCTIONS l'UCHSIENNES.
S). Si (i l'sl lie l:i |iii'ini(''ro, de hi (Iciixiriiic ini de hi sivirmc laiiiille, el si II(;") n'a pas (l'iiiliiii sM|)<Ticiir à \, la r<iii(li(iii (•)(:■) n'a pas (riiiliiii cl, esl holoniiirplic dans ti>ulc la n-gioii siuiéc au-dessus de \, c'est-à-dire dans toute la réi;ioa «>ii elle existe. Elle peut donc toujours cire rcprésenice par une série ordonnée suivant les puissances Av I.
Lor-quc (i csl de la picniurc laiiiillc, cl si le noiuhrc entier »( reste constaiil, loulcs les lonclions (-)(;) sans inlliii s'expnuienl linéairement par un noiniirc lini d Cnlic tdles.
10. L.i prennèie <|uestion qui se présente csl la délerininalion du ^enre p de la relalion (5). On l'obtiendra en cherchanl li' nombre des cycles distincts tjue l'on pcul l'aire décrire au point auahlifjue (x, y) dans son |)lan luulliple. Ce nombre est égal à y.p. Jereinarcjue d'abord ipie, quand jr, y décrit un cycle dans son plan, ; décrit dans le sien un arc de courbe donl les extrémités sont des points corresjjondanls a, a.,. On obtiendra donc tous les cycles en joignant un point a ù chacun des points correspondants par tous les arcs de courbe possibles.
J'appellerai un paicil arc, arc cyciigue. Un cycle évanouissant esl un cycle qui II cnveIo]i[)c aucun poiul singulier; l'arc cyclique correspondant sera dil aussi évanouissant.
Je suppose, pour fixer les idc'cs, que G soit de la première, de la deuxième ou de la sixième Camille. Il est clair qu'il faut rejeter d'abord tous les arcs de courbe dont les exirémités s(î confondent et qui se réduisent à un contour fermé, caroii peut décom|)oser un |)areil contour en contours infinitésimaux, et, si .3 décrit un ciuilmir iuliuiU'simal , (a?, j>') ne peut décrire qu'un cycle évanouissant. De même deux arcs de courbe ama,, a/i*i ayant mêmes extrémités ne donneront pas naissance à deux cycles distincts, car le premier est équivalent au second, plus le contour fermé a, «ama,. J'obliendrai donc tous les cycles distincts en joignant le point a ;i cbaciin des points correspondants par un seul are de courbe.
Je dis de plus qu'il suffir.i de le joindre aux points correspondants limitrophes. En ellet, soit a, un point correspondant de a non limilro|)he de a; on pourra trouver une série de points correspondants
de telle façon que ileux pniuts consécul ils soie ni I iiiiilrophes. L'arc cyclique aa,'
SUR LA THÉORIR DES FONCTIONS FUCHSIENNES. 85
sera alors la réunion des arcs cycliques aa,, a, a,, ....a^a;;.,. a, , a,-. Or les
|ioinls a*, a/i^, étanl liniilr()|(lies, l'arc cyclicjuc (f-^-xk+i sera équivalent k un arc aa^, a^ étant limitrophe de a. Un cycle quelconque peut donc s'obtenir par une combinaison d'arcs cycliques tels que aa^.
Soient maintenant K, le polygone dans lequel se trouve a^; tih le côté de Rj qui le sépare de R| ; a' l>' son conjugut'. Il est <''vi(lcnl cpie les arcs cycliques aci\ OLOir, bb' sont équivalents.
D'où la refile suivante pour former tous les cycles distincts :
On considère un sommet quelconque a, le côté suivant, son conjugué, le sommet suivant n' et l'on joint aa' .
Mais ce nombre de cycles distincts peut encore être n'-duit si l'on remarque :
1° (jue, si ab, a' b' sont deux ccités conjugués, les arcs cycliques aa' et bb' sont équivalents;
2° Que tout contour l'eriiu' c^t un arc cvclifjue ('•i'onouinsajit ;
3° Que, si les points a et a' se contondcnt, l'arc aa' est ('■vaiiouissant.
