Appliquons ces principes à quebpies exemples

1° Supposons-nous jjlacés djus le pieiiiicr cas du paragrajjlie 3 <pii comprend le deuxième, le troisième et le quatrième. En applicpiant la règle précédente, on trouve les arcs cycliques

Tous ces arcs sont (Mpiivaleuts, car A^; Aa^.i . B^Ba^i étanl conjugués, les cycles A^B^ et Aa4.|Ba,, sont éipiivalents. Mais l'arc A, A, est évanouissant. Le nombre des cycles distincts est donc nul; la relation (5) est de genre o.

Dans ce cas, toutes les fonctions fuclisiennes s'expriment rationnellement au moyen de l'une d'entre elles que j'apjtelle x, et dans l'équation (6) ts devient une fonction rationnelle de x devenant infinie pour n + 1 valeurs de x :

a,= F(A,), «2= F(As) = F(B2), a,=: Fi^X,) = Fiti^) «„+, = F(A„+,).

Les points singuliers de l'équation (()) sont a,, a^, ..., ««+1. Si l'on n'est pas placé dans le deuxième cas, les intégrales sont régulières dans le voisinage de chacun de ces points singuliers, et la diflerence des racines de l'équation déterminante est une ])arlie aliquote de l'unité.

Dans le deuxième cas, il peut arriver, ou bien que les Intégrales soient irrégulières, ou bien qu'elles soient régulières et que les racines de l'équation

86 SUR L\ THKOniK DKS FONCTIONS FUCHSIENNES.

délennin.inle soit'iil égales. De plus, il est (''vident ([iie, il;ins ce lieuxième cas, la fonclion l'iichsienne x ne peul |)rendrc aucune des valeurs a,, a-^, . . ., a„+\-

Le nombre des paramètres arbitraires dont on dispose est égal au nombre des conditions qu'on s'imposerait en assujettissant ai,ai, ..., «„4.( à avoir des valeurs di'tcrininées. Mais une discussion spéciale est nécessaire ])i)ur si\i)ir si liui peut clVectix emcnt disposer de cc^ paramètres pour satisfaire à ces conditions. J'ai l'ait celte discussion dans (piel({ues cas particuliers, et j'ai reconnu qu'on peut toujours obtenir pour a, , a^, ..., rt«^.i des valeurs réelles données quelconijues et que si « = 3, on peut obtenir pour rt|, a-i, a^, a i des valeurs réelles ou imaginaires quelconques.

On peut donc toujours construir<' une tonclion l'uclisienne F(; ) ne pnuvant devenir égale à aucune des quantités

quelles que soient les valeurs réelles de ces (juantilés, ou bien encore ne pouvant devenir égale à aucune des quantités

a,, «2, <7:i, ot, quelles que soient les valeurs réelles ou iningiunires de ces quantités, a" Supposons-nous placés dans le cin(juiènie cas. Je dis que le genre de (5) sera — si n est pair et si /( est impair.

En effet, supposons d'abord, ])our fixer les idées, /( = /j- En ajqiliquant la règle, on trouve les arcs cycliques

AiAc, AsAg, A, A;, A1A4, A2A5, AiA,, AjAc, AjAs.

Comme chaque arc de la première ligne est ('quivalent à celui qui est audessous de lui dans la deuxième ligne, on peut s'en tenir aux quatre arcs de la deuxième ligne, qui sont tous distincts. Le genre est donc égal à a.

Soit maintenant n = 3; en applicpiant la règle, on trouve les arcs cycliques

A,A5, A3A1, A5A3, AjAi, AvAc, AcAj,

les arcs tie la deuxième ligne ne sont pas distincts de ceux de la première. Ceux de la première, eux-mêmes, ne sont pas distincts entre eux, car, placés bout à

SDR IX THÉORIE DES FONCTIONS Kl'CMSlENNES. 87

hmiL dans l'ordre suivanl

A, As, A5A3, A3A1,

ils lorinent un contour fermé.

Il reste donc deux cycles distincts et le genre est égal à i . c. q. F. d.