Je dis que n fonctions

sont des fonctions zétafuchsiennes si elles sont uniformes, si elles jouissent de la propriété

ni ^/. ) = a;*>: 9. (--) + ^ fii-) + • • ■ + A^*{ f,.{z)

(les A étant des constantes, dont le déterminant soit égal à i) et enfin si elles ne présentent d'autres singularitc's que celles de (j. Les substitutions linéaires

y'i = K%yi -H A^5>î + • • • + ^S.y"

devront évidemiiicnl former un groupe II isomorphe à G.

.rappellerai

(/Il (/.i i*)

les mineurs du d<lcrruinant des A''''.

Cela posé, je considère les groupes G et H comme donnés, et j'envisage n fonctions ralionmdles de ;, H,(;), H:.(;), ..., lljz), convenai)lemcnt choisies.

Je ((U'uie les n séries

(7) *x(;) = ^A[n'/[', H,(^/,) -4- ai*.i H2(;*:) -^...-^a-^'„ II„(-/,)] (-^z + 5,. )-■"".

Ces séries sont convergentes, pourvu que m soit assez grand. Elles jouissent de la propriété

*>,(-*) = [Ai*x'*,(3) -f- a5; *j(i;) H-. . .+ a:,'-, *„(;)] ( Y/.- -+- Sa)^"'.

(^n d<''moiitre dans tous les cas possibles (comme pour les lonctions thétaturlisiennesj que ces fonctions n'ont d'autres singularités (pic celles de G. Les loïKi ions

où (■)(;! est une loïKlion thétaliiciisicnne quelcoucpie, sont alors des tonctions z(''ialiirlisicnnes.

H est clair ipic tout (h'Icniiiiiaiil ii // !ii;iii'», où ch.icpie ligne sera formée

il lin >v>l(iiie lie n IdiiclKiiis zrlaliiclisirnnrs, srra lui-iiK'inr une lonclion tucliMcnno. D'aulro |i;ul, si ,r csl la lonclion liiclisieniic di'luuc an jiarajjniplip 8. les (l(''ri\(''fs irordic //; des fxi:-) par rapport, à .r formeront un syslèine de /( tonelions zélal'iielisiennes.

Il n'siille de là qu'un système de n fonctions zélafnclisicnnes

satisfait à une équation linéaire de la forme

où les P sont rationnels en x cl y.

13. Comment peiil-on reconnaître quelles sont les équations linéaires qui sont intéf;rables par les fondions zétafuchsiennes ? Je ne puis examiner cette question dans toute sa j;énéralité sans dépasser les bornes que je m'impose dans ce résumé. .Te me bornerai à (pielques exemples.

Considérons ré([ nation

dx" ' ' dx'--^

('s p sont

r.ilionnels.

I" Supposons d'abord (pi'cllc ne prc'sente que des jtoints sini;iiliers réels.

.Soient

ni, «2 1 • • • , dp

ces points sin};uliers; d'après ce (jiie nous avons vu plus haut, nous pouvons toujours construire une fonction fuclisiennc

x=f{z) ne pouvant prendre aucune des \alcurs

«I, «2. •■•, dp-

.Si l'un siil)slilue/(;) à la place de x dans i'é(jiiation (8), 11 est clair que les intégrales de ces équations seront des fonctions zétafuchsiennes de z. Une remarque importante, c'est fpie ces fonctions zétafiiclisicnnes ])einent être représentées par une si'iic nrdunnce suivant les puissances de i cl toujours coni'nr génie (' ).

(') C'est-à-dire convergente pour | < j < i, N. lî. N.

Toute l'oiiclion alj^ébrifjuf pmivaiil t'ire regardée comme riiitégralc d'une équation linéaire à coe(fîcients rationnels, le même procédé permet, si tous les points sijiguliers sont réels, d'exprimer par des fonctions uniformes d'une variable auxiliaire les co<:)r(lonnées des points d'une courbe algébrique.

2" Supposons maintenant que tous les points singuliers soient sur dill'érents cercles qui se coupent en deux points a et b sous des angles commensurables avec 27:.

Je puis, par un cliangement de variable très simple, amener tous les points singuliers à avoir des arguments commensurables.

Soient

ces points singuliers. Siipjjosons que tous leui-s arguments soient multiples de — ; les quantités