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seront réelles. On pourra construii-e une fonction fuchsienne /{:) ne pouvant prendre aucune des valeurs réelles

Comuiey^(;) ne peut devenir ni nul, ni inlinl, \''j(:-) sera uniforme en :; et Comme y (z) ne peut prendre aucune des valeurs

y/y (s) ne pourra prendre aucune des \aleurs a,^ a^, . . ., rip. Si donc on substitue yf{:-) à la place de x dans l'équation (Nj, les intégrales de cette équation seront fonctions zétafuchsiennes de z.

3" Nous avons vu plus haut qu'on pouvait toujours construire une fonction fuchsienne ne pomant devenir égale à aucune des quatre quantités

«Il «2. «3, Ci,

quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires de ces quantités. On en déduirait, par un raisonnement tout semblable à ceux qui précèdent, que' les lonclioiis zétafuchsiennes permettent d'intégrer toutes les équations linéaires à coefficients rationnels, toutes les fois (jii'il n'y a que ([uatre points singuliers.

go Sln I.V TllEOlllIC DES FONCTIONS FLCHSIENNES.

i i. rmil et' i|iii l'-l rchilil h \a CDiucr^ciicc des séries ( ■< ) cl ( -> ) s"ii|)|)l ii|iic encore si le i;rmipo (i est ini liiMiipo klciiK'eu (juelconqiio. Ou peul ilimc ilt'llnir (les roiiclious tlK'liikleiiir-ouncs, l\ leiiKTimes cl zétakleirK'eiiiies, aniili>i;iies aux l'oucliims tlu'hil'uclisieunes, tu('lisi( luies et zétaluclisieuaes, cl suscepliblos (les uièuics applical mus.

L'intégral i(iu tl'uue (■(|Mali(iii liiiraiic |iiiiMia, daus mu 1res ^land UDUiln'c de cas ( ' ), s'elleducr duuc laliuih' de luaiiières à l'aide des Iniiel mus zi'laiuelisiennes el zélakleiiii'enues ; ce (jui |ierniel d'i'lahlir eulre ces l'ouclidiis une inimité de relations que le di'daut d'espace n<' me |)erinet pas d'étudier dans ce résumé.

\i). Une autre application des r(ui(l ious luclisieunes est le calcul des intéi;rales alii'lieuues de preuiière espè<e. Kepi'enons, en elTet, les deux fonctions l'uclisiennes a? et )• déliuies au |iara:;raplie <S ci li('cs parla relation (5).

Soit

ff{x, r)da;

une iiit('i;rale ahélienne de première espèce quelcouqiu'. Ce sera une l'onction (Je z que l'appellerai G (5). On dé'uiontre aisément que si le groupe G est de la première, de la deuxième ou de la sixième lauiilie, G(;) est une lonction holomorphe de z toutes les fois que ; est au-dessus tie X; celle huiction jcuiit

(Je la propriété

G(3/, ) — G(-) = const.

Il est clair d ailleurs ciue G(;^ peut èlre représeuh'' |iar une série ordonnée suivant les puissances de t et toujours convergente.

16. Je ne parlcr.n pas ici des applications aritliiiK'l Iques des (onctions liiclisiennes, me horuaiit à rcmoyer à mes INotes sur les invariants aritlimétiques el sur l'applical ion de la gi'ométrie non euclidienne il la théorie des (ormes quadratiques [Association Irancaise pour rAvanccment des Sciences, Congrès d'Alger (-)]. Les invariants aritlimétiques se ramènent très aisémeni aux

(') J'ai déinontr*' rlans ma (/.omniunicalioii du S anùl (|ii(* 1rs fnncliniis zt'tafiiilisicninîs inlt"'^i"enl toute» les (-qualioiiii linéaires à coeflioients ai^éiirii|uc.s.

{'') ij avril 1881, p. io!^|-ii7: i(i avril i.SSi. p. i.j-?-i38. Cf. aussi le Mi'iimire Sur les invariants arilhmétitjues, Journal fUr die reine und angewandte Mathemalik, t. 120, p. 8(j-i5o.

SUR L\ TIIKORIE DRS FONCTIONS FUCIISIENNES. 9I

l'oiiflions tliéla(uclisieiiiies, et l'on |ieii( r.uueiier aussi aux groupes luclisicas les grou[)es de substitutions linéaires à roellicients entiers, qui reproduiseal une forme quadratique ternairr iudcduic à (•oclliricnls entiers (').

(') 11 rviste une expi'essioii In's sirnpli' du ^inii' p ilr hi ri'hilion (.'1). J'uppcllc • n li' iiouilii'e des toU'S de la première sorte, q celui des cotés de \i\ deuxième sorte, a celui des cycles foniiés de sommets de la première ou de la deuxième catégorie, 6 celui des cycles formes d'un nomlire impair de somiuels de la troisième caté;^orir, r celui des cicles rormc's rTuii noiulire pair de sommets de la troisième catégorie; on lrou\e

■ip^n — « -I- I

pour les fonctions de la première, de la deuxième il de la sixième famille, et

■ip — 211 — 3« — UC-H7 — b (")

pour les fondions des autres familles.

(" ) Le second memlire doit être : m — la — c -h 1/ — // il l'i'ciualion se réduit par conséquent 'i p = n — a. N. K. N.

OUI SK HKI'UOnilSENT