PAR DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES

Molhemalisclie Annalen, t. 19, p. 553-56^.

1. Les toaclious (jne je veux éliitlier dans ce Iravail ont les |>lii> i;Taii(les analogies avec les fonctions eili|ili(]nes cl modulaires qui n'en sont que des cas particuliers. On sait quels services les transcendantes à deux périodes ont rendus à l'analyse, et l'on comprend que tous les géomètres ont dû avoir l'idée qu'il y avait lieu de les généraliser. Les fonctions elliptiques ont pour propriété essentielle de se reproduire quand on augmente leur argument Ç de l'une des |)('-riodes. Le plan se trouve partagé en une infinité de parallélogrammes qui forment une sorte de damier dont I ensinnble ne varie |)as, mais dont les cases se perniulenl quand mi augmente (^ de l'une des périodes.

Nous allons rechercher s'il existe une fonction uniforme 1' (s) 4"' "c change pas quand on applique à X. l'une des substitutions linéaires en nombre infini

Je supp(jse qui- liiidicc ( piend toutes les vaicuis o, i, a, ... ad iiif. cl que l'on a

En d'autres termes, je cliiiche s'il y a (luc Iiuh linu iiuilniriie l"(^) jouissant de la propriété

F(Ç)=F(4±ii).

FONCTIONS UiMFORMËS QUI SE REPRODIIISF.NT PAR DliS SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. 9S

Il est clair que les siihstiliillons S, devront funner un i;roupe et un groupe

discontinu, c'est-à-dire que la [xu'lioii du plan où la IcuictiDU F existe peut

être divisée en une inlinilé de régions II,,, II,, ..., Il,, ... telles que ipiaiid 'Ç

a '' -H 3 • parcourt Rn, -^ W^ parcourt R,-. Ces diverses régions formeront, couiine dans

le cas des fonctions elli|)ti(pies, une sorte de damier dont Teiiseinble ne variera

|ias, mais dont les cases se permuteront quand on appliipiera à 'Ç l'une des

substitutions S,. A ciiacuiie des substitutions S, corresjiond de la sorte une des

régions R,-.

Si Ion aiioelle natiils (■(iifrsn<iiiil(inls \c^ (li\i'r> |ii)iul> -^ ^, la fonc-

1 11)11 b rejirendra la même valeur en tieiix (loiiits correspondants et il v aura dans cliacune des régions R,- un point correspondaul à un ]ii)iiu diuiiié et un seul. Deux régions R seront diie> lirtiiliup/n's (piaud elles senuit contiguës tout le long d'un arc tie leur périmètre. Les Miljstilutioiis ([ui etu'respondent aux régions limitrophes de Ro sont des substitutions Jondanicnlalcs dont toutes les substitutions S,- seront des combinaisons. Il eu résulte que le groupe sera complètement déterminé quand on connaîtra ces substitutions tondainentales et par conséquent quand on connaîtra le polygone Ro et les polygones limitrophes.

2. Je vais clieiclier d'abord à loriuer tous les groupes discontinus lormés de substitutions .S,- où les coefficients a,, p,-, v/, o,- sont rt'els.

Je les appelle groupes J uchsicns. Dans ce cas, il est aisé de voir (pie les régions R,(pii fcuiiicat le (hiniicr |icu\eai ('-Ire ii'diiiics à des polygones curvilignes situés tout entiers au-dessus de l'axe des quantités réelles (que j'ap|)elle pour abréger X) et ayant des côtés de deux sortes; ceux de la première sorte sont des arcs de cercle ayant leur centre sur X, ceux de la deuxième sorte sont des segments de l'axe X lui-in('me.

Chacune des substitutions fondamentales du groupe changera le polygone Ro en un polygone limitroplie R, , et par conséquent l'un des côtés de la première sorte ab de Ro eu un autre côté cd de ce même polygone. Cela montre que les côtés de la première sorte sont en nombre [lair et se répartissent en paires de côtés conjugués (afe, cd). Si a', b\ c', d' sont les quantités imaginaires conjuguées de a, b, c, d, on devra avoir

94 KONXTIONS INII-IIIIMKS QUI !>E RUPRODUISKNT PAU t)KS SlinSlITI TIONS r.lMÎAlnKS.

Voici nue rè^le pratique pour ((Miner les cycles; on partira dim sommet (|ii(dconipie. (ui considtjrera le C(")t('' snl\ant (eu parcourant le périmètre de R^ dans un sens convenu) si ce C('it('' esl de la premitTe sorte, puis le C()tt; con- |ii^iie. puis le MHiiiuel sunani, puis le ci')l('' sui\aiit s'il est de la première sorlc, puis son cou juj;u('', etc.; on ne sera arrêté que si l'on arrive à \tn rnlr de la deuxième sorte, aiMpud cas le cv( le sera oui'erl, ou m l'on retomlie sur le sommet qui a ser\ i de poiiil de di'parl, ancjncl cas le cvcle scia Jcriné. Tous les sommets reiiconlr(''s de la siirle tormeront \\i\ cycle.

Un cycle feriiK' sera c^le la première cah'^orii; si Ions ses somniets sont andessus de X et (le la deuxième dans le cas c(Mitraire.

Nous avons \u que, pour déleriiiiiier iin i;roupe (uclisien il siiKll de connailre Ro cl la dislriliution de ses ci')i,('s en paires. On connaiL en (dlct les substitutions londamenlales, et l'on jieiit construire les polygones limilroplies de Ro, puis les polvi;oi)es 1 1 mil ii)|)lies de ceux-ci, et ainsi de suite. Pour (jiie le j;roii|ie I nelisicii existe, il laiil el il sullil (nie les poly^(nies ohleniis de la sorle recou\ iciil 1(111 le une pari le du plan cl ne la recoin re al (Ui une lois, de iiian lèrc à lormer un dam ler.

(^uidles siini les ((uidilions iK'cessaires et suKisaules ponrqu'il en soitainsi? Je lésai di'ieriiiiiieis par des procédi's emprunh's à la j;éométrie non eiiclidi(,'nne; j'ai ukuiI n'' (judiil re la ((UidilKui ( i ) le poljjj;one Rq esl assujelti à la C(jndil nui siii\ante :

La somme des aii^Lc.s <jai coiresjMJ/n/c/il aux diicjs sommets d'un cycle de la première catégorie doit être une jxii lie aliquote de 2ti:.

3. rour lormer Ions les j;roupcs luclisiens, il sutlii.i diuie de hunier tons

FONCTIONS UN'IFORMKS QUI Slî RIÎPRODUISKXT l'AK DES SUBSTITUTIONS I.INKAIRES. 9^

les |iiil vj;()ii('s R(, (lin snli>l(iiil ."i CCS (lcM\ Cdiidil imiv. Ivi miici i[iicIi[iics oxcinplcs :

Pkemieii cas. — Je sii|i|)i)sc (|iic I!|| sciil Mil |iiiUi;imc de ■m C()l('s de la |ireiiiici'c soric doiiL les siiiiiiiicls si> Micccdcnl d iiis Idrdre siiniiiil : A,, Ao, . . .,

A„, A„+,, B„, B„ 15., V,; les côtés A, A,, A,Bo; AoA;,, V>Ai,\ ...;

AaAa+i, BaBa+, ;■...; A„A„+,, B„A„^|, seront conjuj^ués; il v mmim alors n + I cycles formés respectivement des sommets

A,; A.,, B.; A3, B^; A.„Bj; ...; \„,I5„: A„, ,.

Le |)uljyone Ro satisfera à la condition (ij et de [iliis les angles A,, Aj f-B^, A3 -|- B3, . . ., A„ + B„, A„^, seront des parties uliquotes de 27t.

Si je suppose de plus que le polvj;()iic est syiii(-l rifjiie |>ai' iM|iport à A, \„^( <;t que cette droite est perpendiculaire à X, II,, se troii\eiM di\ isi' en deu\ piil vgones R'g := A, Aj . . . A„^, , et Rg=;A,BaB3, ..., B„A„^.| doui imis les anj^les seront des parties aliqiioles de Tt. Chacun des polygones R,- du damier se trouvera de iiièiiie divisé en deux poljgoiwvs R| el R" . Le damier sera ainsi lormé d'mie iiilinitc de polygones R^ , R') el de li Ile sorte que deux polygones limiti'iiplies SDieiil <l('ri\cs l'un île I aulre par une Ir.insloriiial ion par iiiyolis vecti'lirs i-i'cipioques (pii n'allcre pas leur Ininlière cominiine. Si l'on suppose en particulier « = 2, on retomliera sur It; cas exaiiiiiK' par \\. Scliwaiz au tome 7o du Journal de Crelle.

Di;uxii-;ME cas. — Je suppose que les scmiiiiets du pidygone Rq soient au nomlirc de 2« el que les ciîlés opposés soient conjiigui's. Si n est pair, tous les sommets appartiennent au même cycle et la somme des angles doit être une partie aliipiiile de ->—. Si // esl iiiipaii', il v a deux cvclcs loriiiés, l'uii de lnus les somiiicls de rang impair, I auliv de Ions les somiiicls <le rang pair. La scmime de tous les angles de imii^ pair, cominc c<dle de lnus le> angles de rang impair, devra di\iser 2%.

TiioisiicME CAS. — Ro a liiiit sommels A, B, C, I), E, F, G, H; les côtés BC, DE, FG, HA sont de la deuxième sorte; les etités AB el CD, EF et (JH sont conjugués; tous les cycles sont ouverts; un pareil polygone n'est assujetti à aucune condition.

(^UATUii;viE CAS. — L'un des cas pari iciil lers les plus remarqualiles est celui où les coellicients des S, soni euliers, ci ipii a fait l'objet des savantes reclierclies de M. Klein sur les fonctions modulaires.

96 FONCTIONS UNIFORMES (Jl'I SE HKPRODHISENT PAR DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES.

t. .l'iii sii|i|n)M' |iis([ii'i(i (|Mc le-. co('l(i(i(Mil> des S/ ôluiciil ri'cls; il est t',i(ile lie lairo mu' proiniùre i^ciK-ralisalinii. l'osons

at,-hb "' ct-hd

c^ -\- d aÇ+6

Vc^^d-^"'

n, b. c, (I cU\n\ quaire coiislantes imaginaires telles (juc

ad — bc = 1.

A la sulisl iliitinn S, correspond la substitution linéaire

dont les eoeflieients sont imaginaires. Mais, de même que les suli>titulions S,-

conservent X et changent également en lui-même le demi-plan qui est au-dessus

de cet axe, de même les substitutions T, eonserveroni un certain cercle quia

pour ('quation