partie iinaeiiiaire de -i ; = o

"^ cJ^ -h d

et fine | 'a|ipi lierai ct'/c/'' /'^/hA//»''/;/^^/. De plus, si les siiljst iliitions S, tonnent un groupe discimtinii, il en sera de même des substitutions T,; à cliacune d'elles correspondra, comme dans le cas précédent, une case d'un certain damier formé par des polygones R dont les côtés de la première sorte sont des arcs de cercle coupant ortbogonalement le cercle fondamental et ceux de la deuxième sorte sont des arcs du cercle fondamental. Mais la surface totale de ce damier sera iinie (contrairement à ce qui avait lieu dans le cas j)récédent), car elle ne recouvrira que l'intérieur du cercle fondamental ou une partie seulement de ce cercle. iNoiis conserverons le nom de fuchsiens à ces groupes dont les groupes à substitutions réelles ne sont que des cas j)articuliers.

Reste à examiner le cas le plus général, celui où l'on ne fait aucune hypothèse sur les substitutions S/. Dans ce cas, il y a encore des groupes discontinus que j'ai appelés kleinéens et dont j'ai démontré l'existence et étudié le mode de génération par des procédés empruntés à la géométrie non euclidienne à trois dimensions. Dans certains cas particuliers, des méthodes plus simples peuvent être employées ; mais, dans le cas le plus général, les conditions auxquelles sont assujettis les groupes kleinéens sont très complicpiées et ne |)eu\eiit être énoncées ici. Wous aurons encore un damier dont les cases, en nombre inlini,

FONCTIONS UNIFORMES QUI SE UEPIIODUISENT PAR DES SUBSTITUTIONS LINEAIRES. 9/

seront des polygones liinitiJs par des arcs de cercle, eL doiiL lu surtace lotale sera en général finie.

o. De re^istence des groupes disconliniis on pourrait sans doute, par des procédés analogaes à ceux de IM. Scliwarz, déduire celle de fonctions nnitorines reproduites par les suhstiUilions de ce groupe; mais on n'aurait |ias ainsi l'expression explicite de ces transcendanles. Aussi est-il préférable d'eiiipli>ver d'autres inétlioiles. Mon point de di'part est ce t'ait cpie la série

Zj 17,^ + 0,)-'"

(où m est un entier plus grand ([uc i) est convergente, .le m'appuie sur ce que l'aire totale du damier est finie : dans les cas particuliers où cela ne ser.iit i)as, un chaiii;eineiit linéaire convenaljlcuient cluiisi Ar la varialile mius rauiènerait

au cas général. La sf'-rie

où H(s) estime fonclion latiiuinclle quelconipie, est convergente et définit une fonction uniforme de Ç

Cette lonction |(>uil de la pidpriélé

I )(■ plus, le niimlii'c des zéros et des inliui- de celle tond ion inti'rieurs à R,, est hMi|iinrs liai, ic (|ue i'étalili> par la coiisidéial inu de liuli'grale

si aucun de-- aiii;lcs lie !'»„ u i'~l nul. cl pai' un rals<uineiuenl plus ciimpliipié dans If c.is ciuilraii-e. (-) ( !^ ) s'apprl Icia nue liMichun I lirli( / iir/isn-ii /ic mt l/ii'lali li'Uiccn iu\ selon ipic le i;riin|ic coirespniiilaul sera Inrlisicn ou kleinc'en.

Soit F(^Ç ) le (piol lenl de tieux fnucl loiis (elles que <■* I ~ i correspondant à une même valeur île //(. 11 est clair ([u'.'i l'intérieur de lîo celle lonction n'aura qu'un noinhre fini de zéros et d'inlinis el qu'elle jouira de la proj)riété

INous a[ipelleions y(<//r//o/; yWc/i.s7'c'/(//c i ou kleinéenne) toute fonction jouissant de ces deux pro[iriétés.

P — II. i3

gS FONCTIONS liMKOlUlIÎS Orl SR IIRPRODIIISENT PAU DKS SUBSTITUTIONS LINKAIBES.

Occiipoii^-iuiu^ (1:11)01(1 lU's loncluHis liiclisiciiiies. Si le |>olvi;()ne llo ii ^dmel pas lie <"vele (nivert, les liinctuias (•) el I' n'existeront ([u h rLutciieiir du cercle foiidiinieiital dont la circoiilérence est poin' (dies nue lii;ne sini;ulii re essentielle. Dans certains cas particuliers uk'mic, les transccndanles n'existent pas d.in- tout le cercle fondaniental, mais seulement dans un domaine limité par une intiniti' de cireonlérenccs coupant ortliof;onaleinent le cercle fondamenlal ( ' ). Si au contraire R,, admet des cycles ouverts, les tondions (") et F existent dans tout le |daii et leurs points sinijuliers sont isolés, quoicjue en nomhre infini.

Supposons de nou\eau(jue Rq n'adiiiellc pas de cycle ouvert. Si ll(î^) a des infinis intérieurs au cercle fondamental, la fonction 0 aura des infinis et l'on sera certain qu'elle n'est jjas identiquement nulle. Mais siH(!^) ne devient pas infini à l'intérieur du cercle foiK^lameiital, la fonction 0 sera holomorphe à 1 inU'i'ieur de ce cercle et p()iirra ni(''iiic ('ire ideiil ujucmenl nulle. Kl, en ellet, (Ml \oit aisément (pic toutes les fonctions 0 sa/is in/ini peinent {pour une même i^aleur de ni) s'e\[)rimcr linéairement |iar un noinhrc fini d'entre elles. Ces relations linéaires, dont l'existence se démontre aisément apriori^ peuvent être effectivement écrites, j;ràee à la considération de fonctions auxiliaires de la forme

C2) V l£iL±i:iZ ___L__ .

C'est de la iiK'iiie manicic (pidii arme ."i exprimer une louclioii fuchsienne donnée à l'aide de séries telles c[ue 0 et cela d'une infiniU'de iiumières; mais je ne puis insister davantage sur ce point, cela m'entraînerait trop loin.

Passons inaiiilcnant aux fonctions kleinéennes. Les unes existeront dans tout le plan et auront des pijinls siiij;iillers is<ilés ; les autres n'existeront (|ue dans un certain (loiuaiiie. La limilc de ce domaine n'est pas une coiirhe analyti(jue; la tangente en un de ses points est géïK'ralciiiciil (Iclcniiiiiée, mais il n'en est pas de même du rajoii de coiirljure.

6. Entre (lcii\ l(Mlctlon^ IucIimciiucs (ou klciiK-ciinc^ ) 1' cl !• , correspondant il un même ijroiipc, il v a loiipiiir-' une lelalioii ali;('liri(pic, car ii imc xalciir de K correspondent un nomhre fini de Naicur^dc I' , et réciproquement. lOiiles le-, fonctions ipii correspondent r'i un nK'inc i;rou|ie s'exprimeront doue ralion-

('; Ce cas cj'cxct'pl ii-Hi iiu p.o lieu; I;i fijnr:lion cxi^lc louj(nii> daii;* loul le cercU- fuiidaincnldl.

N. li. N.

FONCTIONS UMFOItMES QUI SE REPRODUISENT PAR DKS SUBSTITUTIONS LINEAIRES. 99

nelloment en lunclions de deux d'entre elles que j'appelle x el y el entre lesquelles il V a une relation algébrique

i.h\v\ est Ir ^curr de celte iidalion '.' La ;;é(iMiL'lne desilualuui |)eruiet aiscnienl de le détermiiier. Soient 'in le nombre des côtés de la première sorte, j9 celui des

cycles fermés. Le f>enre sera ; — s'il n'y a jias de cycle ouvert et n — p

s'il y en a. Reprenons les exemples que nous avons envisagés plus baut. Dans le premier cas, le genre est nul; dans le deuxième, il est — ou > selon

que « est pair ou impair; dans le troisième, il est égal à 2.

7. Nous allons voir maintenant comment les fonctions x et y définies plus baut |)ermettent d'intégrer certaines (■(pjalions linéaires du secimd ordre. Soit

v%' ^'^^VS'

les fonctions c, el Cj seront des intégrales d'une équation liiu'aire du second ordre de la forme

» étant raticmnel en x et en j-, et )• étant lié à x \y.\v lu relation algébrique (3). Ici X est une fonction fuclisienne ou kleinéenne du rapport !^ des intégrales. // existe donc des équations linéaires de la forme (4) telles que la variable indépendante soit une fonction uniforme du rapport des intégrales.

Il s'agit maintenant, étant donnée une équation de la forme (4), de reconnaître si x est lonetion fuclisienne ou fonction kleinéenne, ou encore fonction non uniforme du rapport des intégrales el, dans les deux premiers cas, d'exprimer X à l'aide des séries 0. Le second problème peut se résoudre à l'aide des considérations dont j'ai parlé plus baut et qui permettent d'exprimer toute fonction fuclisienne par les séries 0. Disons quelques mots du premier problème.

Les condili(jns auxquelles sont assujettis les coefficients de l'équation (4) pour (jue X soit fonction unifoiiue du lapporl des Intc'grales sont très compliquées; VOICI quelle est la lorme la [)lus simple sous lacjuelle on pourra les présenter : on pourra exprimer les coeflicients de l'équation (4) en fonctions transcendantes, mais uniformes d'un nombre égal de paramètres auxiliaires convenablement cboisis. Les conditions cbercliées se réduiront alors à un cer-

loo FoNrrioNS l'MioiniKs on su REpnoninsKNT par des substitutions liisé;aihks.

liuii noiiihro tl'iu('j;Mlil( ^ <iii d (•i;iilil(''s {i/gi'fj/iqiics entre les pnrlies réelles et imaginaires de ces niiii\c.\ii\ iiMiniiièlTcs. .le ii<- jiuis Ici entier ihins plus île ili'tails.

8. Jajduter.u (('iicinlMnt qiichjuiN mots en ce ([ui concerne le cas le jilus simple, celui où I itpiation ( j) est île la tornie

Pn étant un polynôme de degré n en x. Supposons d'abord

(5) aSî, Pi2, ..., )^^2, na=< + p +. . .-I- X — 2.

C'est le cas (u'i les intégrales sont légulières (suivant l'exjjressinn de M. Fuclis) dans le voisinage de chacun des points singuliers a, h, ..., /, ce. Pour que x soit une fonction uniforme du rapport des intégrales, il faut d'abord que la dilTérence des racines de chaque équation déterminante soit nulle ou soit une partie aliquote de l'unité. Mais celte condition n'est pas suffisante. Si de plus les coefficients de P„ satisfont ii certaines inégalités, x sera fonction l>lcinéenne du lapport des intégrales; s'ils satisfont en outre à cci-taines égalités, X sera fonction fuchsienne de ce rajiport. Donc, si l'on suppose remplie la condition relative au\ ('quations déterminantes, il suffit pour que x soit fonction uniforme du ra|)port JJ des intégrales, que certaines quantités soient comprises entre certaines limites; pour que ce soit une fonction fuchsienne de ce r,i|ipiul r, il lant eu outre (jue ces (juaulilc's prennent cerlaincs valeurs déterminées.

Si X est fonction fuchsienne de î^, cette fonction n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental. Si nous supposons de ]>lus que les racines de chaque équation d(;lcrininanle soient égales, nous verrons aisément que x ne peut prendre aucune des valeurs a, h, ...,/, ce quand !^ est intérieur au cercle loudamenlal.

Supposons maintenaul (|nc les ini''galil(''s (5) cessent d a\oir lieu, de telle sorte que les intégrales dcNieniicul i/iy'giilirri's. Dans ce cas, .r pourra encore être fonction fuclisicune de ^, mais celte fonction, au lieu d'exister dans tout le cercle fondamental, irexi>lera |i!un (pie dans un domaine liniit('' par une infinité de cii'coiiférences qui couj)ent orthogonalemeiil ce cercle (' ).

(') Ce résultat a cU- relire plus lard. Cf. Mémoires sur les fnnclions zétafiiclisiennes, Acla malhematica, t. V, p. 211; et ce tome plus loin. N. E. N.

FONCTIONS UNIFORMES QUI SE RKPROmilSENT P\R DES SUBSTITUTIONS LINEAIRES. loi

9. Nous avons vu qn'mio fonction Inclisioiinc peut s'oxprinior à l'iiide de séries telles que 0; mais on en peut trouver beaucoup d'autres expressions. Si par exemple x ne peut devenir infini quand X^ est intérieur au cercle fondamental, on pourra exprimer cette fonction par une série toujours convergente et ordonnée suivant les puissances croissantes de Ç — vo (Co élan! le centre du cercle fondamental). Dans le cas conti'aire, on pourra représentera d'une infinité de manières comme le quotient de deux pareilles séries dont on pourra calculer les coefficients par récurrence. Enfin, nous pourrons encore exprimer une fonction fuclisicnne d'une infinité de manières à l'aide de séries telles que (2).