J'ai démontré le théorème suivant

On peut toujours construire une fonction furhsienne 1' (s) n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondamental et ne poinii/il prendre à l'intérieur de ce cercle aucune des n + i valeurs données

«1, (72, . . . , a„, oc.

Le calcul numérique des constantes (jui servent à construire cette fonction est assez long; mais si, au lieu de calculer exactement ces constantes, on n'en prend que des valeurs approchées, on aura construit, an lieu de F(!^), une lonctiiin kleini'i'nne jouissant des mêmes propriétés.

Ce tliéijrème a une ])remière conséquence importante. Soit une relation algéhriqiic qu(d(oii(pie

admettant comme points singuliers

Faisons-j

F((^) étant la fonction définie plus haut; tant que ÎJ sera à l'intérieur du cercle fondamental, x ne pourra passer par aucun des points singuliers; si X, sort de ce cercle, x cessera d'exister. 11 résulte de là que j' est une fonction uniforme de Ç qui n'existe qu'à liiilciiciir du cercle fondamental et l'on voit aisément que cette fdnction e>l inu' fonction fuchsienne.

Donc les coordonnées des points d'une courbe algébrique quelconque peuvent s'exprimer par des fondions fuclisiennes d'un même paramètre "C,.

lOJ FONCTIONS TNIFORMKS OUI SK RtIPRODUISENT I'\R DKS SUBSTITUTIONS LINÉAIRES.

II. CiinsiilorDiis maintenant une (■■<|nalii)ii liiK'aire (juclconqne

(6) -; h P„ o -; r -+■ P„-i-} T -^. . .-f- P| -7- + Pu'' = O.

^ ' rf.r" dx"-^ dx"-^ dx

Je siionose (lue les I' sdieiit îles foncticuis lallonnelles de Jeux vnriaMes x et V liées entre elles |iar une relation ali;ébii([ue

et qu'on ait t'ait disparaître le coel'ficicnt <le , ^^^ , ce qui est toujours possible. Soient

«,, ai, ..., (lu

les points singuliers de l'équation (7) et les infinis des P. Faisons, comme dans

le paragraphe précédent,

On di-monlrcrait, par un raisonnement tout seml)laljie à celui qui précède, que les « intégrales de l'équation (6) sont des fonctions o, (!^), fi(Ç)-i •••, '■••ni'^) uniformes en t et n'cxistLiiU cpi'à l'iutt'iieur du cercle fondamental. Ces fonctions, comme I' ( v ) d'ailleurs, peuvent s'ex|)rimer par des séries toujours convergentes ordonnées suivant les puissances de J^ — Ko et dont les coefficients se calculent par récurrence.

Ii2. .le dis (pie II fonctions

sont des fondions zétafuchsiennes si elles sont uniformes et si elles jouissent de la propriété

Les A sont des constantes dont le di'terminant est l'unité, et les substitutions (s, ^^ 1^1 sont toutes celles d'un ;;roupe fiichsien G. Les substitii-

I ions lin('aires

j'y = Ai.) 7,+ \i,\yi-^...+ Ai,xr„

devront <•% idcmmenl former un groupe II isomorplie à (i.

Les fondions (S), '.521 ••■? 'fn <^'" paragraphe pi('(('(leiit sont ('v ideiiimeni des fonctions zétafuchsiennes, ce (pii me permet d ('iioiicer le r(''sullat suivant :

Toute cifiuttion dijf'érenllclh- tim-aira à coej/lcir/iis alg(-hii<iues est inlégrulilc nar les joitctions Juclisicnnes et zélaf uchsie unes .

FONCTIONS UNIFORMES QUI SE REPRODUISENT PAR DES SUBSTITI TIONS LINEAIRES. lo3

Mais le procédé indiqué au |)aiMf;ra|)lie |irécédent n'est pas unique: au lieu de suljstituer V(^} à la place de x dans réqualion (G), on aurait pu suljslltuer une inlinilt' d'aulres fondions t'uclisiennes et l'on aurait égalemenloljtenu pour les inti'jJTales un systènie de (onctions zétafuchsiennes. On aurait pu aussi substituer à la |>lace de .x une infinité de (onctions kleinéeanes, el les intégrales auraient été des fonctions zétakleinéennes formées avec un groupe kleiuéen coinine les fonctions zétafuchsiennes le sont avec un grou[)c fuclisien. Le nombre des Intégrations de l'équation ( () ) ii l'aide des transcendantes nou\elles est donc infini.

13. Nous ue pourrons dire l(Hitelois (|iK' nous a\.Hi-. intégré ré([iialion {^(') ) que (juand nous aurons donné une exjiression e\plicite des fonctions »,, (S-,, ..., o„ ; nous en avons une déj.à, il est vrai, sous la (orme de séries ton jouis convergentes et ordonnées sui\aiit les puissances de ^ — î^or 'H' liicn encore sous la forme d'un quotient de deux pareilles séries. Mais on peut en donner une expression didéronte analogue h celle des (onctions (iiclisiennes à l'aitle des séries 0.

Soient (en reprenant les constantes A ilu paragraphe précédent)

les mineurs du déterminant des A'.

Cela posé, je considère les groupes Ci et FI comme données, et j'envisage /( fonctions rationnelles de t^, FI, (Ç), llufl^i, ..., H„(!^). Je forme les n séries

Ces séries sont convergentes, |)our\u «pic //;, soit assez grand, lilles jouissent de la propriété

*). ( '''l'^t') = [ Ai,x i», ( T) + Aj >.<!.,(!:)+...+ a;, >.*„( r )]( Y, ; + o, i^"'.

Les n fonctions

où0(vjest la série du paragraphe o, scuit des fonctions zéladichsicnnes et, SI l'on considérait un système quelconque de fonctions zélafuclisieanes, on

1<>4 PONCTIONS UNIKOKMRS Ql'l SK lUM'IlODUlSICNT l'An DtS Si; IISTITIITIONS LINKAIIIKS.

vorrail (juc ces fondions peiivoul loiijoiirs s'cxpiiinci' imI loniiclleiiicnl |);ii- un certain nombre de séries de la forme &(X) cl de séries de la loiine (y).

1 S-. Ji' n'ai pu iIduikt ici les diMiionsIral ions de ces I licoivnics, je n'ai ]in i|u (•iinni'cr di'S rcMillals cii >up|)riiu,uil l(iu> les i'aisiuiiiciiiciil> mlcriiiédi, lires que jo publierai procliainement (Jans un travail de lonj;ue baleine. L'énoncé des résuUats eux-mêmes n'a pu être complet, je piie le lecteur de vouloir iiien m'excuser.

Je ne parlerai pas ici des applications tles fonctions t'uciisiennes à l'aritliméiKjuc et au calcul des intéj;ralc> abélienncs de prenuère espèce, et je me bornerai il rc'suuier en ces ipielques lij;iies les résultais île ce travail :

Si l 0/1 emisage une rijintlio/i di Ifi-icntu'lli' liiu'aire à coejjicicnls iili^el>ri(jues , un peut f'.rprii/irr lu varitihle indépendante et tes intégrales en fondions uniformes d'un même paramètre î^.

Ces fonctions uniformes peuvent d'u/ie infinité de manières s'e.rprimer rationnellement par un certain nombre de séries à coefficients entiers ou rationnels ( ' ).

Paris, 17 décembre 188t.

(') Die vorsletiend :iljgt*dructvte Ariteil dfs IleiTii I*oincarc resuinirl ^cwisse liesullale, welciie der Verfasser in einer tieilie aufcinanderfolyender Artil^el in den (-onipU'S rrndiis dièses Jalires milgetlkeill tiat. lis wird Ivauiii niitliig sein, dieseljjen der Beaclilun^ der Mallieriiatilier nocli Ijesiindcis zu einpfelileii. Handett es sicli docli um Kunclioiien, welclie geeigiiet sclieinen, in der Lelire von iten algelnaisilien Irralionalilalen den Aliel'selien I-'unctionen erfol^ieiclie Concurrenz TU maetieii, und die ulierdies einen f;an7, neuen liinldick in diejenigen Aldiaii^igkeilen yenaliren, welrhe dunli tineaie Dillerentialyleicliun^en mit al(;ctiraisclien Cueflieienleii liesliniiiil sind. Indein icii llerrn l'oincaié ini Naiiien der Annalenredacliun den liesonderen t>aiik dafiir ausspreelie. dass er uns vorslelienden Vuf^ai/ li;il ulierlassen wollen, glaube icli iiim nur in dem l'uiikle eiitgei;entrelen zu sotten, dass ieli die \ciii iiiin vor^eselilagene Benennung der in Betraclil koiiiiiienden l''unelioiien als verfrîilil Ijezeieline. liinriial nanilicli lie\vej;en sieli aile die Unlersucliiin^en. weli lie Ilr. Siliwarz und icii in der lielrellendiii Iii{liliin4; liislany verôllenlliclil lial>en, auf deiii i.riiiiii- lier « fonctions fuelisiennes ". lilier die Ilr. !■ in lis -cllist nirf;ends pubtieiri liai- Andererseits lialie ieli iilier die allj;eriieiiiereii l'uiicl ionen. «elilie Itr. l'oiiiiari- mit iiieineiil Naiiieii in ^erl>indun^ liringl. von iiiir aus liisliir niilils druekeii lassen : icii lialic nui ;;i Irgentliili llerrn l'oinearé auf die Kxislenz dieser l''uiiitioiieii .lufinerksaiii ^eiiiaclit [sielie l'oniptes rendus, t. M'.II. iSKi ("j, p. i/jSiJJ. Letzterer Uiiistand isl aliri ma so irrelevanler. als sicli ein speeieller Fait jener all;;eineineren l'uiietioneii bereils anderwarts bei (îelei^enlieil in Hetrarlil j;ezof;en (indel. naiiilieli in der Arlieil \on Ilin. Sidioltky ini .S.i'-" Bande von /iorc/iardt's Journal. Ks wer'Ien d(Ml(p. 'i/jlj 11".) l''unclionen be.*ii>roelien, wetelie sie.li svMiiiieIriseli reprodueiren, wenn nian rinen ebenen Bereieli, der \(>n taute'r getreniiten Kreislinien lie;;renzt ist. an eben dicsen Kreisliniefi spiej;cll. Letirigens nioclile i( li aiirli ml die Djck'sclieii Arlieiten iiii ly*'" und iS'-" Banile dieser Annalen .soHie insbesoinlii c ,iiil ilc^^cn ileiiinaclist (in lid. \\) ersilieinende ItaliilitalionsM'Iirift verweisi-n. wo ( ■ibiclMini hiihiii^en der all^rnieiiisleii liiir in IM-Iraelit

(") Ce tome p. 11 ■ iN li. N.

FONCTIONS UNIFORMKS Qlll SK RKl'RODllISEN 1' CAR DKS SUBSTITUTIONS LINF.AIRHS. I03

kornnu'ii Ail zu gruppentlieorelisclien Zwecken verwandt «erdtii. — Vielleiclit isl es yiil.diesen kleinen Bemerkungen nocli eine allgemeineie zuzugesellen uiid l>ei vorlieyender Gtjlegeiilieit zu constatiren, dass aile die hier in Frage koinriienden Llntei-suchungen, und zwar sowolil diejenigen, ■\velclie ein geonielrisclies Gepriige !>esilzeii, als auoli die melir analytisi^'ien, die sicU auf die Losiingen linearer DiH'erenliaIgleicliiingen bezielien, auf Riemann'sclie Ideenliildungen zuriickgelien. Der Zusainmenliang ist ein so enger, dass iiian beliaupten kann, es liandele sicli bei Unlersucliungen ini Sinne des Hin. Poincaré geradezu um die weilere Duiclifiibrung des allgemeinen functionenllieoretischen Fi'ograïuiirs. welcbes lÀinnaiin in seiner Doctordisserlation aufgestellt liât.

Leipzig, den 3o. Heceniber iSSi.

K. Ki.Eix.

ori SK RI'l'HODnSlîNT