PAU DES SUBSTITUTIONS LINEAIRES
(HvXtrait d'une lettre adressée à M. F. Klein).
Mathcniatische Aiinalcn, t. 20, p. 53-53.
. . . .\ DUS a\ez cil deniicrciiK'ut la hoiitc de laiic inscrcr \.u\\ Matlicmatischc Annalcii (') iiioii travail sur les fonctions uniformes qui se reproduisent par des suhstilul Kiiis lirii'aircs et sous l'a\ez fail suivre d'une Noleoù vous exposez les raisons qui vous foni Iroiuerpeii convenables les noms cjiic j'ai donnés à ces transcendantes. Pcrmetlcz-moi de \iiiis adresser (juidques ligues pour di'fcndre mes dénominations, que je n'ai pas clioisies au liasard (-).
Si j'ai cru devoir donner aux fonctions nouvelles le nom de M. Fuclis, ce n'est pas que je méconnaisse la valeur des travaux de M. Scliwarz et des vôtres; |c SUIS l(; premier, an (unlr.urc, à en appi'i'cier la liaiili' i iiip(Miaiice. Mais il ne iiiclail pa> piis-,ildc d (iiil)liei' les diicouv erles si i eiiiarqualdes que le sa\ant
P; T. XI\. I». ôj/i-j*)/]. (le loiiie, p. \p.
C) Herrn t'oiiicaii''s Uarlcguiif^en |];ilie irli nui- liinzii/ulu^cn. ilass icli fiir iiuiii riieil allerdings nacli xvie vor an ilir Auffassiing feslliulle. iIlt iih auf p. JG.'j des \l\. \rjji:ilen- Jtandes Ausdruck {jegelit-n liali<;. Iiahei will icii nii:lit iinU rlasstri. ausdriicklicli .luI ilji' Note aufmerksam zu iiiaclicn, mil welrlier Ilcrr l''cirli.s von sich ans di'iii aiif ilin l)o/.ii^lii:lien l'a.ssus rnciner Aiis<.-inandi;is<:lziiii^ entj^(;gi;nj;elieten isl(Cf. GolUnger Nachrichlen, vom !\. Miiiz 1S83).
IJiissel'Jorf, dcn t. Apiil 18S2. •
!■'. ki.iiN.
FONCTIONS UNIFORMES QUI SE REPRODUISENT PAR DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. I07
professeur de Heidelberg a publiées dans le Journal de d'elle. Elles sont le fondement de la lliéorie des équations linéaires et, sans elles, je n'aurais pu aborder l'étude de mes transcendantes qui se lient si directement à cette théorie. Dans ses premiers travaux, M. Fuchs se place, il est vrai, à un point de vue un peu dillerent du mien et ne se préoccupe ni de la discontinuité des i^roupes, ni de l'uniformité des fonctions. Mais M. Schwarz, dans ses Mémoires des Tomes 70 et 7i du Jonrtial de d'elle, ne s'en préoccupe pas non plus; il en dit quelques mots dan un cas très particulier, dans le Mémoire du Tome 7o que j'ai cité dans ma Note. C'est là seulement qu'il se trouve : « auf dcm Gebiete (1er fonctions fuchsiennes ». Dans vos belles recherches sur les fonctions modulaires, votre façon d'envisager les choses dillérait peu de la mienne, mais vous aviez plutôt en vue alors l'étude des fonctions elliptiques que celles des équations lim'-aires. Quant à M. Fuchs, dans ses Mémoires des Tomes 83 et 89 du Jniiriinl de d'elle, il sost élevé à un point de vue nouveau et a mis en lumière le lien étroit qui unit la théorie des équations dilVérentielles à celles de certaines fonctions uniformes. Ce fut la lecture de ces Mémoires qui devint le point de départ de mes recherches.
En ce qui concerne les fonctions kleinéenncs, j'aurais cru commctlrc uik; injustice si je leur avais donné un aulrc nom que le \('itre. C'est M. Schottky qui a découvert la figure qui faisait l'objet de votre lettre, mais c'est vous qui avez « ihre principielle Wichtigkeil belont », comme vous dites à la fin de votre savant travail : Ueber eindeutige Functionen mit linearen Tvansformationen in sich.
Quant à ce que vous dites de Riemann, jene puis qu'y souscrire pleinement. C'était un de ces génies qui renouvellent si bien la face de la Science qu'ils impriment leur cachet, non seuleuient sur les œuvres de leurs élèves immédiats, mais sur celles de tous leurs successeurs pendant une longue suite d'années. Riemann a créé une théorie nouvelle des fonctions, et il sera toujours possible d'y retrouver le germe de tout ce qui s'est fait et se fera aprèslui en analyse mathématique —
Paris, le 3o mais 1882.
THËORIE DES GROUPES FUCIISIENS ('
Ac/a niatlwmatica, t. I, p. i-fiî, iS8a.
Dans une s('rie (le Mémoires (-) présentés à rAciiilémle des Sciences, j'ai défini certaines fonctions nouvelles que jai appelées i'uclisiennes, klelnéennes, tliélat'uclisiennes et zétaf'uclisiennes. De même que les fonctions elliptiques et ahéliennes permettent d'intégrer les différentielles algébriques, de même les nouvelles transcendantes permettent d'intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. J"ai résumé succinctement les résultats obtenus dans une Note insérée aux Mathematische Annalen ('). Ayant l'intention de les exposer en détail, je commencerai, dans le présent travail, par étudier les propriétés des groupes fuclisiens, me réservant de revenir plus tard sur leurs conséquences au point de vue de la théorie des fonctions.
