I. — Substitutions réelles
SdIciiI ; nui' variable imaginaire définie par la position d'un [)oinl dans un plan; / une fomlidii imaginaire de cette variable définie par la relation
Je su|)poserai, ce tpn ne rcslrcinl pas la gi'iK'ialité, qu'on a
iid — bc = i.
.Si le point ; d('(iit (liii\ ans (!<• coui-lic se coupant sous un certain angle a, le point l di'crira de son côt('; deux arcs de courbe se coupant sous le même
Cj Termine (au plus tardj juillet i88a; imprime septembre i88a. (N. E. N.) ('; Ce lome, p. i-/(<j. (iN. K. N.) (') Ce lome, p. (j2-io5. (N. K. N.)
THKORIE riKS GROUPES FUCIISIKNS. I09
angle a, c'csl-à-dire que la siihslilutlon (:, "^l^^j (') conserve les angles.
Li fonction — -. est en elVet nionnf;ène.
Si ; décrit un cercle, / décrit égalcnienl un cercle; c'est-à-dire que la suIjs-
lilution I;, '^— '-,] clian<'e le^ cercles en cercles.
\ ' cz^d J
Enfin si ;,, Sj, ^S) ^k sont quatre valeurs de : et si /,, /o, t^, /, sont les valeurs correspondantes de t, on a
t\ — <î 1; — '3 -^l — Zi, Z,, — Zi
t\—t3 ti—t.
11 existe en f^i'iK'ral deux valeurs de ; ([ui siuit éi;ales aux valcMirs corres- 111 m dan les d<' / : c'est ce ([non a|i|)(d le les y»((«/\ d oui il es de la suhst it ut ion (l). Si
les points douhics sont distincts; et si nous les api)elons a et ^i, la relation (i)
peut s'écrire
K ("tant une constante (|uc j'appi lierai niiillipliralenr.
Si au contraire
a -t- rf = =t 9.
les pol^t^ douldcs >e cniilondent et \ i\\\ a ^
La relation ( i ) [leut alors s'écrire
(') J'emploierai clans ce qui suit les notations de M. Jordan.
La substitution [z,f(z)] ou bien {x,y; f (x, y ), <f(x, y )] sera l'opération qui consiste îi clianger ; en f{z) ou bien celle qui consiste Si clianger x en f(x,y) et y en tf>(j;,^). La substitution inverse de \z,f{z)'\ sera [/(s),:]; le produit de deux substitutions sera l'opération qui consiste à faire successivement ces deux substitutions.
Un système de substitutions formera un groupe si la substitution inverse de toute substitution du système et le produit de deux substitutions quelconques du système font également partie du système.
Un groupe A est isomorphe à un autre groupe lî si à toute substitution de B correspond une et une seule subslilulion de k el de telle sorte qu'au produit de deux substitutions de B corresponde le produit des deux substitutions correspondantes de A.
Si B est cgaleinenl isomorplie à A, les deux groupes sont isomorphes entre eux et l'isomorptiisme est holoédrique : autrement il est mériédrique.
110 TllKORlE DES GROUPES FUCIISIENS.
liIlcN son! los |>rinci|>;il('s inoprii'lt's des siihstilulicms linéaires (;, —^ -jh
Mais iKiiis allons taire une ln|i()llièse de plus; nous supposerons que les coeflicienls (/. /), r, (/ sont réels. Je dirai alors tjue la suhstilutiou (i) est une siilisliliiliiin rrcllc.
11 en rt'sulte que la partie iuiai;iiiaii-e de / est positive, nulle ou nt't;ativc selon (pu- la pailie imaginaire de :; est. ellc-mènic positive, nulle ou négative; r'csi-ii-dire que la substitution (i) conserve l'axe des parties réelles que j'appellerai désormais X et change également en elle-même la partie du plan qui est au-dessus de cet axe.
Si ; décrit un cercle avant sou centre sur \, / décrira également un cercle avaiil son centre sur X. Si ;, et;2^'>»' <lcux quantités imaginaires conjuguées, les valeurs correspondantes t, et t-, de / seront aussi imaginaires conjuguées.
Si a cl P sont deux valeurs de ;, y cl o les valeurs correspondantes de t,
si a', fJ', '■', o' sont les valeurs conjuguc'cs de a, p, y, 5, on aura, en vertu de la
relation (.^),
:^pTra^-(-'P)-
a — P' [i — a' Y — ^ ° — T' Si l'iui pose, pour abréger,
cette relation s'cVrira
Les substitutions réelles ont été étudiées ])ar différents géomètres et en particulier par M. Klein dans ses reclierches sur les fonctions modulaires; il les a partagées en substitutions elhptiques, paraboliques et hyperboliques.
Les substitutions elliptiques sont celles pour lesquelles
l^es poinl> doubles a et p soul imaginaiics conjugut's; l'un d'eux est par cunsi-quent au-dessus de l'X, l'autre au-dessous ; la relation (i) peut se mettre sous la forme ('.'>) et la constaule K. e^l une (piantih' imaginaire ou négative dont le ■ nodule est l'unité. Si :■ décrit un eerele passant parael [il. / décrira également un cercle passant par y. et ^ et conpaiil le premier sorrs rrri angle égal ir l'argument de K.
La subslilutiou (i) change en (die-rru'rue torrie ei r ion lerenee qui, ayant son centre sur le prolongement de ap, (N)rrpe ce segiireni harmoniquement.
TllÉOlim ULS GllOliPliS t'IJCHSIENS. !"■
Les siil)sliliili<iiis paraboliques sont celles pour lesquelles
Les points 1 1(1 ni) les se coiilniidiiii eu un seul C[ui est situé sur X. L;i relui it ni (1) se met sous la forme ("i) el ilc Iclle sorte (jne a soit rccl. Si ; décrit un cercle passant |)ar a, t décrira éf;alemenl un cercle passant par a et tani;ent au premier. La substitution (1) n'altère pas les circonférences qui sont tangentes k X en a. Soit G une pareille circonférence; soit /»„ un point de cette circonférence G, la substitution (ij le changera en un antre point Jti , de cette même circonférence; elle changera //(, en un autre polui /ii., de C, m-y en un autre point //(;,, etc. Quariil x tendra vers l'infini, le pdinl iit-^ ^e rapprochera iiidéli ni nient de a. Si ni de même /«, le jniint ([ne la sidi>l il nlimi ( 1 1 change en Wo) m 2 le point que cette sidislitution change en m^,. clc. (Jnand x Icndra vers l'infini, le point /h x se rapprochera aussi indéfiniment de a.
J'appelle G» le cercle qui a son centre sur X et qui passe par a et pai- lUy,; qui, par conséqueiil , coupe ortliogonalement le cercle C en y. el en iiiy,. Il est clair que la suli^lltution 11) changera G i en Gq, (>o en C,. G, en Go, etc., el, en général, Gx en G^+i • l^e jilns, si x est infini positil on n('galil, G^ se réduit à un cercle de rayon infiniment petit. G'est dire que si l'on ap[)lique nue infinité de fois la substitution (i), ou la substitution inverse à un ceride passant par a et ayant son centre sur X, le rayon de ce cercle devient infiniment petit.
11 en ri'snlte qu'un arc de conrbe de longueur finie, ne coupanl pas X, ne pourra rencontrer un nonilnc nihni de cercles (j-^, c'est-à-dire de li'aii>loi'niés successifs d'un cercle Go ayant son centre sur \ el pa-.sanl par a.
Les sid>>l itulions hvperbidiques sont celles pour les([nclles
Les points doubles a et ^i sont distincts et silu('s sur X. Li relation (1) se
met sous la forme (3) et de telle sorte que K. soit réel et positit. Je puis de
plus toujours supposer
Si : (h'crit un cercle passant par a on |iar [ï, t (h'crira également un cercle passant par a ou par p et tangent au premier. La sMl)>tilulloii ( 1 ) n'allère |)as les circonférences qui passent par a et ^.
J'appelle, comme plus haut, G une circonh renée passant par a et ^8, et
... III-,-, '"-it '"01 "M, 'l'i, •■■ une série de points tels que la substitution [t ) change iiiy^ en ni-^^,. il e>l clair
ll->. TIIKOIUK l)i;s i;llO|]l'KS |-|:i;ilslliNS.
qui- le |iiiinl ni^^^c r,i|>|>r()cli('iM iimIi'IIiiiiiiciiI <Ic [i (|ii;iml / IctuIim vers +00, et lie y. (juMucI X liMidra vers — x.
.ra|)|)ello aussi (l^ !•■ cciclc (jui, ay.iul mui ccuIic mit \, passe par a et. par //^x- Lorsque x leudni vers +00, Cjx se rappioelieia iiKleliiiiuuMil du cercle decril sur ajï enuiuie dlauièlrc; lorsque x tendra vers — 00, le rayon de Cx diniiuiiera indélinnnent. (Test, dire que, si l'on a[)plique la substitulion (1) une inlinilé de fois à un cercle Co passant par a et ayant son centre surX, on ohliendr.i à la limite un cercle ayant ap pour diamètre. Si l'on applique une infinit»' de fois à Cq la substitution inverse, le rayon limite ser.i nul.
Si, au contraire, on appliquait une in(inil(' de fois la substitution (i) à un cercle passant par [il et ayant son centre sur X, le rayon limite serait nul, tandis qu'en lui appliquant une infinité de fois la substitution inverse, on obtiendrait à la limite le cercle qui a y.[i pour diamètre.
11 n'-sulte de là qu'un arc de courbe de longueur Unie, ne coupant pas X, rencontrera un nombre infini de cercles Cx, c'est-k-dire de transformés successifs du cercle C,,, ou iueu un nniubi-e liiii d(! ces translormés, selon qu'il rencontrera ou ne rencontrera pas le cercle qui a y.p pour diamètre.
Si l'on a
(a, 3) = fY, 0),
il existe une substitution it'elle (') qui clianye a en y et j3 en 0. Cette substi- Inliuii est délinie par la rcLition
Il est une autre proprii'té des substitutions réelles sur laquel!<' je voudrais
attirer l'attention; en dillerentiant la relation (1) on trouve
dl I
Si, de plus, j'appelle )' la paille iiuaginaire de ;, ^ celle de t, je trouve
, <// Y mod —— = — dz y
