II. — Figures congruentes

.le du. Il ([lie dciiv ligures sont fdll gl'itcli li'S quand I une c^l la I r,iii--lonni'e de l'autre par nue siili-.! il iil ion réelle. Les siibsl 1 tut ioii> ri'idles tonnant un

C) Il faiil que o cl Y '^l P'""' oonséifuenl Ji ul 6) soient situés sur le même côté de X; s'il n'en esl pas aln!-i, le délciiiiiiiiinl nd — bc sk\;\ ii('g;p|if. IN. K. N.

THÉOnlE DES GROtPKS FUCIISIENS. It3

j;roii|io, il est rhili- qiio deux figures coiigniciitcs h uiic niriiic Iniisicino sont coiigruentes entre elles.

Je puis énoncer tout d'abord les tliéorènies suivants :

Dans di'ii.v figures congrtu'iifi's les angles luitnologiies sont rgmur. Si, dans deux Jigures congruentes. le point -' est homologue de a et le point 0 homologue de p, on a

Celle relation |>(Ul |ireii(ire uue aulre tornu'.

Considérons, en elVel, les quantités a, ^ii (>l leurs conjuguées a', ^' de telle sorte que

Les quatre points a, j3, a', fj sont sur uu luiMue ecrrle qui a son eetitre sur X. Supposons de plus que a et ^ soient hius deux au-dessus de X. Ce cercle coupe X en deux points que j'appelle // ei /. : /( sera celui de ces deux points qui est sui- l'are p[îi', /, celui de ces deux points rpii est sur l'are aa'. Je pose

« - A TJ - A-

a — /.- p-/( [a, |j] est esscal lellement ri'el. |>osilil et plus ^r.iu

(t (HK' I

I )e plus, {in a

Si Y est MU [iiiiut de lare de cercle a|j, on a

li est clair uiaiiileu;uil qu Cn euqilovaut cette iiolaliou nouvelle. on peut mettre la relation ( i ) sous la loiiiu'

Voyons ce qui se passera quand a et p seront iuliuirui iit voisins.

Soit

dz = dx -i- dy \/ — i ,

niod dz = \/Ux^-¥- dy''.

114 THEORIE nES GBODl'ES FUCHSIKNS.

On aur.i, ou iK'ijIlficnU le- iiiliiiiinciil prlils il'diilrc sM|)('riciir,

innd (fz

[z, z -h dz] = \ -+- I4z, z + dz\ =

niod dz

( )ii \ciil aiiiM (\\\c Ir l()i;Mrilliiur ii(|ii'i'icii (l(~ [;, ; |-</;l csl [iniporliounel au

module de (/; cl iudcponiliuil de son ai'i;unienl.

L niléj;rale

r mod i

mod dz

|)rise le lonj; d un air de eourlie qu(deou(jue, s'appellera la L de celle courl>e. L'intégrale double

prise à l'intérieur d'une aire plane quelconque, sera la S de celle aire.

D'après ce qui précède, deux arcs de courbe cougruents ont inènie L; deux aires congruenles ont luènie S. La L d'i\n arc de cercle aji, ayant son centre sur X, sera le logarithme népc'iien de [a, p].

Je ne puis passer sous silence le lien (jui raltaclie les notions précédentes à la géométrie non euclidienne de Lobatsclievvskj.

Supposons que l'on con\ ienne fl'cnlever aux mots dioitc^ longueur, (listdiice. surface leur signilication liabitucdle, d'appeler droite toLit cercle <pii a ion centre sur \, longueur dune courbe ce que nous venons d'appeler sa L, distance de deux points la L de l'arc de cercle ipii unit ces deux points eu avant son ceulrc >iir X, et enfin suilaïc d'iiiie aire plane ce (pie nous appelons sa S.

Supp(isons de plus que l'on coiiseiAc aux mots a/i g le Kl cercle leur signilication. mais en convenant d'ai)[)eler centre d'un cercle le point qui est aune dislance ciiiiilaiilc lie tous les points ilii cercle (d'ajirès le sens nouveau du mot distance) et rayon du cercle celte distance constante.

Si l'on addple ces (l('iiiiiii Inai ions, les llu-nrèines de Lobatschewsky sont vrais, c esl-ii-dlic que loiis les tliioièiiMs lie la ge( iiiH'l lie ord maire s appi iqiient à ces nouvelles (pi.iiitilés, saul ceux ipii sont une conséquence du postulatum d'Euclide.

Celte teniiiiiologii' m'a rendu de grands services dans mes reclierclies, mais je ne remploierai pas ici pour é\ itei' toute conliision.

THÉORIE DES GROUPES FUCIISIENS. Il5