KO

Pour abréger encore, je dirai simplement la substitution

Je suppose que i est un indice qui varie de zéro à l'inliui. Je suppose de plus

«0= ûfn= 1, bo= Co = o,

d'où

Je suppose enfin que ces subslituiions forment un groupe. Je vais définir certains symboles dont je serai amené à faire usage dans la suite. Je poserai

.ff(^) = .fdM^)]- fn^) = fdfH^)], ■■■, ./;"(-) =y>[/;"''(^)|, ■•••

Je définirai de même, par une extension toute naturelle, le symbole ]'"{:■) quand m sera nul ou négatif. Je poserai

Si/i {z) est une des substitutions du groupe en\ isagé, toutes les substitutions qui sont comprises dans la formule générale

feront également partie du grou|)e.

Si/o(;j est une substitution du groupe non eom|)rise dans la formule (2), toutes les substitutions il<' la loiine

appartiendront au groupe.

Si maintenant t\{z) est une substitution du groupe qui ne soit pas com-

Ill> TIIKORIE DIÎS CnOl'PES l'IICIlSIENS.

|>risp dans la toiiinilr (,î). c rsl-à-diic (|iii ne sml pas niir coinljinaisoii do y , «■I de /j, si / ; csi iiiu' siihsl II iil loii dii i;ii)ii|)(' (iiii ne soil |)a> une (■oinliiiiaisdii 'I'' ./i • ,/:! ''' ./a- <'l<'- . si ciiliii /^ osl Mlle sidisliliil niu (|iii ii<' >oil pas une ciiiid)!nalsiiii de y,, y.j, .... Jp^\^ les sulisl iliil mus ciiiiipriscs dans la Iminule générale

(m'i a, , ao a„ s(inl des indices qni pcnx cnl (Mrc i , 2, .i, . . ., /> — 1 on jo, cl

on jîl,. po, .... jj„ son! il<'s entiers positils ou ncf;atils ) IcronI c^aleaicnl parlie rlu groupe.

Il peut se faire qu'on ait épuisé ainsi toutes les substitutions du groupe envisagé, de telle sorte que toute sni)siitniiiin de ce groupe soit une combinaison de/', , y'2, . . ., Jp. On dit alors que le gionpe est df'rifé de / , , /j, . . ., /p, ou

(pii'/,./^ //; sont un SN sièiiie de .v;///.s7//»//o//\ /o/it/d mr/i /i( les (\i] •^V()U\)e.

Il est ('•\idenl (pi un ^iiiupe peut axoir une iiiliiiih' de svslèines de substitutions fonda iiieiilales ; mais ii/i seul de ces s)strincs suffit pmtr ilclrrini lier coinplrli'niant le groupe.

Dn peut concevoir aussi des groupes tels qu'il soil impossible de les taire dériver d'un nombre liai de substitutions fondamentales. Mais nous les laisserons svsti'-mal Kpieiiieiil de (("ili'.

Soil diiiic un grimpe ( 1 diTi\ ('■ dey; siibst il iil ions bmdamenlales /, , /^, ...,/' de telle soilc (pie liMiles ses siibsl itiil ions soient de la loi'ine ("i)-

.l'appidler.ii l'jposant d'une substitut ion de ce groupe la somme des modules des nombres entiers positifs on négatifs p,, [iio, ..., p„.

Il peut se faire ipie les di\erscs substitutions contenues dans la formule (4) ne soient pas toutes distinctes cl (pi'oii ail ideni iquemeiil

(5) ftifki- ■ -fb =))■■ •) = /?; (/?:(•• -A.^ ')■■■))■

La r<dation ( ^> ) peut loii{ouis se mettre sous la forme

Les a et les j oui ici la iii('-me smnilical ion (pie dans la lormiile ( \).

IjCS ndatious de la forme (()) poiirroiil, en g(''n(''iM I , ('ire toutes regardées (iimme les cons(;quences d un (crlaiii nombre dCntre elles (pic nous aiipidleron.s relations Jondanie/itales (;t qui seront seules réellement distinctes.

Un groupe H sera isomorpbe à (1 s'il est (b'rivi' d'un même nombre de siibs-

THKORIF, DES (iROl PKS FICHSIENS. 117

litutloiis l\)niliunciit;iles, et si l'on a eiilio ses siil)slilulioiis t'imdiiiiientales les mêmes relations fondamentales. Si, entre les sulisl initions de H, il n'y a pas d'antre relalicm de la forme ((V) qn'entre celles de G, l'isomorpliisnie est réciproque et par conséquent holoédriqiie ; autrement il est meriédrique.

Par suite des relations (6), une même substitution peut être mise d'une infinité de manières sous la forme (4); de sorte que la définition donnée plus haut de l'exposaitl d'une substitution laisse subsister une certaine ambij^uïté. Nous ap|)ellerons alors exposant d'une Mib>titutiou /c^ /(/(/\ y;('/(/'' \aleui([U(' peut |)rendre la somme des modiiles de [i,, fi,, .... |j„ ([uaïul on écrit cette substitution sous la forme i.\}-

Ici il \ a lieu de faire une distinction importante entre les dlUérenles sortes de groupes formés de substitutions léelles. iNous devons d'abortl laisser de côté les oroupes qui ne comprennent qu'un nombre fini de substitutions et (|ui ont déjà été étudii's à tond par plusieurs j^i'oinètres. Mais si les substitutions d'un j;iiiupc soiil eu noiiilnc iiillui. ou peut taire deuv livpollièses dillérentes :

On peut sup|ii)S('r qu il e>l possible de clioisir dans le groupe une substitution

telle (Hie I i( z ) dill'èic luIiiiMuciil peu de ; (et cela (pud (pu,' soit z), c'està-dire fpie le groupe contient wnc substitution inllnilé'simalc.

()ii peut supposer aussi (pie le groupe ne conlieiil pas de pareille Mil)>litiit lou.

Les groupes de la première es|ièce senuit continus, ceux de la seconde discon tin us .

Il ne peut exister de loncliiui uniloriue analytique de ; qui reste inaltérée par les substitut ions d'un groupe continu, car cette fonction devrait reprendre la même valeur en des points mliniment voisins les uns des autres et, par conséquent, a\oir une valeur constante. Aussi les groupes continus n'ont-ils aucun intérêt pour nous et nous réserverons le nom de groupes fuchsiens aux groupes discontinus formés de substitutions réelles.

Si le groupe G est discontinu, il est clair qu'mi pourra diviser le plan, ou une partie du pian, en une inlinili- de régions jouissant des pi-opriétés suivantes :

Chacune d'elles correspondra à l'une des substitutions du groupe G. Celle qui correspondra à la substitution

Il8 THKORIE DES GROUPKS KUCHSIENS.

s'a]ii)fll(.Ta la région R,-, cl, par conséquent, celle qui correspondra à la substitution

(z,/„(3)) OU (Z,Z)

s'appellera R„.

Quand :■ sera intérieur à la région Ro. fi{'-) <ie\ra cire intérieur et R,. Kii d'autres termes, R, sera la Iransfornx'e de Ro par la suiisliuition

Supposons luainlenanl que z soit intérieur à la région K/,, correspondant à

fui (•') flevra être intérieur à Rn et, par conséquent, /, fy^' (;)) sera intérieur à R,.

Dire que R/ est transformée de Ro par une substitution réelle, c'est dire que ces régions sont congruentes et, par conséquent, que toutes les régions R sont congruentes entre elles.

l'our me sers ir d'une expression très usitée de l'autre côté du Rliin, je dirai que la division d'un plan en une infinité de régions est régulière lorsqu'en déformant ces régions d'une manière continue on pourra faire coïncider le nouveau mode de division avec l'ancien, de telle façon que chaque région de la uiiuxelle division \ ienne coïncider a\ec une région de l'ancienne, et qu'une région donnée quelconque du uounciu mode de division vienne coïncider avec une région donnée également quelconque de l'ancien mode. En ce qui concerne le mode de division qui nous oceiqie, il est clair que, si l'on applique aux différentes régions R la substitution

chacune des régions R se changera en une autre n'gion R, et Rq se changera en R/. C'est dire que la division du plan sera régulière.

Le problème de la recherche des groupes fuchsiens se ramène donc au suivant : Subdiviser d'une façon régulière le plan, ou une partie du plan, en une injinité de régions toutes congruentes entre elles.

Deux régions sercuil dile> liniilrojdies lorsqu'elles coulinei-oul entre elles tout h- long d'un arc de couibr (pu leurser\iia de Iroulièrct commune.

-Soit l\p une i-égiou limitrophe de l'io loul le long d'un arc AB de son périmé Ire ; cet arc AR sera l'un des côtés de ]\„. INhiis on peut supposer que ce ne soit pas le plan tout entier, mais une jiaitie du plan qui ail été divisée en une

THÉORIE DES GROUPES FUCHSIENS. llg

infinité de régions R, Idiiles coni;riionles entre elles. IJans ce cas, R„ yiourra confiner tout le long d'un arc CD de son périmètre à la partie du plan qui n'aura pas été subdivisée en régions R. Cet arc CD sera encore un des côtés de Ru. Les côtés tels que AB seront ceux de la première sorte, les côtés tels que (.ID ceux de la d<ii\ièinc sorte.

Je supposerai tiiujdiirs que les côtés de la deuvième sorte sont des segments de l'axe X.

Je justifie en quelques mots cette lijpotlièse. Si l'on a divisé une partie du plan en une infinité de régions R, et si la région R„ est. contignë à la partie du plan n(jn dr\is(''c, i>n [murra l(iu|()ur> étendre la division à wnn. |)i)rliiiu plus gr.mde du plan. Je l'c'tendrai jusqu'à ce que Ro cesse d'être contigué à la partie non divisée, ou jusqu'à ce que R„ atteigne l'axe X. Cet aperçu suffira, je pense, pour faire comprendre les raisons qui me permettent d'ado[)ler celle hypothèse.

J'appellerai sommets de Ro les cxlrt-mités de ses côtés et je serai conduit à envisager : i" les sommets situés au-dessus de X; a" les sommets situés sur X et séparant deux côtés de la première sorte; 3" les sommets situés sur X el séparant un côté de la première sorte el un di' la deuxième sorte. J'appellerai ces dill'érents sommets, sommets de la première, de la deuxième ou de la li'oisième catégorie.

Les points

seront dits correspondants .

Quand le point :; est ii l'inléricui- de R„, tous les points Ji(:) seront dans des régions R,- difi'érentes de R,,. Donc il ne peul y avoir d.uis l'intérieur de R,, deux points correspondants, el un ptiiiU intérieur à Ro ne peut être non |>lus correspondant d'un point du périmètre de celle région.

Au contraire, un point situé sur l'un des côtés de R,,, siir).^ |)ar exemple, ap|iarliciU à la fois à deux régions Ro cl R/j. Si le (iniiil ; est sur ),,,, c'està-dire sur le périmèlre de R^, le point/ ''(;) sera sur le pi'rimèlre de 1!,, sur un côté que j'a|)pellerai a' cl qui séparera R.o d'une région R' correspoudaul à la suhstilution

Les côtés \p et )/ seront dits conj iigiirs.

On peul tirer de là les conclusions suivantes: i" Les côtés de la |)reiiuère

la» TIIKOIIIK nus (iltOl l'KS KUC.IISIICNS.

siiili' Miiil eu iioiiiImc |iair cl inii j ii^iii's doux ,'i deux; a" doux. (m\U's cdii | ii^ ik's sont COU}; rue m s ; .!" los |)(inil-- du |iiiijiii'l ic de H,, . sll ui's iui-dcssus de luxe X (sans parler des simimel-. dnnl riciiiN mui-, (i(iM|i('i'.)ii^ plu> loin ), smil correspiiudaiits deux à deux.

Uue cniiveiiliii'i speci.ilc ot lU'cessain' |iiiiir faire iculici' dans le cas gcuéral un cas jiaii iculicr qui se présentera (piidipic^lols.

Il pourra II ;ii'ii\ei- (pi'on eùl ideul iipieineal

/,-(-) = /,-;'( = ) ou z = /,.[f„(z)].

Alors Wp coïnciderait avec \\ . a^, a\ec /. . Mais, dans ce cas, la suLstitu- I iiiu

est elliptique et la relation (i) ( ij 1) pourrait se mettre sous la l'orme (3) (§ I),

de telle lacon que

La sul)>l itui ion {z.fpi:}) n"alli''i'aiil p.is le c('ii(' ).p. celui-ci devra passer |)ar le point y. i point iloiiide de la miIi>I il iilion ) et se partager en deux moitiés conj;rueutes entre elles.

Gela posé, on iionna reijarder le poml a coiiiiiie un xuiimel cl les deux moitiés du c('ile /,^, loinine deux côtés distincis, conjui;ués entre eux; on est ainsi rameiu' au cas i;éni''rai.

(Iliaque sommet apparl ieul il deux ou |)liisieurs réj;ions dillérentes; il en icsiille que |dii>ieiirs MMiimels de li,, peinent ('Ire correspondaiils. Je dirai que les soiiimels C(U're>|)on(laiil > iipparl lenueiil Ji un iik^'iiic cycle.

I)',ipi('^ ce qui pri'ccdc. le noiiiluc de, ciUés de la première S(U'le est pair; soil i/i (■!■ iiomlue. (le-, > /i ci)lés seront con| ii>;iii''s deux à tleux. .Soient A|, ).^.. ..., /,„ // de ces ci~>h''s; /.„+(, "i^n+ii ■■■■'^•■2n ^'"- " aiilies e('it('S conjiij;ilés des premiers, de telle soiie ipie les ciités A^,. A,,^/, soleni coiipigiiés. Soient R^ la région ipii est limilro|ilie de lî„. le loa^ du c(')li' "/.y,, cl

la siiKsI 11 iil Ion cori'espiiii<lanle. I )e celle lacon, on aura

li est aisé de voir (|iie. si l'on soil d une ri';;ioii I!, coiiespondanl à

THKOniH DRS GROUPES FICHSIENS. 19,1

par le cc'ilc rorres|)i)n(l;uU à \p, on cnlrc dims mio rL'i;ii)n corrcspondanl à la siibstitiition

Rien u'esl plus facile maiiiteii iiiL que de Lroiiver quelle est la subslilulioii qui correspond à une région donnée Rp^. SoienlA un point intérieur à Ro,B un

Fis. >.

poini iiiM'ricnr à Rp ; jnii;nons rcs douN pniuls pai' un are cpielconquc AMB. Si je su|>pi>sc que cet arc AMB parle de la ré>;ion Ro, qu'il on sorlc par le cn\c À^j^ |)our enUcr dans la région Rj; , puis qu'il sorte de R^, pf>i" le cnlé correspondanl à 'h^^ pour entrer dans la région Rh , (jii'il sorte de R^^ ))ar le c<')lé correspondaul à ).5(^ pour- eulrer dans R^u , pIc., cl culia qu'il sorte de Rp, , pir le côté correspondant à \x^ pour entrer dans Rp. ; la substitution qui coire>pondra à cette région Rjj^ sera

Dans celte expression ai, a^, ..., a^ désignent des indices qui peuvent être 1 , 2, ... ou 2rt .

Donc toute substitution qui correspond k une région que l'on peut atteindre en partant de Ro et en franchissant un nombre fini de côtés est une combinaison de (s, y',), {z,/^), ..., (z,f„). Nous laisserons de côté tous les groupes pour lesquels on ne pourrait pas passer d'une régi(m <à l'autre en fi-aneliissanl un noinbie Uni de côtés. Alors toute substitut uin sera une coud)iuaisou de

Coniuu:nt trouverons-nous les relations de la forme (()) qui auront lieu entre les fonctions y, , y'j, ...,y'„?

Pour cela il suffira évidemment de recherclier comment on peut exprimer pai- une combinaison des sidistitutions (^) la substitution

{Z,Z) OH {z,fo(z))

H. p. - II,

Il II Ml

I l:'. THEOniK DES GROIIPKS KUCIISIENS.

lljj^ '^fv-r ^P.^ r^ii "' '"" '^'*'''- ''espectlvcmeut par les côtés correspondants

h Àj . /.^ Xx , la sidisi iiulioii qui correspondra à Ru sera

[-, /a, (/a,(.. ■(/«„( -,)..•)], ce i|iii jicriiii-llra d iTi-ire

Des rclalliins ( (i ) ainsi ohtenues, tontes ne sont pas fondamentales. Pour olitcnir les relations l'ondanicntales, il su Hit de dt'erire dos contours fermés inlinitésiinaux autour de cliacun des son)mcts de R,,.

Puisqu'on trouve ainsi toutes les relations de la forme (6), les substitutions (j) sont généralciiicnl iiiilr'pciidanles cl par ccuiséqueni tnriiifiil un syslènie de sulislitiil loiis londaïuentalcs du <;roupe envisagé.

On ^(lit de plus (pie rexjiosant dune siilisl il ni uni /, i^sl le nombre minimum de C(Hés qu'il faiil francliir pour passer de R,, dans la n''i;ion ipii correspon<l à la substitution y,.

Outre les {groupes liiclisirns nu groupes disconi mus idiini's de siibsiitutions réelles, j'ai été conduit à envisager les groupes discontiuns tonnés de substi- Inlicnis lini'aires quelconques et que j'ai appch's i;rouj)c's hleiiirens. .le n'en parlerai pas dans le présent travail, me réservant d'exposer dans un Mémoire spi'-cial les résultats que j'ai obtenus à leur ('gard.