IV. - Polygones générateurs
Les régions R,- sont dédinies par la condition que cbaciine d'elles ne contient ^m'm« se«/ point correspondant à un point ;; donné. Mais celte condition ne suffit pas pour les d(''finir coinplclemcnt. En elTel, si l'on se donne un groupe fnclisli-ii (i. il \ .iiiiM iiiir inliiiiir' cir iiiaiiièics de subdiviser le |)lail de telle sorte que dans i liacnir i l't; uni il ii \ ail qn un piiinl cmi rs|i(nidaiil à nii point ;;
■ lolllK'.
Au conli.iire si 1 ini se donne la décompositiini du plan en une inlinilé de régions telles que R, le grmipe (i sci-,i parfaitement dé'leriiiiiii'.
Donnons-nous un groupe (i et envisageons les diverses décomposilioiis du
TUKORIE DES GROliPES Fl'CHSIENS. 123
plan en réfjKins R, qui con'es[)()ii(Ient à ce groupe. Ces décompositions sont en nouihrc inlini. Coniinenl de 1 une d elles ])o\in()ns-nous dc'duue toutes les autres? Soient So une portion de lii r<''i;ion l\o, S, hi poil ion correspondante de la région R,-. Choisissons, |)arnii les sid>>lil ut ions du groupe (i, l'une quelconque d'entre elles
Soit ip lindice de la substitution
de telle sorte ([iie
Des diverses régions R, je retiMiicIn^ la portion S, et l'apiute à ('<'qul reste la région S/ . J'olitiens ainsi une iiiliuité' de ré'gions
Ces régions IV. recoin ilroiil l,i iiii'imc pari ic du plan que le> n'^imis R,rt ne la recouvriront qu'une fois. (Jliacmie d'elles ne contiendra qu'un seul point correspondant à un point donné z. A la décomposition du plan en régions R, correspondra donc le même groupe G qu'à la décomposition en régions R,. Si Sn est contigu intérieurement à l'une des frontières de Ro et si S^, est contigu extérieur<'Hient ;i ruiic des iroiil 1ères de Ro — .^o, la ri'gioii Hissera il une seule pièce et sans trou. \m plupart du tem|)s, |)oiir plus de coniuioduc, nous choisirons la région R|j de telle sorte qu'elle soit d'une seule |iièce et sans trou, mais cela n'a rien d'essentiel.
En opérant sur les ré'gions Pv^ CDiuiiie iinii'- a\(iii-. opii !• sur les ni;i(iiis R,, nous obtiendrons une noiucdle (h'coiiiposil ion du plan en r<'gioiis lîj ipu correspomlr.i tou |ours au groupe envisagé (i. En eonlinuaiit iiulédiiiiirieiil de la sorte, on ohliendra toutes les décoiiiposil ions ipii eorrespondent au groupe C. On est conduit tout naturellement ii la gémr.ilis.ition suivante : Jusqu'ici )'ai suppo>(' (pie la région S,, é'tail tmil entière inl('Tieui'e à la région R(, cl piir CDiisiMpieul S, à la région l\,, cl de lail, sans relte liypothèsc, on ne saurait ce qu'on doit entendre [lar la région
à moins toutefois tpie l'iin ne fasse nue con\eiition spéciale.
Ouest conduit ainsi à eii\ isager des régions di\is(''es en deux parlics dont l'une est considérée comme positive et l'autre couiiuc négative.
19 ( TllKDHir. IIKS (;I1011|'ES Kl rilSIENS.
Ainsi, -1 s, ne liill |>:i> |iiirlli' (!<■ P>,, (lU cousidt'rcra la n'f;i<)U l\] cdiihiic liti'inoc (l'iiiic pari ir |)iisii i\c H, -^ S, cl (111116 partie iiétcaùve S,-. Col ordre de considér.il ioii> n fsl |)i- il ailleurs alisoluiiieiil iioiiveaii.
Si lim euvisai;e iiu (juadrilalère A15(]D doiil deii\ ((îles ()|i|)i)sés AB el CD se coupi'iil eu un jMiiiil iM, ce quadrllalère, Idiiiii' de deiiv Iriant^lcs A DAI el BCM opposés par le somiiiet, s'apjielle un quadrilatère concave.
Les formules (jiii donnent Taire d'un qiuulrilatère convexe s'appliquent à une pareille lif;iire pourvu qu'on rej;arde l'aire de cette (Igure comme la dillt'rence et non coiiune la soiiiiiic des aires îles deux trianf;les ADMetBCM. Dans un quadrilatère concave Tnn des deux triangles doit donc être regardi' eouime positif cl i'aulre comme ni'^atif. Il se passe ici quelque chose d'analogue. Une région concave R, sera formée d'uni^ portion positive R,-|- S; et d'une portion négative S,-. IjC nombre des points correspondants à un même point donné z-, compris dans la partie positive de R^- , est toujours fini et il surpasse d'une unité le nombre des points currespoudants à : com|uis dans la partie négative.
jSoiis ferons peu d'usage de cette subdivision du plan en régions R,- concaves, parce ipie la subdivision en régions convexes est infiniment plus commode, mais elle pourra nous servir comme d'intermédiaire pour passer d'une subdivision convexe à une autre subdivision également convexe.
l'uisqu'il v a une iiiriiiiti' de manières de subdiviser le plan en régions R,convexes, nous devons cboisir pariiu ces ili\crses manières la plus simple el la plus commode.
Voici comment nous pourrons procéder. Nous déterminerons une région So. et la région Sp transformée de .S„ |)ar la substitution fp[z). Nous ajouterons
S/, à Ro et nous en relrancliciiins So- Nous nlil inidrons ainsi une iioiimIIi' région FV,| qui pourra ser\ ir de base à iiiir niiii\rllr ■.iibdn imuii du plan iii
THÉORIE DES GROlîPES FUCHSIENS. laS
régions R',- correspondant au groupe (î. Car, pour ol)tenir la région R^, il suffira de relranclicr de R, la région S,- transformée de S„ pur /',(:;) et d'y ajouter la région S; transformée de S/, par/,! z). Couimenl mainicnant conviendra-t-il de clioisir les régions So et S/,?
Soient AMB un côté de Ro. A'M'B' le c()té conjugué. Ces deux côtés soulcongruents et la substitution réelle qui change AMB en A'M'B' est une substituùon /p( z) du groupe G. Joignons les points A et H par un arc de cercle AJNB ayant son centre sur X. La région Sq sera la région AMBNA comprise entre l'arc de courbe AMB et l'arc de cercle ANB. Le transformé de ANB par fp{z) sera un arc de cercle A'N'B' ayant son centre sur X, et la transformée Sp de So sera la région A'M'B'N'A'. Si nous ajoutons Sp à Rq et que nous retranchions So, nous obtiendrons une région RJ, analogue à Ro, mais où les côtés conjugués AMB, A'M'B' seront devenus des arcs de cercle AiNB, A'M'B' ayant leurs centres sur X.
En opérant de uiéiuc manière sur ciiaque paire de côtés conjugués de la première sorte, on réduira tous ces côtés k des arcs de cercle ayant leurs centres sur X. On peut donc toujours supposer que la région Rq est un polygone dont les côtés sont de deux sortes, les uns sont des arcs de cercle ayant leurs centres sur X, les autres sont des segments de cet axe X lui-même. Un pareil polygone s'appellera polygone Donnai.
Mais une difficulté spéciale peut se présenter dans certains cas.
En cllct nous ne nous sommes pas inquiétés de savoir si la région
faisait toul entière parlie de R.o. Il pouria donc m' laiii' rpie le polygone normal auquel on aura réduit la région R.o soit conca\e.
Voici comment on se tirerait d'allaire en pareil cas. Il est clair que la partie positive et la partie négative de R„ devront être toutes deux des polygones normaux. Supposons, pour fixer les idées, que la partie positive contienne au plus deux points correspoudauls à im point doniK' ;. l'ariiil les |)oiuls de Ro. Hyen aura qui seront compris dans la parlie positive et i[ul iriidiiiellronl aucun correspondant soit flans la [larlle positive, soit dans la [larlle négalixe. Ils formeront un certain polyg(jne normal P.
La parlie négatisc formera un eerlaln pid\goiie normal l'' ; et à cliaque point de celle paiiie n('g,Ul\e etrrespondiMiil deux [loiiil^ île la parlie posilise dont l'ensemlde lormeiM (len\ polygones normaux P' et I'", tous deux congriienls
lafi THKomiî DUS (iROirus Kur.nsiiîNS.
à 1''. La paille |Hisili\(' de V\„ scr.i lorinci' des Mois [)olvf;()iK's l*, P" et P'". Cola nos<\ i('li'aiii'liii[is lit' U|, le |)i)hi;<mc l'" et a |i)iiliiiis-y le pol Vfioiic C()iii;riiciil I". ^i(UJ- oliliciiilriius ainsi iiiic ikmin clh' réf;iim \\\^ fjui |)ourra sci\ ir cimiiiie Rp à ciij;cii(li('i' le ^r(iii|ic l'uchsicii ( i . Celle i'éi;iiin iiaïua plus de partie ii(''f;ati\e et sera luiiiiee des deux polyj^oiics P el P'".
Ce sera donc nu polygone ikiiiiuiI convexe.
()/i mil iii/isi iftic, danx tous /es ras possibles, on peut supposer (juel\.D est un polygone normal convexe.
Si Ion connaîl le polygone noinial R,, el la disirlliiil ion de ses c()lés en paires de erili's eon)ni;n('s, le groupe (î esl enlièreinenl d(''lei-rnini' (' ).
En ellel . r-eporlons-nous à ce (jne nous axons \u dans le paraj^raphe |)récédenl :
l.es ^idi-iiiulioa^ l'oiidanienlales de (i sont etdles qui correspondent aux
r(''i;ions liiiiilroplies de Rq ; on les oliliendi'a donc en en\ isai;('ant un des côtés
de la première sorte de Ro el en eliereliani (piclle esl la suhsiilulion qui change
ce ci'ili- en son conjuj;ué. Oi- soient AR et A'R' deux cotes conjuf;ués. Ces
deux cc~)li''s, d'après le para<;raplie III, dcvr()nt être congruents, c'est-à-dire
(luOn aiii'.i
()i- dans ce cas, d'après le par,ii;r,iplie i, il existe- une suhsl il ul ion réelle qui eliaiific \Ben V'R'et, engénén'al, cette sidislilul ion est parfrtiteineni déterminée. Les sid)^l il ul ions rimdamenlales du i;roupe C , el , par cons('quenl , le gniupe Ci lui-niènic, sont donc parlailenieiil déterminés.
C'est pour cette raison que j'appellerai \(' \)tAy'j^nn('\\„ polygone générateur du groujie < i.
■V. — Classification en familles.
Nous avons vu |)lus liaiil ipie deux, trois ou [diisieurs des soniinets du polygone Rq peuvent être des piiiiiK eorres|)ondants et nous avons appelé cycle l'ensemble des sommets de ce pid\!;one qui sont corres])oinlanls à I un d eiilre eux.
l'i Si les (li;ii\ i;\lrrHiilrs d'un euh' (le la pi'eiiiirif sorle AU S(jiil ^illl|■■s mii- \ ,\\r \, il en i>l (lir iiH'iiifi ili'S <;\lrr'riiil('S <lii rùlé conjiifjut' A'ii'. Il existe alors iiiir iiilijiili' ilc miIisI il iil imis ii-ellc!' qui rhaiiseiil Ali i-ii A'Ii'. Iiarjs ii- cas, il airi\e iNini: que le |iol\;;iine lt„ eiij;erMlre une iiifiiiilé «le yi"oii|>ef) fuelisiens. N- ''.• i^-
THÉORIE DKS GROUPES FUCHSIENS. I27
l^es sommets de Ro se répartissent de la sorte en un certain nonihre de cycles. Voyons comment, connaissani la dislriitiiliDri en paires des C(')tés de la nri'niière sorte, on pourra tromer la distrd)iilion des sommets en cycles. Pour cela, il suffît d'appliquer la rci;le suivante, qu'on démontrerait sans peine :
Supposons qu'on parcoure dans un certain sens le périmèlre du polygone R„, et qu'on rencontre successivement un côté, puis un sommet, puis un autre côté, puis un autre sommet, et ainsi de suite. Cela posé, partons d'un sommet quelconque; envisageons le ci")té suuant, puis sim conjugué si ce côté est delà première sorte; puis le sommet suivant. pui> le C(jlé suivant, puis son conjugué si ce côté est de la première sorte, et arnsi de suite. On pourra continuer ainsi jusqu'à ce qu'on revienne au sommet qui a servi de point de dé|)art, ou l)icu jusqu'à ce qu'on arrive à un côté de la deuxième sorte.
Dans le premier cas, tous les sommets qu'on aura renconti-és de la sorte foinu'ri)iil nu cycle. Dans le second cas, il sera nécessaire, pour compléter le cycle, de reprendre le sommet qui a servi de point de départ et de remonter à partir de ce sommet, en considérant successivement le côté précédent, puis son conjugué si ce côté est de la première sorte, puis le sommet précédent, puis le côté précédent, et ainsi de suite ju^rpi'à ce qu'on (inisse par arriver à un coté de la deuxième sorte.
Il e>t aisé de voir qu'il y a trois catégories de cycles : Tout point correspondant d'un point z situé au-dessus de X est lui-même au-dessus de X, donc tout sommet correspondant d'un sommet de la première catégorie (§ III) est lui-même de la première catégorie. Il y aura donc des cycles formés uniquement de sonuuets de la première catégorie; ce seront les cycles de la première calegorie. En partant d'un sommet de la première catégorie et prenant successivement les côtés et les sommets qu'on rencontre en appliquant la règle précédente, on ne rencontrera jamais cjue des sommets de la première catég(U-ie et, par conséquent, aussi jamais que des côtés de la première sorte. On ne sera donc arrêté que quand on sera revenu au sommet qui aura servi de point de départ, c'est-à-dire que le cycle sera ferme.
Tout sommet correspondant d'uu soiuuu't de la deuxième ou de la troisième catégorie devra lui-même appartenir h l'une des deux catégories. Ce qui nous amène à considérer deux nouvelles classes de cycles.
Les cycles de la deuxième catégorie ne contiendront que des sommets de la deuxième catégorie; en leur appliquant la règle précédente, on ne rencon-
i->S TllKORIF. DKS CROUPKS FUCHSIENS.
Irt't'a pus (le ri)ti's de hv (Iciixiriiii' sorlc, ('cst-à-dirc fine \f cycle sora encore fcrmr.
Ijf.ii cycles de la Iroisiènie catrs,''(iri(' conilcnârotW âc^ smiiiiiels de la [roisièiiie catégorie cl pourroni <ui conlenir ('fialeineiit de la deuxième; eu leur appliquant la règle [irécédenlc, on r(!nronlrera des côlés de la deuxième sorle, c'est-;i-dire que le cycle sera ouvert. Cela va nous permettre de classer en t'aniilles les polygones Rq •'' |''"' <'onsé(jueiil les groupes G.
Le polygone Rq sera :
de la 1 '" l'ainille s'il v a des cycles de la i'" cati'gorie seulement;
lie la :<' famille s'il y a des cycles de la 2" catégorie seuleuieui;
de la .')'' famille s'il v a des cycles de la ,'5" catégorie seulement ;
de la i*^ famille s'il y a des cycles de la :>." et de la A" catégorie seulement;
de la .)'■ tamille s'il ^ a des cycles de la 1'''^ et <le la .5'' catégorie seulement;
de la ()'' (aiiiille s'il v a des cycles de la 1''' et de la '>." cat(''gdrie seulement;
de la -'' l.nnille s'il y a des cycles des trois cati'gories.
Ouel(|iies exemples leroiil iiiiciiN coiiipreiidre ma pensée.
Exemple I. — Le pcdygoiie R„ est un hexagone ARCDEF; tous les côlés
l'ig. 3.
les C('it('s
AH
et
BC
et
FK,
sont de la première sorif
CD el Et) sont COI) pi^iH's. \ |ipliipiiins la règle, nous rencont reions succ(;ssivenienl :
1" En partant du sommet A, le sommet A, le C(')té AB, le côté AF et le soiuinel A ;
2" En J)artant di' B, le sominel B, puis BC, puis Eh', puis 1" , puis h' A, puis AB, puis B;
.5" En partant de C, le sommet (1. puis (il), juiis EU, puis E, j)uis EF, jiiils BC, [)uis C;
4° En partant de J), le son 1 nul i ), puis l)l'>, ijiiis CI), |iiiis I),
THÉoniE DES GROUPES FUCHSIENS. 1^9
Il y a floiic quatre cycles l'ormés respectivement :
1° Du sommet A ; 2" Des sommets B et F; 3° Des sommets C et E; 4° Du sommet D.
Exemple II. — l^e polygone R„ (\st toujours un hexagone ABCDEF dont tous les côtés sont de la première sorte; mais les C(Ués opposés
AB et ED, BC et FE, CD et AF
sont conjuf;ués. Applupions la rèf;lo, ncuis rcucoutrcrcuis succcsslv c lucul :
1" En parlant de A, le somuiet A. juiis \H, puis DE, puis E, puis EF, puis BC, puis C puis CD, puis FA, puis V;
2" En partant de 15, le soinmcl H, puis BC, puis El*, puis 1^", puis 1" V, puis (^D, puis D, puis DE, puis AB, |Miis B.
11 y a donc deux cycles tonnés respectivement :
i" Des sommets A, C et E; 1° Des sommets B, D et F.
Exemple III. — Ee polygone Bq est un octoj;one ABCDEFGH dont tous les côtés sont di- la première sorte; les i(U(s opposés
AB et FE, BC et GF, CD et HG.
DE et Ail
sont conjugués.
Partons du sommet A, nous rencontrerons successivement : A, AB, EF, F,
Fig. i.
FG, BC. C, CD. GII, H, HA. DE, E, EF, AB, B, BC. FG, G, GII, CD, D, DE, HA, A.
IJO un (IIIIK III.S (illOI l'KS MC.IISIKNS.
Tous k's sommels loni (Imu; |>,iili(' 'I un ini'nic cncIc.
Exciiinlf 1 \ . Suj)[i(isoiis nuiinlcuanl ijnc les ciUés
AU Cl UC,
liC el ED,
KF et HG,
KG Cl AH soicnl <un|uj;ncs.
Parlons encore de A, nous renronlicioas ;
A, AB, eu, L), DE, liC, C, Cl), \lî, lî. lîC, l)K, K, EV, GII. Il, H \, KC,
C, CM. El". I', IC, HA, A.
Tous lo> siinirncls lunl. euGiue p.ulie <l un rn('ni(' i)clc.
Dans les <|iiain' cxeiuples pn'cédcnls, Ions l(\s c()lt''s sont de la |ui'niière sorte, Ions les cvelivs soûl (Inni; de la |ireun(''r-e on de la iliMixirine eal(''j;ori('.
Exemple V. — Le |)olvi;one 1\„ est encore un oclo;.;one ABCDEl* Gll.
Les côtés AB, CD, El', (ill soni de la |iriinn're soiM;; [es C(~)l(is BC, DE, Fd , IIA soûl di' la deuxiènu' soile. Les côlés
Al! Cl DC, ri F et H G
snnl conjugues. On ren( (Uil rer.i snece-,Ni\ rrnenl :
i" l'^n paitant de A, le ciUé AB, |ini> Cl), puis 1), puis Dis ipil e>t de la clcii\ièine sorte ;
2" En parlanl de C, le ciUé CD, puis AB, puis B, puis BC cpii est de la deuxième sorte;
3" En partant de J'j, le ciUé EE, puis Cil, put-. Il, pni> IIA ijui est de la deuxième soite ;
\" En parlant île (i. le ei'itf (ill. piii-, El', puis I'. puis I' ( i ipii i '^1 Av la deux U'uic moIc.
Les sommets se r<;parlisseul donc en ipiiil rc l■^l:le^ lornu's ii'--pril i\ enieul :
THÉORIE DES GROUPES FUCHSIENS. iSl
1° De A cl (le D; 2» De G cl (le B; 3° De E et de II; 4" De G et de F.
Ces cycles sont ouverts, puisque dans la reclierchc de chacun d'eux on a été arrêté par la rencontre d'un C()té de la deuxième sorte. Ils sont donc de la troisième catéf^orie.
On peut pousser plus juin encore la classilicaiion des polygones R„ et des i;roupes G. Voici de quelles considt'ratinns uou^^ pourrons l'aire usage à col cll'ol.
Considérons d'aliord un cycle de la première catégorie et un sommet A,, di- R,, faisant partie de ce cycle. SoientE, le côté suivant, C, son C(jnjugué, A, le somme! suivant, B^ le calé suivant, Cj son conjugué, Ao le sommet suivant et ainsi de suile, on poursuivra de la sorte jusqu'à ce qu'on arrive à un si)uim(;t A„ coïncidani avec A„.
Ou pouT'r.i nu'iiic pnuisuixre iu(l('liiiiiueat de celle façon sans vive jamais arrêté puisqu'on ne rencontrera pas de ctUé de la deuxii'rme sorte. Mais le sommet A„ ne dilierera pas de A», le sommet A„^, d(! A,, cl, eu g('M('ral, le
somuiet Ays de A/, si l'on a
h E^ /■ (iiiod «).
Le cycle se compose alors de /i sommels distincts, à savoir Ao, A,, ..., A,,.!.
Supposons maintenant qu'on décrive autour de A„ un cycle inlinimenl pclil quelconque; on sortira de R^ par le c<-)té B,, pour enlrer dans le polygone R,. Considéré comme a|)parlenant à ce dernier polyg(jne, le c<t|{'' B| sera lliomolf)gue de C| ; parcousi'qucul, le point A,, sera l'homologue de A, et le C('')té suivant sera l'homologue de B^. Le cycle inflniuicnl pclil (h'cnl aulour de A^ sortira ensuite du polygone R, en IVauchissant ce c(Ué iiiimologue de HoClenli'cra dans un certain polygone que j'a|)pelle Ro. Considéré comme appartenant à ce polygone, le C(')té qui, dans R,, était homologue de B^ sera homologue de Cj ; le |)oint Aq sera homologue tie A-, et le côté suivant l'homologue de B3.
On continuera de la sorte, la loi est manifesle. Ou passera suecessiveuiout dans les polygones R„, R,, Ro, ..., R,/, el enliu dans R^,^ qui (lc\ ra se confondre av(M' R||.
On sortii-a du polygone R/t pour entrer dans le polygone Ra+i en franchissant un côté qui, envisagé comme appartenant à R;t, sera l'homologue de B^^i et qui, envisagé comme apparlenaut à R*4.i, sera l'homologue de C/,+t. Le souimct Aq, en\ Isagé comme apparlenaal à R^, sera l'hoiiKddgue de A/j.
l3a TIIÉOIUE DES GROUPES FUCHSIENS.
INIais le |)oUj;oMe R,y (It)it x' coiilDiulro avec Ro ; donc le soiiimct A^ ne doil pas ilirt'ércr de Ao ; ou a doai-
q ^ o (mod n), tl'où
<j =pn.
I.<' iiiiiiiiiro des ])(ilvi;i)n('s (|iii ont un soniniet en A,, sera donc divisible par n. Lii Hi;ure ri-jniulc (''clalrcira peul-i'lrc ce ipii pic'cède. Nous y avons supposé
Nous n'axons représenté que les parties des poljf;ones qui sont infiniment voisines de Aq ; c'est pourquoi cliacun de ces polygones est représenté seule-
Fig. 6.
ment par un angle. Dans le voisinage de chaque sommet A (ou de chaque côté B ou G) et il l'intérieur de chaque polygone R,-, nous avons marqu('' une lettre iniliquant quel est le soniineL (ou le C()té) de Rq dont ce sonunet A (ou ce côté B ou G) est l'homologue si on l'enx isage comme faisant partie du polygone R,.
Nous avons donc, autour du point Aq, pu angles dont la somme doil être égale à air, et comme dans deux jiolygones congruenls les angles iiomologues sont égaux, on aura, entre les angles A, la relation
Or on a
II \ ient donc
A|-l- A2 + . . .+ Ar/, :
AjtnH
Axn+2
A/.,;+«-i= Aj-t- A, -H... -H A„|.
Ao-I- Ai-f- A2 + . . .+ A„-, = ^,
ce qui permet d'énoncer le tli<''orènie sulsant :
La somme des unifies de Rj (jiii (•iiircspundent aux sommets d'un même cycle de la première calé^-orie est une partie aliquote de 2-iz.
THEORIE DES GROUPES FDCHSIENS. loi
Mais ici deux cas peuvent se présenter : ou hirii la somme de ces angles sera égale à 21:, ou bien à 2— divisé par iiii nombre entier plus grand que i.
Dans le premier cas, je dirai que le cycle appartient à la première souscatégorie; dans le second cas, qu'il appartient à la deuxième sous-catégoric.
Les propriétés des cycles de ces deux sous-catégories ne sont pas tout à lait les mêmes; c'est ce qui nous engage à taire dans la jjrcmic re tamillc une coupure, et à séparer, sous le nom de premier ordre, les polygones Ro dcuit tous les cycles sont de la première sous-catégorie, pendant que les autres polygones Rj qui auroul un cycle de la deuxième sous-calégorie formeront le deuxième ordre.
Reprenons les polygones R„, R,, ...,Ry, qui ont un sommet en Aq.
Envisageons la substitution ri'elle cpii cbange R,, en R„ et qui t'ait évidemment partie du groupe G. Cette substitution ne changera pas le point Ao qui devra par conséquent en être un point double. C'est donc une substitution elliptique; elle pourr.i se mettre sous la forme (3) (§ I) et de telle sorte que
Supposons maintenant que le |ioint Ao, au lieu d'appartenir à un cycle de la première catégorie, appartienne à un cycle de la deuxième catégorie. Tous les raisonnements précédents s'appliqueront, puisque nous n'avons suppos(' qu'une chose : c'est que le cycle était fermé, et puisque cela est vrai des cycles de la deuxième comme de ceux de la première catégorie. Seulement le nombre q, et par conséquent le nombre/), seront infinis. La somme des angles correspondant aux (li\crs sommets du cycle sera donc nulle et c'est ce qu'il était aisé de |>révoir, puisque tout angle tl'un polygone normal dont le sommet est de la deuxième catégorie est évidemment nul. Lu subNtilution réelle qui change R„ en R„ ne changera ])as A,,. Ce sommet en sera donc un point double, et comme il est sur X, la substitution sera parabolique ou hyperbolique.
Soit S cette substitution; soit Ca le côté qu'il faut franchir pour (lasser de R* dans Ra^.]. Ca^„ sera le transformé de Ca par S, de sorte que les divers côtés Ca seront les transformt-s successifs de Cq, C(, ..., C,j i par la siibsi itiition S et la substitution inverse.
Supposons d'abord que la substitution S soit parabolique. Nous avons vu (§ I) qu'un arc (îni de courbe qui ne coupe pas X ne peut rencontrer qu'un nombre fini de transformés successifs d'un cercle -tel que Cg par une substitution telle que S et par sa substitution inverse. Un pareil arc ne passera donc
l34 THÉORIK DRS GROIIPES FUCHSIENS.
qu'à li'avcrs un iiouihii' liiii des polygones R„, R,, ..., R^, ..., qui oui un siuuiucl eu Aq.
Supposons, au conlr.iire, que l;i suhsiil ul imi S soltliyperbolique. Soient A,, et A„ les doux points doubles de celle sulislilution, C le cercle décrit sur A^A'^, conunc dianii'lre. Nous avons vu (§ l) qu'un arc fini tie courbe qui ne coupe pas X rencontre un nombre infini de transformés successifs d'un cercle tel que C„ ou n'en renconire qu'un noud)re lîni, suivant qu'il coupe ou ne coupe pas le cercle G. Un pareil arc traversera donc un nombre infini des polygones R„, R,, ..., Ry, ..., s'il coupe G, et il n'en traversera qu'un nombre fini s'il ne coupe pas C. Si la substitution S est parabolique, nous dirons que le cycle auquel appartient Ao est de la troisième sous-catégorie; si elle esl byperbolique, nous dirons que le cycle esl de la quatrième sous-catégorie.
Gela va nous |)crMU'llre de subdisiser les deuxième, qualriènic, sixième, s(;ptièiuc tamilles.
Un groupe de l'une de ces familles appartiendra au premier ordre de celte famille s'il ne contient pas de cycle de la quatrième sous-catégorie, el au deuxième ordn; s'il conlienl des cycles de la qualrième sous-catégorie (').
Ju^qu ici, nous avons raisonné sur les groupes lucbsiens en supposant qu'ils exislaient et nous n'en avons pas démontré l'exislence. Nous avons vu que (oui grou|>c fuclisien G peut être considéré comme engendré par un polygone normal R„ dont les côtés sont de deux sortes; ceux de la première sorte sont des arcs de cercle ayant leur centre sur X, ceux de la deuxième sorte sont des segments de l'axe X liii-ii]('iiie. i^es côtés de la première sorte sont au nombre de 2« et se répartissent en |)air('N de côtés conjugués. Quand on couuait le jiolygone R„ et la réparlion de ses côtés en paires, le groupe G correspiuidiiiu est, en général, parfaitement dé-terminé. f)u;uil aux sommets, ils se répail Uscril en un certain nombre de cycles.
Pour pouvoir donner nais sa rue à un groupe Iik li-.Kni ( i, le polygone 1\q doit .satisfaire à deux conditions :
C) On peut se passer de cette flernicre sutjflivision. Poiiuaré tlcnioiilre plii.s loin (lu'on peut éviter les cyeles fie la quatrième sous-catégurie, en niodiliant conveiialjleiiienl le puiy^one H„. Mais cette diMiiunslratimi appelle des critiques; en réalité, le polygone générateur n'admet pas de» cycles de la qualrième sous-calégoric. Voir les Notes fi la fin du Volume. N. K. N.
1° Deux côtés conjugués doU'ent être congruenls ;
2" La somme des angles d'un même cycle de la première catégorie doit être une partie alicjuote de 2 tt.
Ces conditions sont nécessaires; sont-elles suffisantes? C'est ce que je vais démontrer.
Je suppose que le polygone Ro soit donné, ainsi que la distribution de ses cotés de la première sorte. De cette connaissance résulte celle des substitutions fondamentales du groupe correspondant et par conséquent la possibilité de construire les polygones R limitrophes de R„ ('). Opérant sur ceux-ci comme on a opéré sur R„, on construira les polygones limitrophes des polygones déjà obtenus et conlinuanl indéfiniment cette opération, on construira une infinité de polygones congrucnts à Rq- Mais ici plusieurs hypothèses peuvent être faites :
1" Ou bien les polygones ainsi construits cou\ riront une partie du plan mais ne la couvriront qu'une fois de manière à ne pas empiéter les uns sur les autres et à ne pas se recouvrir mutuellement. Alors ils formeront une sorte de damier; la portion du plan envisagée sera partagée en un certain nombre de régicuis congruentes entre elles. L'existence du groupe fiirlisien correspondant à Rq sera donc démontrée.
2° Ou bien les polygones construits de la sorte empiéteront les uns sur les autres de façon à recouvrir une partie du plan plusieurs fois ou même une infinité de fois. Dans ce cas le groupe auquel conduirait R^ (c'est-à-dire le groupe dont les substitutions fondamentales sont celles qui changent chaque ci'dé de la première sorle de Rq en son conjugué) est continu; ce n'est j>as un groupe fuchsien.
Comment reconnaitrons-nous mainleuaul (|ucl est celui de ces deux cas au(pi(^l nous avons all'aire? Considérons un point quelconque A, intérieur à R,,, et un second point R quelconque. Joignons A à B par un arc de courbe quelconque AMB. Cet arc sortira de Ro par un certain côté Co ; on construira alors le polygone R,, limitrophe de R^ le long de C., ; si AMB sort de R, par un côté C|, on construira le polygone Ro. liiiiilroplic de R| le long de C, et ainsi de suite.
Les arcs AMB seront fie deux sortes :
l" Ou bien, après un nombre fini d'opi'ial ions de ce genre, on finira par (') 11 faul excepter les cas dont il est, nuestion dans la iiule de la paye ui). >i. E. i\.
l36 THÉORIE DES CROUPES FUCH8IENS.
trouver un polygone R„ duquel ne sorte plus l'arc AMB, de telle façon que le point B soii à l'intérieur de R„ ; c'est alors que le point B se trouve dans la punie du plan rocnuverle par les polygones R et que l'arc AMB ne sort pas de celle parlic du plan : Tare AMB sera de la première sorte.
2" Ou i)i<'n. (pielcpie grand que soit le nombre des opéralicuis elVecluées, on ne trouvera jauiais un polygone Rn duquel ne sorte plus l'arc AMB : l'arc AMB sera alors île la deuxième sorte.
Au >ujcl (lu poiul B (Ml |)eut faire trois liypotlu''ses :
i" Tous les arcs AMB (lu'ou peut Ir.iccr cnlre A et B siuil de la (l(Mi\ii''nie sorte; le point B est alors hors de la partie du plan recouverte par les polygones R.
2" Parmi les arcs AMB tracés entre A et B, il y eu a de la première sorte; cliaciiu de ces arcs conduit, d'après ce qui précède, à un polygone Rn à l'intérieur duquel se trouve B. De plus ce polygone R„ est le même quel que soit l'arc AMB de la |)r(Nnière sorte pnr lequel ou a jcuul les deux points A et B. Dans ce cas le point B est dans la partie du plan recouverte par les polygones R; de plus ces polygones ne recouvrent celte partie du plan qu'une seule fois el l'existence du groupe fuchsien correspondant à Rq est démontrée.
.1" Parmi les arcs AMB tracés entre A et B, il y en a de la |>remièrc sorte ; cliacuu deux couduil à nu polvgone R„ à ["iul<'Tieur duquel se trouve B; mais ce polygone change quand ou change l'arc AMB. Dans ce cas le point B est dans la partie du plan recouverte par les polygones R; mais ces polygones recouvrent celle partie du |)lan plus d'une fois de telle sorte qu'il n'y a pas de groupe fuchsien correspondaul à Ro-
Nous sommes donc conduits à la règle suivante :
Il faut joindre deux points A et B par deux arcs AMB, AiNB de la première sorte el rechercher si ces deux arcs conduisent ii un mc'inr polvgone R„.
M, 11'- MoM> pou\cms la moililier (h' la manière sMi\aiile : On trace un contour fermé AMA, dont le point initial et final A est iiilcricur à II,,; si cet arc A.MA sort de Ro par un côté Cj, on construira le polygone Ri, limitrophe de R„ le long de Co; s'il sort de R, par un côlé C,, on construira le polygone R2, liini- Iruphe de R, le long de Cf el ainsi de suite. Je suppose de plus que l'arc AMA soll de la première sorte, c'est-ii-dire qu ou l'ail choisi de telle manière qu'après un inuiihre dm d'opir.ilioiis. on arme à nu polvgone R„ d'où ne soiic plus l'arc AM \. l'iiiif ijiii' le groupe jacksien. existe, iljniil rt il siiflit ([uv , quel
THÉORIE DES GHOUPES FUCHSIENS. 187
que soit le contour AMA de la piemicre sorte, le polygone R„ soit précisément Rg.
Supposons d'abord que le polygone Ilo envisagé n'admette (las de cyele de la quatrième sons-catégorie.
Dans ce cas j'énoncerai les tliéorcmes suiv.uits :
I. Tout arc de courbe AMB qui coupe X est de la deuxième sorte. — En eiïct, le polygone Rq est tout entier an-dessus de X et il en est par conséquent de même de tous les polygones Jl qui lui sont congruents. Supposons qu'on construise les polygones R, , R^, . . . , R„ couime il a (■!(• dit plus haut. 11> seront tous dans la partie du plan située au-dessus de X, et, connue l'arc AMB doit sortir de cette partie du plan, il devra sortir tle R„ rpielque grand que soit /; .
II. Tout arc AMB cjui ne coupe pas X est de la première sorte. — En eft'et, je construis ci^mmc il a clé dit plus haut les polygones
lî,, K.,, ..., li,,
et j'appelle ),^, la porlinu de l'arc AMB qui est à l'iiilérieur du polygone K/,. L'arc AMB \a se trouver tlécomposé eu une s('rie dans a,,, ),, , Ao, . . . , coiiespondant à la série fies polygones R„, llf, lîj, .... l>i' uoud)rc tic ces arcs ((pii est celui (l(\s polygones correspondants) seia liui si AMB est de la première sorte ( ce (|ue nous nous proposons de démontrer )pI iuliui dans le cas conir.uie. L'arc ),^, |oindra ('v idcmiiu'Ut deu\ côtés de l,i pi'euiièie soric du polygoiu' lî,,, CLir il ne doil pas coiq)er \ et ne peul, par ("onséciucnl , aboutira un C(')té de la deu\ièuie sorte, puisque ces côtés sont des segments tic X. On peut d'ailleurs taire deuv livpotbèscs :
1" ()n peut supposer que les ilcu\ côtés auvqucLs alioulil I arc /,p stuit deux ciités const'cul ifs du polyginie R^ séparés seulement par uu sommet A^ de ce polygone, ,1e dinii (pic )./, est de la première espèce et qu'il sous-tend le soinlucl A^,. Kxcirqiles ; les arcs CIJ cl 1' < î de la ligure ".
2° Un peut supposer (pie les deu\ C(')t('s auxquels aboutit l'arc ly, ne sont pas conséciitits, et dans ce cas je dirai que Ay, est de la deuxième espèce. E.\.em|)lc : l'arc AB de la ligure. Le polyg(jne R^, étant congruent à Ro, l'arc ),/, sera congruent à un certain arc À joignant deux points du périmètre de Ro apparleuaiil à deux c(jlés non ctuisécutils. Il est clair que la distance de ces deux points ne pourra être inlininieul |ictile et que, par conséqueiil, la L H. I'. — II. i8
THEORIK DES C.noUPRS FUCHSIRNS.
(l'oir ^ ]\) (le col arc ). ne sci'ii |);is ui>n |ilii'; iiilliiiiniiil |)clil(\ iiiiiis scr.i plus •jramlc qu'une ccrt;niii' ([u.mlili' (louiicc l\ . l/i \, ilc l'arc Xp scr.i la iiii'uic ([ue celle (le 1 arc eoni;riu-nl a; clic sera diiiic plus jurande que Iv.
Soil Lo la \j lie l'arc AMB; elle est finie, parce que cel arc ne coupe pas X.
Le iionihre des arcs ),/, de la seconde espèce sera donc plus petil t[ue -r- > el |>ar conséquent llmilé.
( )[i piiuna I II HIC priMidi'c ij a^sc/. ^r.iud pour (pic les arcs Ay,i , /.y^.>> •• • et en s;énéral les arcs A^ où /' > '/ soieiil tous de la pi('uii(''re e^p('ce; il reste à (l('inonlrer (pie le iiiniilire de ces arcs A^ (/>>> (^ ) est lini.
J'envisajic dcu\ arcs consécutifs '/,p et >./,,, el l'arc [JLp = X;) -H X/,+ i lormé par leur réunion; je dirai que l'arc 'j.p e^l de la pr(;iiiière catégorie si les arcs
l'ig. 7.
Kp et A/,^i sous-teiideiii iiii iiKMiie soinuicl, el de la deuxième catégorie dans le cas contraire. \ iiisi l'arc (>K de la ligure sera de la deuxième catégorie el l'arc FH de la première, parce ([ue l'arc (]1) soiis-lend le siuiimet A^, pendant que les arcs FCi, (jH et DE sous-lendcnt le sommet A' .
l'.nvisageons un arc <Xp de la deuxième cah'gorie : il aboiilira à deux C(")lés de la piemière sorte appaihiiaiil l'un à R^,. l'aiilre à H/j+i et il tr.nersera le ci'ité C^ qui sert (le Irmilic're ('(immiine ii ces deux [lolygones ; d'ailleurs ces trois côtés n'ont aucun point commun.
Le polygone R^ élaiit congriienl à R,,, le c(')l('' i\p sera congriienl :'i un des crUés II de W^. .Soit R' cidiii des polygones 1! (pu c>l limilroplie de R,, le long de H: l'arc 'x„ sei'a C(jnuiueril d'iiii ceilain arc <t. dmil rime des e\l ii'iuili's sera sur un des e()tés B de l!,, el l'aiilre -.cra sur un des C()tés R' de R'; cel arc traversera le e()té II. D'ailleurs les lidis C(')t('s R, II et R' n'aiii'ont aucun pniiil commun.
Dans ces condilions. il e>l claii' ipie l,i l,de l'arc a el par cons(''ipiciil celle de jAy, n'est pas inlinimciii pclile ci e^i plus grande qii une (piaiil île lixe l\. Il -iiil de là, Comme plus linil. ipie le uimilire des ai'cs u.p de la deuxième cali'goric est limité el ipi Un pourra prendre (j assez, grand pour ipie Ioiin les arcs
THÉORIE DES GROIPES FliCHSIENS. iSg
'J-ii+i- '■'■I/+2- ■ • • f^t en i;('ii('ral tXpi p ^ (j ) soieni loiis de hi jirciiiièrc catégorie; en d'iiutres termes, tous les arcs )-^+i, Ay,o, ... et en gênerai tous les ares X^(y) > </) sous-tendront un même sommet D.
Il reste à ilc'inontrcr que le nombre de ces arcs "kp sous-tendant le sommet D est fini. Nous pouvons taire deux livpotlièses :
i" Un bien D ap|)arlient à un cycle de la première ou de la troisième catégorie, et alors ce sommet n'appartient f[u'à un nombre liui de polygones R, et par conséquent le nondire des arcs kp est nécessairement fini ;
2" Ou bien D afiparlient à un cycle de la deu\ième catégorie, c'esl-à-dire de la troisième sous-catégorie, puisque nous avons supposé que le polygone R„ n'admettait pas de cycles de la quatrième sous-catégorie. INous avons vu (§ V) qu'un arc de courbe ne coupant pas X ne pouvait traverser (ju'un nombre fini des ])olygones auxquels appartient le sommet \). il suit do là que le noudjre des arcs \p est fini.
Donc, dans tous les cas, le nond)re «les arcs \p est fini; doue l'arc AMB est de la première sorte. c. q. f. n.
Donc In jiarlii' <lu ji/un rrcoini'flc jxir l<;s /mly^-oncs R esl In jxiÊlic située au-di'ssiis de X.
Considérons maintenant un contour fermé AMA de la première sorte, c'està-dire ne coupant pas X; appliquons-lui la règle exposée plus haut et supposons qu'en le parcourant on renccuitre successivement les polygones Ro,R|, •■• pour armer au |iolygone R„ quand on sera de retour au |)oinl A. Si le j)olvgone R„ est précisé'uienl R,,. je diiai que AMA est de la picmière espèce, et, dans le cas contraire, qu'il est de la deuxième espèce. Pour que le groupe l'uclisien existe, il faut et il suffit que tous les contours AMA de la premièi-e sorte soient de la première espèce. A ce sujet je démontrerai successivement les théorèmes suivants :
III. Si le contour AMA se compose : i" d'iui arc de courbe AMB, 2" d'un contour fermé infiniment petit BiNB, '>" de l'arc AMB parcouru en sens contraire , il est de ta première espèce.
En elTet, construisons successivement, d'après la règle exposée plus haut, les polygones Ro, R|, Ro, ••., R^m que Ion rencontre en parcourant l'arc AMB. Parcourons ensuite le contour infiniment petit BNB. On peut faire au sujet de ce contour trois hypothèses :
ijo TUKOHIIÎ MRS (illOI PKS FlinilSIIÎN'S.
i" Ou liicu H M? i-olo liiiil rnlici- ii l'IiiirTiriir du |)i)l vj;i)iie R,„ et alors parcourant ce couldiir nu ne ^nrinw |ms île ee |ii)lvi;()iie ;
2" Ou bien BAB fr.uicliil uu des eittés C,„ de R„,, uiiiis sans envelopper un des souluu•l^ de ce polygone. \lor>. en sui\anl le contour, (Ui sortira d'abord de R,„ en t'r.incliissant le cot(' (j,„ pour entrer dans un nouveau polyj;one Rm+i, puis on sortira de R„,+i t'u franchissant le côté C,„ en sens contraire cl par conséquent en rentrant dans R,„;
3" Ou bien BIVB emcloppe un des sommets de R,„. Ce sommet sera forcement de la première catégorie, ]uii\(pi il ne pourra être sur X. Ce soiumet appartiendra ii un cvcle comprenant par exemple 11 sommets et la souime des angles correspondants sera ^^ • (^n rencontrera alors en iiarcourant B?sB suc-
cesslvenicnt j9/i polygones R,,,.^), Rm+21 ■ • -i Rm+pn ; la somme des angles en D de tous ces polvjidnes ('tant aTt. R,,,.,./,,, se ronfondr,\ a\ec R„,.
Donc, dans tous les cas possibles, on retombera sur le polys^one R,„ après avoir parcouru le contour BINB. Parcourons maintenant l'arc AINIB en sens con- Ir.iire; nous rencontrerons successivement les poh;;ones R,„,R„,|, ...,11,, R,,, c'est-à-dire, d.m- I ordic luxerse, ceux ([uc nous axions rencontres en p.ucourant une première fois l'arc AMB. (^)uand nous scnuis de retour au point A, nous rclomlicroiis ^iir le pid\L;oiic 1',,. l)ouc- le coiiloui- AIVIA sera de la première espèce. c. q. k. u.
I\'. Si deux coiiloiirs AMBPA, APBNA sont de la pronicrc soitc el de la première espèce . il en sera de iiiè/ne du ca/ilnur K^ilUW Jnniir par leur réunion.
En efFel, si AMBPA, AI'I'.N \ -oui de la pniuicrc >ortc, c'est que ni AMB, ni AAB ne sortent de la r(''f;ion recouverte par lis poU>;oncs R et, |)ar conséquent, que AMBÎVA est aussi de la première Mirie.
Si AMBPA est de la j)reinière esj)èce, on arrive au mr'mc polygone R„ en
THÉOIIIE DES (.nOlIPES FUCHSIENS. l4 [
suivant l'arc AMB ou l'arc ABP; si APBINA esl de la [n-eiiiicre espèce, on arrive au même polygone R„ en suivant l'arc A PB ou l'arc ANB. Donc on arrive au même polygone R„ en suixani l'arc A.MBou l'arc ANB. Donc AMBNA esl (le la jiremière espèce. c. q. v. n.
V. Si an contour AMA est de la première sorte, tout contour ANA qui lui esl intérieur est aussi de la première sorte.
En ellet, si AMA ne coupe pas X, il en sera de même du conlnui- iiih'ricur
