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THEORIK DKS GhOt'PES FUCHSIENS.

ils siinl doiii' ci)ni;rucnts. Enliii l'auiilo V csl ('nal à — i l'anclc B A- I) il —,

n jj o

l'uni;!»' (1 à —, les noiiilircs a, [i, v tHaul riilK rs.

Nous pouvons joindre les deux souiniels opposés A el G par un arc de cercle ayant son cenlre sur X, le quadrilatôre R,) se Irouvcra ainsi (h-coniposé en deux triani;les curvilignes ACD et ABC

Je V(uidr,\is inainlciiaiit di liiiii' nui' cxjiiessioa dont je serai inielqnelois appelé à nu> servir dans la suite. Eii\ isageons dans le plan une liMiisloruialion par rayons \(Ml('ur> n'ciprorpies ; su icnl o le cenlre de la Iranslurnial mn el K.- son paramètre; le cercle C dont le centre est o et le rayon K demeure inaltéré par la transturmation. Je dirai que cette transformation est une rèjlexion sur le cercle C et que deux figures transformées réciproques sont symétriques par rapport à ce cercle.

Cela posé, il est clair (pie les deux triangles ACD, ABC sont symétriques par rapport au cercle AC. il suit de là (pic les angles curvilignes CAD et CAB, ACD et ACB, ABC et ADG sont égaux et par conséquent que le triangle ABC

, . , , t: H Ti

a ses trois angles resi)ecti\eiiieiil eijaux a - I 7r> -•

Soit maintenant R| un quadrilatère limitrophe de Ro le long d'un de ses ctités, (](' AB par exemple; ces deux polygones seront symétriipies par iM|)port au cercle AB.

(ieii llllll^ riuidiiil. d.uis le eas pari leii I ler' (pu luiiis oeiiipe, il une conslnictlon 1res simple du -\>|eiiie di"- piiU^oïK's 1\.

( )ll ei)ii--l ni lia d al)()i(l MU I ri.ili;.; le \ 1!( 1 doiil les I iios ailg les ^e|•lllll re>peel i\ c-

iiieiil - ' 7 ' - : un lie ni e( m si m ne une iiiliii ili' de parei l> I riant; les, mais 1 1> sont ^ ^ ., I 1

tons eiingriieiils eiilre eux; (iii eoiisl iii iia ahirs les li'iangles SYUiél riipies de ABC par lappiiil ii leurs eiilis iisiis lilires el ainsi de siiile. ()ii parlagera ainsi le |)iau eu une iulliiili' de Inaiigles loiis coilgiiienl s ii ABC (MI il \('il) el eu les réunissant deux ii deux, mi .iiiia partagi; le |)lan en unv inlinilede (piadrilalires cnui;ruenls ii i'i„ — MîCI).

(^)ii .11 ri\ era-l-i I si I un des m nul ne s eul lers a, ^i. "' de\ leiil m Uni ; sii|i|m)siiiis par exemple ipie ec soil -' (nii de\ lenne inliiii; l'aniile (1 ipii était ('gai il —

dex leiidiM nul ; le e\ r|c liiinii' p i r le suiiinni ( , cessera d r-l le de Li |ireiii leii' eilegiirie pDiir de\eiiiide 1,1 iniisièiiK' si 111 s-cat égiM'ie . lî,, se eoiilpi iser.i 1 1 eniiU'e de deux Iriaugio AB(!. \l>(i s\ nii'i rnpies par lappiirl .m eeicle \(.. Les deux Cl')! es A C et BC sont des arcs de' cercle qui sunl lan^enls en un pninl (y silne

sur X; le côté AB est aussi un arc de cercle coupant AG et BC sous des

ana-les - et ^".

Supposons en particulier :

Supposons de [)lus, pour achever de déterminer le triangle ABC, que les côtés AG et BG se réduisent à deux droites per[)endiculaires à X de telle façon que le point G soit l'ejeté à l'infini; que la droite BG prolongée vienne passer par l'origine O; que la distance des deux parallèles AG et BG soit égale à -• Le cercle AB aura alors [lour centre o et pour rajon i . On relondiera ainsi sur le F undamentaldreieck de M. Klein (yI/«</(e/»a^t5cAeyi««a/e«, Bd. XIV). Le groupe fuchsien correspondant est extrèuienient remarquahle ; il se compose de

toutes les substitutions ( ;,— ^ -\ telles que rt, 6, c, d étant entiers, on ait

ad — bc =^ I. G'est la considération de ce groupe et des sous-groupes qui y sont contenus qui est le fondeuient des reclierches de M. Klein -.ur les fonctions modulaires.

Exemple //(iG, ^(5, '.\\) :

G'est l'exemple I du paragraphe V. Le [)olygoneRo est un hexagone ABGDEF et les sommets forment quatre cycles distincts formés respectivement des sommets A; B et F; G et E; 1); les angles curvilignes A, B + F, G -h E, D doivent

être respectivement cijaux a — i -rr- • — ' -iv-; a, 3, Y, o i;tant des nonn)res

entiers positifs ou infinis.

Un cas particulier intéressant est celui où l'hexagone se décompose en deux quadiilalères ABGD, ADEF, symétriques pai- rapi)cu-t au cercle AD. Dans ce cas, on a, pour les angles curvilignes de ces deux quadrilatères, les valeurs suivantes :

BAD = DAF = - ; CD A = EDA = T ;

Pour construire tous les hexagones R, on pourra alors opérer comme dans l'exemple précédent; on construira le quadrilatère ABGD, puis les quadrilatères symétriques par rapport à chacun de ses côtés, puis les quadrilatères symétriques de ceux-ci par rapport à chacun de leurs côtés, et ainsi de suite.

Considérons maintenant un exemple plus général. Supposons que Ro soit un polygone de a« côtés de la pi-emière sorte dont les sommets soient successive-

I i<> TIIKORIK DKS GROUPES FUCHSIENS.

\ cmi'iil V , . \ ., \„, \„ , I , I5„, n„i l>j. .Sii|i|)iisi)iis (|ii(' les (:(')lt's

A|As et A,Hj, A2A3 el BjB,,, ..., A^iA, ci li„-,li„, A„A„+, el B„A„+i

SDioiil Clin jii^iii's. Los somniols so ri'|iinl iroril en /( + 1 cvcles :

Ai; As, Bj; A3, B3; ...; A,,-,, B„i ; A„, B„; A„+i

el le pipl\i;iine R„ s'i'c'i'ira, (l.uis le syslènie de ii(il;il 11111 ailii|ilé :

(i .f.ii, ■> .f.n — 1 , 3 . •->. /( — •>-, . . . , « — !.« + .>,, /I . Il -r i).

Dans 1111 certain cas pari iciillcr. ce i)i)lyj;'>nt' f^o ^"^ divisera en deux moitiés

A, Aj A3 V„^.| et A iBjBs ... B„ A„^, syinclri(|ues par rapport au cercle A, A„^, .

Chacune de ces molliés est un polygone curviligne dont les côtés ont leurs centres sur X et dont les angles sont des parties aliquotes de tï. Pour construire tous les polygones R, il sullil de partir de A, A^ A3 ... A,,^, , de construire les polygones svinetiicpies de celui-ci pai- rapport à luu de ses côtés, puis les polygones syiu('lri([ues de ceux-ci pu- lajipoil à cliacun (!<■ Ii'urs ci'ilt's, el ainsi de suite.

On pourrait citer un grand nombre d'autres exemples de polygones générateurs de groupes fnchsiens. Parlons seulement des exemples déjà cités au paragi'aphe V. Avec le mode de notation adopté, les polygones Rq des exemples II, III, IV et V s'écriraient :

Quelles sont les conditions auxquelles dans ces quatre exemples doit salislaire le polygone Ro pour donner naissance à un groupe fuchsien?

Dans les trois premiers exeiiiples les ci') lés conjugués doi\ eut Tire congrucnts. De plus, dans rexciuplc 11, la somme des angles de rang pair, comme celle des angles de rang im|iaii-, doit être une |iarlle a liq 110 te de 271; dans les exemples 111 el IV c'est la somme tle tous les angles qui doit diviser 2n.

Dans l'exemple V^, le |)olvgone R^ n'est assujetti à aucune condition.

"VIII. — Classification en genres.

.l'ai fait voir dans ce qui précède commeiil mi pomail partager la partie du plan qui est au-dessus de X en uwf iiiliiiiir' de [jolygones curvilignes R

THÉORIE DES GROUPES FlICHSIENS. l47

coiii;riieiils cuUe eux. Eii\ isaf;eons niainlonaiit la partie du plan qui ot au-dessous de X, el dans cette partie du plan les polygones curvilignes R'^, R', , ... qui sont respecli\cnient symétriques de Ro, R(, ... I)ar rapport à X. Il est clair que si R, est le transl'onué de Ro p;»r une certaine sui)siiiuti(in /,(3) du groupe G, R- sera le transl'oruié de R',, par cette même sul)Nlilul ion. Les substitutions du groupe (i qui transfornieul R„enR,,R2, ... Iranslonueront donc de même R'„ en R', , R.^, .... Mais plusieurs cas sont à considérer: si R„ n'a pas de sommet de la quatrième sous-catégorie, l'ensemble des polygones R et R' recouvre tout le plan; si, au coulraire, nous avons des sommets de celle sous-catégorie, les polygones R etR' laissent non recouvertes les régions situées à l'intérieur d'une infinité de cercles ayant leurs centres sur X (').

Voici une seconde distinction plus importante pour ce qui va suivie. Supposons que le groupe G soit de la première, de la deuxième ou de la sixième ramille, nous n'aurons ni sommet de la Iridsièmc catégorie, ni ciîté de la deuxième sorte. Le polygone Rj n'av.int pas pour cnlr de segment de X sera complèiciiitnl .s('pari' de son sviiirl ii(pie R„ ou bien confinera à ce polygone par un sommet seulement (s'il a des sommets de la deuxième catégorie) et non par tout un côté. Supposons, au contraire, que le groupe G soit de la troisième, de la quatrième, de la cinquième ou de la septième famille, le polygone Ro aura iiii on plusieurs cclti's de la deiixièine sorte <'l eouliiicra à son symétrique R„ loiil le long (le ces côtés. Supposons qu'un supprime ces C(")t('s de la deuxième sorte qui servent de frontière commune à Ro et à R,, : on pourra considt'rer rensemble des deux ligiir(;s l\„ {- R,, comme une seule rt'giou qui sera limitée seulement p.ir des arcs de cercle avant leurs centres sur X, c'està-dire par les côtés de la première sorte de Ro et ceux de R„. L'ensemble de ces arcs de cenle lormera en gtMu rai plusieurs courbes fermées séparées.

Nous alloii-. maintenant pouvoir parler d'une iionvelle classification des groupes fuciisiens. Considérons d'abord iiii groupe de la première, de la deuxième ou de la sixième famille : le polygone Rq n'aura pas de C('né de la deuxième sorte; [lar conséquent les points du périmètre de Ro seront correspondants deux à deux, |)uisque à cbaque point d'un er)té de la pn^iuière sorte correspond un point de son conjugue; les points lul('rlenrs à R,, n'aiiroiil auciiii correspondant ni ilaus ce polygone, ni sur son pi'riiiièire ; culiu Ions les sommets d nu iiK'iue cycle seront rorrespoiulaiils. Supposons inrcui deecuipe

(') loir la noie cii- la piv^K i^a. >'. ]£. >",