I.JS IlIKOllIK l>i:s (.IIOIPES KlICIlSIIiNS
lo nolvj;oiie Un, |)ins quiui !<■ r('|>lic eu le (Icldiniuil d iiiir iiiiuiicie CDUtimic 01 (le toile iaçon que les |)i>iiils eorrcs|>nii(hiuls ilc son piririièlre viennent se coller Tmi coiiire l'aulre; après celle délornial ion, Pio sera devenu une surface fermée. Si, par exemple, on reprend le qiiadrilalèic \IÎCD do l'ovemplc 1 du paragraplio pr('oédenl (!t si, après l'avoli' di'Coupc', mi le replie eu le diMoiiuanl de telle sorlo quo AB vienne se coller eulio AI), puis 15(1 roulie CIJ, R,, aura pris laspecl d'une surlace fermée convevo.
Considéi'ons uiainleuant un quadrilalère ABCD du système (i3, :^'i) de telle sorlo quo AB Miit ooiiiui;u(' i\c I )C et BC de AD. Ro|)lions lo quadrilatère de façon à coller AB contre DC, il prendra l'aspecL d'une sorte de cylindre (juverl par les deux bouts, les côtés BG et AD étant restés libres, mais étant devenus (\c< courbes fermées; si l'on colle ensuite AC contre BD, le quadrilalère proudi'a l'aspect d'une sorlo d aunoau loriiio.
On -ail (pie les surlaoos ioruK'es sont suscc|)til)lcs d'("tre classées en j;oiires (le la manière suivante : sur une splu''re, par o\oiuple, on ne |ieul tracer un cycle fermé sans subdi\isor' la smlaco de la s|)lièrc ^'n doux réj;u)ns distinctes; il n'oii est pas de même sur un loro donl un cercle nK'ridien, par exemple, ne Milidixise pas la surface en deux réf;ions distinctes; mais on ne pourrait tracer siii' le l(ire deii\ e\(les ternii's sépares sans (ilileiiir une seiiihlalde siilid ivision.
Le f;eni'e d'iiiu,' surlace leniiee est alors lo immliro ma\iinuiii dos cycles leiMK's .séparés quo 1 On |)enl tracer sur la surlaco sans la suli(li\ isor on deux rejiions distinctes. Ainsi, une siirlaoo lenni'e d.iiis la(piello on aurail percé p trous ser.iil do j;onre ji.
Le f^envc d un i;rou/ic /iiclisirn situ tr i;r/irc de /il sur/arc /erinée. nlili-niir iiiiiinii' Il rinil d l'Irr dil jidr lu ih'-J niiiiii l uni dr Hq-
C(Uiiiiieiil iilileiiir ICxpressiiui de oe t;onre?
Su|)p(jsons qu'(jn ail subdix isé une surface de i^enre y> eu !•' polvi^onos curvi-
lij;ncs, que le nombre lnlal dos ci'ilés soil A et celui dos sdiiimels S, on aiini la
ridai ion
l" + S — A = — ip -+- ■>..
liO|)roiioiis le ])olvf;one B,,; soient kii le iniiiilire de ses oi'ili's de la première
sorte et Cj celui des cycles fermi's. \pi('s la di InnnatKui. les ei'ili's étant Miiiis
se coller 1 un cimire I .iiilre ileiiv \\ (len\. le miinlire des eiUes dislinols restants
sera // : de même lo nomlire des siunmels disimeis risl mis >eia ry.
On aiii.i ddiic
THKOHIE DES GROUPES FLCHSIE.VS. r49
(iOÙ
(Jf + I — H = 1 — ip
OU
Reprenons les exemples I el 11 du piuvigr.iplie prért'denl ; nous aurons
d'où
Je vais donner une autre application de la rè^le qui préct'de.
Supposons que le polygone Ro ait in C(Ués de la preuiière sorte et de telle laçon que les côtés opposés soient conjugués. Pour linnser le !;enre du j^roupe Inchsien correspondant, il laiil cliorclier le nombre des cycles entre lesquels se répartissent les in sommets. En appliquant la rci;le du paragraphe V, on trouve que tous les sommets appartiennent à un même cycle si n est pair, et que, si // est impair, on a deux cycles formés, l'un de tous les sommets de rang pair, l'autre de tous les scmimets de rang iiiipiir. ()n a diuic
selon que n esl pair (ui impair, cl [lar cousr(pionl
n P=l si /) est pair, et
Il — I
si n est impair.
Supposons maintenant que le polygone Rq admette des C(îlés de la tieuxicme sorte; il sera contigu tout le long de ces C(>tés à R„, de sorte que la régimi Ro+ R'd sera d'une seule pièce; les points situés à l'intérieur de cette région ne pourront être correspondants à aucun autre point de la région; les points du périmètre, qui appartiendront tous à des côtés de la première sorte de Ro ou lie R'ii, seront correspondants deux à deux; enfin les sommets d'un même cycle seront des point'^ iiiii'i'-ipondauts. iJéc(jup(iii-- maiiiteiiaal la région Rq + R'ji et replions-la eu la diUoriiiaiit de Irjh' façon que Ic^ pniuts correspondants de son périmètre \icnncnt se coller l'iiu contre l'autre. Le genre du groupe fuchsien sera par définition celui de la surface fermée ainsi olilenue.
Soient encore m le noinhie des côtés de la première sorte de R^, q celui de ses cycles fermés; Pi„ aura tie même m côtés de la première sorte et q cycles
l5o THEORIE DES GROUPES FUCHSIENS.
fermés. Supposons que nous ayons /( côlrs de la deuxième sorte et par conséquent /( cycles ouverts qui seront comunins à R„ et à R'„.
Reprenons la tormule
>S(iM> iinrons F = ?., car niMi> axons deux poly;;i;)nes Rq et R,, ; nous aurons
A ^ 2« + /'. car nous a\ons /; paires de cotés de la première sorte provenant
de R,,- " paires de eôlés de la preniière sorte provenant de R^ et, h côtés de la
deuxième sorte; enfin on aura "> = iq ^ lu [uiisque nous avons en tout iq
cycles fermés et h cycles <iu\erts.
Il vient donc
Supposons |>ar exemple que Ro soit de la troisième famille, c'est-à-dire que tous ses sommets soient de la troisième catégorie. On a alors
Ainsi, dans l'exemiile V du paragra]ilie V, le genre est égal à 2.
Comme second exemple, je prends un polynôme Ro dont la disiril)ution des côtés est donnée par la formule suivante :
(i5, -^i; 3) ou, plus g('-acr,ilciiu'iil ,
de telle sorte cpu' le (/; + ij'"^""- c(')lé soit seul de la deuxième sorte et que les CÔlés dcM'drr' ni et 2/i + 2 — /// soient C(iu|ugui's. On aur.i dans ce cas
(j = II, d'où
