IX. — Simplification du polygone générateur

Nous avons \u au comumncemenl du paragr.q)lie IV que les régions Ro ne sont pas complètement <l('naies par cette e(>n<lition que chacune d'elles ne contient qu'un seul poiiil correspondant à un pmut ; donné. !\ous avons etisiiilc imposé à ces régions uiu' coihIiIiom dr jiIms. iclle de se rc'duire à des polygones <iir\ ili^ucs a\,uil |i;im i<'>tis des aies tie cercle et des seguieuls de X. Mais les régions Rq (ou polygones géiu' râleurs) ne sont pas encore [lar l.'i complèlemenl déleriïiitK'es. Hn (dVet, nous a\(His\ii qu'on pouvait ajouter

à 11„ une r('j;ii)ii qiH'Iroiiqiie S,,, à l;i comliliDii ilea relriuiclier une n''t;i()ii Sp transformée de So par une des substitutions du groupe l'uelisien, el que la région ainsi obtenue Ro+ Sq — S^ pouvait servir de la iiièiue façon que Ro à engendrer ce groupe. Si les régions Rq, Sq et S/, sont contiguës et si elles se réduisent toutes trois à des polygones normaux, c'est-à-dire dont les côtés sont des segments de X ou des arcs de cercle ayant leurs centres sur X, la région résultante Ro+ Sq — S^ est également un polygone normal. Il suit de là qu'un même groiqie fuclisien peut èlre engendré par une infinité de polygones générateurs Ro el qndn pcui [imliier de cette indétcrniinatKMi pour simplifier ce polygone.

\ oici comment peut s'effectuer une pareille simplification. Joignons deux points A et B du périmètre de Ro par un arc de cercle ayant son centre sur X, de fiiçon à diviser ce polygone en deux autres So et T„; considérons deux côtés conjugués CD et EF de R.,, et supposons que CU ap[iarlienne tout entier au périmèlre de So et EF à celui de To. Soit R, le polvgone qui est limitrophe de Ro le long de EF et supposons-le découqiosé en deux polygones S, el T, respectivement congruents à So et To. Le polygone R'(,= S|-|-To pourra ser\ ir, aussi bien que R», de polygone générateur pour le groupe fuchsien G. Il ])eut se faire que la considération de R„ soit plus avantageuse que celle deRo, ou i)ien encore qu'en laisant surRj, une opération analogue à celle qu'on vient de faire sur Ro, on arri\ e à un polygone J\"^ plus simple que les deux autres.

Dans chaque cas particulier, on se laissera guider par les circonstances du problème, aussi ne veux-je pas insister plus longuement sur ce point. Je me bornerai à quelques exemples, en reprenant les notations du paragraphe VII.

i" Un polygone Rq du système (16, 2.3, 45) peut toujours être ramené à un polygone du système (16, 23, 34).

2° Un polygone du système (12, 34, 5(), 78) peut toujours èlre ramené à un polygone du système (iS, 27, 3(), 45).

3° Un octogone du système (i3, 24, S~, 68) peut toujours èlre ramené à un octogone du système (i5, 26, 37, 48)-

Quelles sont, dans cette transformation des polygones curvilignes Ro, les pro|)riétés de ce polygone qui demeurent invariables?

1" La famille du polygone Ro ne change ])as, sauf une exception diml je parlerai

2" Son genre ne change pas non plus.

la-i TiiKORiR niis crtoiiPKS fuc.usikns.

.?" Lo iiciiulirt' tics CNclcs toruu's i\c la Iroisicmo sons-calt''i;i)ric ne x.uic |ias.

\" Il iMi ol (le iiK'iiii- (In iiiiiiiliic (les cycles tcriiK's de la i[iialri('iiie soiiscatCi;orie.

5" l^c iidinlirc (les i\(lrs li'riiK's de la iletixièine sous-caté^orie ne varie pas non plus. ( )n a \ ii (jiic la somme des angles correspondants aux divers

sommelsd'iin paiill cvcle ilail ('ijale à — i p étant un nombre entier supérieur à runilt'. La \aleur de ce nomlut' p demeure t''!;alement nnariahle.

()" On pcMil au conliaire, en fiénéral, au;;inenter ou diminuer à vol<»itt' le noudii'c (les cycles termes de la |U"emière sous-catégorie, qui sont tels que la somme des angles qui correspondent à tous les sommds du cycle est égale à 2-.