X. — Isomorphisme

Nous a\ons \u au commencement du paragraphe III qu'un groupe iuclisien H e>t i->oMior|ilic il Mil aulrc groupe fuclisien G si le noudire des sid)slituti(ins fondamentales est le même et si de plus toutes les relatuuis de la tonne (6) (§ III) qui existent entre les substitutions de G subsistent entre celles de H. Pour reconnaître l'isoniorphisme de deux groupes donnés, nous sommes donc amenés à chercher les relations de la forme (()) (§ III) qui existent entre les substitutions d'un groupe donné et en particulier les relations Jonilaincntales Acini toutes les autres ne sont que des combinaisons.

Nous a\ oiis \ n au paragraphe III qu'on obtenait les relal ions de la forme (6) de la manière suivante : on décnl ii partir d'un poiiil \ mli'riciir à R,, un contour fermé quelconque AMA iic sortant pas de la région du plan située au-dessus de X. Siip|>osons que ce contour traverse successivement des régions Rp, Rj , Rp^, ..., Rs^,,, et cnlin une région Ro^ se confondant avec R,,, qu'il passe de la région R3^, dans la r(:gion lia en trancliissaul un c<U(5 de Rs ^qul

est riiomologuc de celui îles eéités de Rq qui sert t\*' Ironlure c iiiiu'à celte

région cl à Rj, . Nous pourrons écrire la relal iiui ideiihquc

qui est de la forme ((5) et l'on obtiendra de la sorte toutes les relations de celte lornie. Mais, si l'on ne veut écrire que les relations fondamentales, il ne sera pas nécessaire de décrire tous les contours AMA possibles; on se bornera aux contours infiniment petits qui enveloppent les sommets de Ro- Envisageons donc successivement les di\ers sommets de H,, et décris luis aiiloiii- di' cliaciiu

THÉORIE DES GROUPES FUCHSIENS. l53

d'eux un contour infinitésimal. Comme ce contour AMA ne devra pas sortir de la partie du plan située au-dessus de X, on ne pourra décrire de semblable contour autour des sommets de Ro qui sont situés sur cet axe X lui-même. Les seuls sommets du polygone Ro que nous ayons à envisager sont donc les sommets de la première catégorie.

Je suppose que les difl'érents côtés de Ro soient numérotés de telle sorte qu'eu sui\aul, dans un sens convenable, le périmètre de ce polygone ou rencontre successivement les côtés C|, Co, C,, ..., Cy ; q étant le nombre total des côtés; A, sera le sommet situé entre G^ et C, ; Aj le sommet situé entre G( et Ci, etc. En général, A,- sera le sommet situé entre C,| et C,. Si C,- est de la première sorte, la région limitrophe de Rj le long de C,- s'appellera R| et la substitution fondamentale correspondante sera

Considérons l'un quelcouqiu- des sommets de la première catégorie que j'appelle A;^^. Ce sommet fera partie d'un certain cycle de la première catégorie; on trouvera les aulres sommets de ce cycle en appliquant la règle du paragraphe V. Supposons que cette règle donne successivement les sommets

Aa„ Aa„ ..., Aa^

et précisément dans cet ordre. Supposons que la somme des angles correspondants à ces sommets soit -r-i X sera un nombre entier. Posons, pour abréger,

La relation fondamentale, à laquelle conduira, d'après la règle exposée plus haut, un contour infinitésimal décrit autour de A^, , sera

Les sommets A^,,, Aj, , ..., A^j qui appartiennent au même cycle que A^;, conduisent à la même relation. Donc :

Le nombre des relations fondamentales qui existent entre les substitutions fondamentales d'un groupe fuchsien G est précisément celui des cycles de la première catégorie du polygone Ro correspondant.

Or les polygones des deuxième, troisièuie et quatrième familles n'admettent pas de cycle de cette catégorie. Donc il n'y a aucune relation fondamentale entre

i54 THÉORIE DUS ghoupks fuchsikns.

les substitutions dos grotipos de ces limiillcs, el les rolaliiins de lu forme ((i) que

l'on pourrait trouver entre ces suhslitutlons se réduisent toutes ;i des identités.

Voici une première conséquence que l'on peut tirer de ce fait : Tout groupe H derirr de n substitutions fondamentales est isomorphe à un groupe fuchsirn d de ht deuxième . de la troisième ou de la quatrième famille, pourvu t/ur ce groupe soit également dérirv de n substitutions fondamentales. En etï'et, la première condition de risoniorjiliisme qui exige que le nombre des substitutions londamenlales soit le même est remplie, et la seconde qui exif;e que toute rcdalion enlr'o les substitutions de G subsiste entre celles do H est satisfaite (relle-inème, puisqu'il n'existe pas de pareille relation. .Seuloiiicnl une dislinclion est h faire. S'il y a des relations de la foiDic ( (i ) entre les suljslitulions de H, G n'est |)as isomorpbe à II et [)ar consé- (jiicrii 1 isoinoipbisme est mériédrlque. Si, au contraire, il n'y a pas de semhliddi- it'l.ilion. l'isomorphisme est réciproque et par conséquent lioloédrique. 11 en résiilio que deux groupes fuchsiens de la deuxième, de la troisième on de la quatrième famille sont holoédriquement isomorphes pourvu que If nombre îles subsliliitions fondamentales soit le même . c'est-à-dire pourKU que les deux polygones Ho correspondants aie//t un même nombre de côtes de la première sorte.

Considérons maintenant ileux polygones Rq et R'„ quelconques, mais dont les côtés do la première et de la deuxième sorte soient distribués de la morne manière, do (elle sorte (ju ils soient désignés par la même formule, si l'on riiipiiiio la notation exposée au commencemeni du paragraphe VII. Ces tlouv polygones a])partiondront (H idemment au même genre et à la même famille, et II- iinrnbic de cycles, lormivs par les sommets des deux polygones, est le même, di' lolle façon ipi'à (■lia(pio cycle de R„ corresponde un cycle de R,, et réci- |)roqueinent. D'ailleurs, à un cycle fermé du premier polygone, correspondra dans le second polygone un cycle également fermé. Si, de plus, la somme des angles de chaque cycle li riiic' de Rj est la um'iuo que la somme des angles du cycle corres|)ondant de R|,, les doux groupes fuchsiens engendrés par ces deux polygones seront lioloodiiqucniint ismiioiphos.