XI. — Formation effective des groupes fuchsiens
L n groupe luchsien est complètemoni (loleinmic ipiand ou comiail ses substitutions foiid.iiiicuhLlc-;. «ju'll siiflil de ciurdiiiicr de loulcs les iiiiiii lèrcs
THÉORIE DES GROUPES FUCHSIENS. l55
possibles pour obtenir toutes les substitutions du groupe. Former un ^roupe fuchsien, c'est donc calculer les coeflicients de ses substitutions t'ondauientales. Ce problème ne présente aucune difficulté. Supposons, en effet, que l'on ait construit le polygone Ro correspondant au groupe à former et que l'on ait calculé les coordonnées, et par conséquent les affixes de tous ses sommets. Les substitutions fondamentales cherchées sont celles qui changent chaque côté de la première sorte en son conjugué. Soient donc a, |3 et y, 3 les alfixes des sommets de deux cotés conjugués de Rq. Supposons d'abord que les quantités a, p, y, o soient toutes quatre imaginaires, de telle façon qu'aucun de ces sommets ne soit situé sur X. On devra avoir, en a[)pelant a', p', y', o les quantités imaginaires conjuguées de a, p, v, o.
c'est-à-dire (0
La substitution réelle qui change ap enyS est alors parfaitement déterminée; pour l'écrire en mettant en évidence la réalité des coeflicients, je poserai :
a=a,-i-i'a2, p = p,-l-jS,, y=ïi-+-'Ï2. a'=g, — jg.,, (J' = fl,— /^-j, y'=Ti— 'Y2-
La siib>titution cherchée s'écrira alors
0 = Ûi + J!J2, 5' = 0| 102-
ou
«iTi— "iY
! Yi
piûa-i- ^2 a
«lYi — ''îY-i =^1 Yi
Pi3i — P2S2 p, 0,
fl, S,+ p23l ,S2 S2
ïiYi — «2Y2 '<i •
PiSi— P282 fil 1
Pi Sj +[32 Si ,82 o
Mais on peut faire encore deux hypothèses; supposons que a et y soient réels,
tandis que ^ et 5 restent imaginaires; la condition (i) n'a plus alors de raison
d'être; la substitution réelle qui change a^ en yo est encore parfaitement
déterminée et elle s'écrit
les coefficients A, B, G, D ont la même expression que plus haut, mais il faut remarquer que aj et yj sont nuls.
Supposons miiintcnaul que les quatre quant ilés a, j3, y, 5 soient réelles, la suhsiiiution qui change aji en yS ne sera plus déterminée. Dans l'expression de ses coefficients entrera un paramètre arbitraire /*. Elle s'écrira
Cz
et les coefficienls A, B, C, D auront pour expression
ps
oc Y ' 8 0 I
ay
