PREMIER EXEMPLE

Cherchons d'abord à formel- les groupes fuchsiens de la troisième famille dérivés de n substitutions fondamentales. Le polygone Ro correspondaul aiii-a ■An côtés de la première sorte et y.n de la deuxième. Pour déterminer complètement un pareil polygone, il faut s'imposer arbitrairement 4^ conditions. Mais nous avons vu au paragraphe IX (ju'uu nième groupe H |)eut être engendre par

une infinité de polygones Ro- Si Ion lient compte de cette circonstance, on reconnaîtra aisément que, pour déterminer complètement le groupe de la troisième famille dérivé de n substitutions fondamentales, il faut s'iniposerarbilraireniont 3« conditions. Or c'est là précisément le nombre total des coefficients de n substitutions réelles quelconques. Il ne s'ensuit pas qu'il suffise de prendre au hasard n substitutions réelles pour que le groupe qui en dérive soit un groupe fuclisien de la troisième famille; mais les coefficients de ces substitutions ne seront assujettis à aucune condition d'égalité; ils devront seulement satisfaire à certaines inégalités.

Quelles sont ces inégalités? tel est le problème qu'il nous reste à résoudre. On trouve d'abord sans peine que toutes les substitutions doivent être hyperboliques et par conséquent leurs points doubles doivent être réels et situés sur X. On peut énoncer un résultat général au sujet de la distribution de ces points doubles sur X. En effet, considérons deux côtés conjugués ab et cd de Rq et supposons qu'ils soient de la première sorte et appartiennent à la même paire. Supposons de plus pour fixer les idées que le point oo fasse partie de Ro de telle façon que ce polygone soit la n'gion du plan située au-dessus de X et extérieure aux différents cercles qui forment ses côtés de la première sorte. Si cela n'était pas, on ferait un changement convenable de la variable. Il y aura une substitution fondamentale qui changera ab en cd et ses deux points doubles seront situés l'un sur le segment ab de X, l'autre sur le segment cd.

Pour pousser plus loin l'étude des inégalités qui ont lieu entre les coefficients des substitutions fondamentales d'un groupe de la troisième famille, je vais prendre un exemple particulier, à savoir l'octogone de l'exemple V du paragraphe V. La méthode que j'emploierai s'étendrait d'ailleurs au cas le plus général.

Les deux substitutions fondamentales changent AB en DC et EF en HG. Considérons d'abord la substitution S qui change AB en DC; ses deux points doubles M et N sont situés respectivement sur les segments AB et CD de l'axe X. Décrivons un cercle sur AN comme diamètre, et envisageons le triangle curviligne ABN ; envisageons également le cercle décrit sur DN comme diamètre et le triangle curviligne DCN ; la substitution S changera le triangle ABN en DCN; nous pouvons donc en vertu des principes du paragraphe IX remplacer l'octogone Ro=ABCDEFGH par l'heptagone Rl= ANDEFGH. Envisageons de même la substitution S, qui change HG en EF et ses deux points doubles M, et N, situés l'un sur le segment EF, l'autre sur le segment GH.

TIIEORIK DKS GROUPES FIOHSIENS.

Par 1111 nusDiini'iiuMil timl >ciiil)liil)lo à celui qui in'iT^de, on verrait que l'on peut reniplaeei- riie|itai;()iie H,, par l'hexagone R'„ = ANDEN , H. Remarquons que R^ ^'st «le la (|ualriènie l'aïuille el du deuxième ordre de celle Camille, tandis que Rq ('tait de la troisième famille. C'est là l'exceplion que j'avais annoncée aux principes du paragraphe IX; on peut simplifier le polygone générateur Rq de façon à ramener un polygone de la troisième famille à un pol\gone du deuxième ordre de la quatrième ou même de la deuxième taïuilh'. mais jamais ;i un polygone du premier ordre de la quatrième ou <le

l NjM.F G N, P Mj g H X

la deuxième famille. Envisageons maintenant l'opération Sj qui consiste à faire d'abord la substitution S, puis la substitution inverse de S|. La substitution S change AIN en DN, et la substitution inverse de S| change DIN en un certain cercle QP intérieur à N, II. La substitution S^ change donc AIN en QP et ses deux points doubles Nj et M^ sont situés, l'un sur le segment AN, l'autre sur le segment PQ. La substitution S change N2 en un certain point INs; la substitution S| devra changer aussi N2 en N3 ; N3 est donc situé sur le segment M,E. Décrivons des cercles sur NjN, NjN,, N.N;,, NN3 coniinc diamètres; la substitution S change INjN en NjN, la substitution S, change IV2N, en N3N, et cida nous ])ermet, en \eiiii des principes du paragraphe IX de remplacer l'octogone R„ i)ar le quadri lalère R„= N(N2]N]N3. Ce quadrilatère est de la deuxième famille ei du deuxième ordre de cette famille ('). ISoiis allons maintenant pouvoir liouNcr les inégalités qui ont lieu entre les coefficients de S et <le S| ; on peut toujours su|)]ioser que les points doubles de S| sont o et ce de telle sorte que

Ni = o, Ml =30,

car si celle condition n'était pas remplie, il sulïirait d'un changement 1res simple de variable pour être ramené au cas où l'on a IS, = o, M| =; 00.

(') Voir la Noie à la lin du Wiluiiic.

THÉORIE DES GROUPES KUCHSIKNS. iSg

Les deux substitutions s'écrivent alors :

az -h b'^

K. est essentiellement positif et plus f^rand que i. De plus, on peut toujours supposer que c est positif sans cjuoi on changerait tous les signes des quatre quantités a, 6, c, d. Les points M et N sont les points doubles de S et par conséquent les racines de l'équation

(i; cz--\-(d — a)3 — 6 = 0.

Les points M2 et JNj sont les points doubles de la substitution

V' K{cz-i-d) ou les racines de l'équation

Le point N3 et un autre point M3 sont les points doubles de la substitution

-bK\ "dKj

l az + 6K\

et les racines fie l'étjuation

L'inspection de la figure montre que les quantités M, N, Mj, Nj, M3, N, sont toutes réelles et de même signe; positives par exemple; d'où les relations

6 < o, (rf— a)2-i- 46c > 0, a > rf, -j7 < G, (rfK — «)'+ 4K6c-> o, a>rfK, 6K<o, (^K — a)-i-H '(K/>c > o, a>f/lv

qui se réduisent à

è < o, a>rfK, {a\-df>!^, ii>d.

en tenant compte de

ad - bc = 1 .

Exprimons maintenant que Mj et J\o s(HiI j)1us petits et <pie M3 et ^'3 sont plus grands que M et jN. On trouve ainsi les conditions

6 < o, n"^ + éc > I > <^2 -t- ic,

b <», ^ -I- èc < I < ^/Mv -f- />(•, a — d\f.>n — d>~— d,