DEUXIÈME EXEMPLE

Nous prendrons pour deuxième exemple les groupes de la première famille et du genre o et, pour particulariser encore, nous choisirons l'iiexagone ABCDEF de l'exemple II du paragraphe V II.

Nous avons ici trois substitutions tondamcntales :

Si qui change AB en AF, Ss qui change BC en FE, S3 qui change CD en ED.

Nous envisagerons en outre :

S; combinaison de Sj et de S| pris en sens contraire, S5 combinaison fie S3 el de S2 pris en sens contraire.

On peut considérer le groupe comme dérivé de Si, S4 et S^.

Soient n, b, c, d les affixes des points A, B, C, D; a', b', c' d' leurs quantités imaginaires conjuguées ; a, j3, y, S les angles A, B + F, C H- E, D qui sont des parties aliquotes de air. Les substitutions S(, S4, S5 et S^' s'écriront :

Exprimons que la combinaison des (juatre substitutions Sj', S5, Si, S, laites successivement équivaut à la Mibslitiilinu identique (;;, z); nous arri\erons à trois relations entre a, b, c, f/, a, p, y, 8.

Supposons ces relations satisfaites. Suffiront-elles pour que le groupe dérivé des substitutions S|, .S5, S* soit discontinu? Non, il faudra encore que les

THÉORIK DES GROUPES FICIISIENS. l6l

points A, B, C, D puissent former quatre sommets d'un hexagone ABGDEF où

les angles

Considérons les angles curvilignes du quadrilatère ABGD obtenu en joignant les quatre points A, B, G, D par des arcs de cercle ayant leurs centres sur X. Il faut que les quatre angles A, B, C, D de ce quadrilatère soient respectivement plus petits que a, (3, y, o; d'où les inégalités

I o < aigT; -7 T Z < «'

O < aig p j < ^,

arg 57 -T < S.

Comment reconnaîtrons-nous maintenant si trois substitutions données S|, S^, Sg peuvent être considérées comme les substitutions fondamentales d'un groupe fuchsien analogue à celui qui nous occupe. On formera la substitution S,', combinaison delà substitution inverse de S), de l'inverse de S4, et de l'inverse de S5 faites successivement. On calculera les points doubles a, o'; b, b' ; c, c'; d, d' de ces quatre substitutions et leurs multiplicateurs e'", e'P, e'T, o'*. Deux conditions devront être remplies : 1° a, [3, v, 0 devront être parties aliquotes de 27r; a" les quantités a, a', b, 6', c, c', d, d' , a, p, y, S devront satisfaire aux inégalités (2).

TROlSlkviK RXKMI'LE.

Nous prendrons pour troisième exemple les groupes de la deuxième famille, du premier ordre et du genre o; et parmi ces groupes, nous choisirons encore celui qui est engendré par l'hexagone Ro = ABGDEF considéré dans l'exemple II du paragraphe VII. Seulement ici cet hexagone devant être de la deuxième lamille, tous ses sommets seront sur X. Nous envisagerons, comme dans rexem[)le précédent, les substitutions

Si qui change AB en AF,

52 qui change BG en FE,

53 qui change DC en DE,

Si combinaison de S2 eï de l'inverse de Si, S3 combinaison de S3 et de l'inveise de S2.

Soient a, b, c, d, e, f les affixes des sommets de Roi ces quantités seront H. P. — II. 21

tÔa TItKORIE DES GltOliPES FUCHSIENS.

\ 3 — a z — et

\ .: — d z — (/ e — d c — d où // el /, siml deux i]Uiiiilil(''s définies [xir les équations

c — a II — a f — « b — a I I I I

f—d k—de—d c—d

Quelles sont mainltMiiiiit les conditions pour que les trois substitutions S,, Si, Sj donnent naissance à un t;i"ouj)e fuclisicn? 11 faut que les six quantités a, ft, c, d, e, y se succèdent préciséinenl dans cet ordre ciiculaire, ou bien dans Tordre inverse de sorte qu'on doit avoir

f — a d — a e — a f — a OU bien

Exprimiuis luainlenanl que la combinaison des substitutions S"', Sj, S4, S| équi\aut il la ^uil^l ilul ion identique, il viendra

(4) (b-a)(d-c){/-e) = lc-b){e — d)(f-a).

RKMMiQUE.

lJan> le-, deux exeiiij)le> (jui |)i(''cèdent, il <'-.t |ieiit-<''t rc avantageux d'envisager, non l'bexagone ABCDEF de reveiu|ile il du |)araj^ra|die VII, qui serait noté (16, 25, ■)4). mais l'iiexagone noté (12, 3/1, ■J')) qui lui est écjuivalent d'après ce qu'on a vu au ])ara}^rapbe IX.

Soit ABCDEF cet bexagone, les côtés AB el I5C, ClJ et UE, EF et FA seront conjugués. Envisajjeons les substitutions

S, <|iii (■liaii;;e IJA en BC, S 2 (|iii cil ange DG en DE, S3 qui change FK en FA, S; combinaison de S|, Sj cl S3.

THÉORIE DES GROUPES FUCIISIENS. l63

Ces quatre siibslidilions seront elliptiques et leurs multiplicateurs seront e'", e'P, e'T, e'^; a, [3, y, o étant des parties aliquotes de 2-k.

B sera l'un des points doubles de S|, D l'un des points doubles de Sj, F l'un des points doubles de S3, A l'un des points doubles de S^ ; quant aux autres points doubles de ces substitutions, ce seront respectivement les quantités imaginaires conjuguées de B, D, F, A; C sera le transformé de A par S|, E celui de C par S^. Pour que le groupe dérivé de S,, S2, Sj soit discontinu, il suffit que l'hexagone curviligne normal ABCDEF soit convexe; d'où les conditions

° < •■'■•grfzr^ jzTô < ^'

/ -\ I ^ f — d b — rf'.

Pour reconnaître si le groupe dérivé de S,, Sj, S3 est discontinu, on calculera les points doubles ft, fe', c?, (/',/,/', f'i a' 1 et les multiplicateurs e'«, e'P, e'Yje'^ de S) , S2, S3 et de leur combinaison S4 et l'on recliercliera si ces quantités satisfont aux inégalités (5) et si a, p, y, S sont des parties aliquotes de 2u.

Supposons maintenant que l'bexagone abcdef ne soit plus de la première, mais de la deuxième l'aniille et du premier ordre de cette famille, de telle façon que les quantités a, />, c, d, <?, / soient réelles. Ces quantités devront satisfaire aux inégalités (3), pour que l'Iiexagoue abcdef soit convexe. Les substitutions S,, S2, S3 s'écriront :

-f ---f «-/ <=-fl

Si nous exprimons que la combinaison S-, de S,, .S^, S3 est une substitution parabolique, nous trouverons que les quantités «, Z>, c, J, e,/ satisfont à l'égalité (4). Celte égalité jointe aux inégalités (3) est la condition pour que le groupe dérivé de Sj, S,, S3 soit discontinu.

QUATRiiîME EXEMPLE.

Comme quatrième exemple nous prendrons un quadrilatère abcd, dont les côtés opposés a6, de et ftc, ad sont conjugués; les quatre sommets forment un

l64 THÉORIE DES GROUPES FUCHSIENS.

seul cycle et la SDiiiriif des iuii;le> ï esl une paili(> rtliqiiole de 2Ti. Ce quadrilatère engendre iiu i;ii)U|ie de la première laïuille et du genre i . Joignons deux sommets opposc's hd par un are de cercle avant son centre sur X. INous oliliendrons ainsi un Iriaugle dhd s\ir les e<\t('s duc|uel nous marquerons trois points a, 3, y, le premier sur hd , le second sur </<(, le troisième sur ah et de telle l'acon

que

(i,a) = (a, rf), (rf, P) = (?, a), («, y) = (y, ^).

Il existera alors une substitution S, qui change a.h en a(/, une autre Sj qui change Qrf en ^a et une autre S3 qui change ya en yfc; toutes trois auront pour multiplicateur — 1 . Le groupe dérivé de S,, Sj, S3 sera discontinu et aura pour polygone générateur l'hexagone bad^ay dont les côtés ba, ad; d^^ pa; ay, yb sont conjugués et situés dans le prolongement l'un de l'autre. C'est donc un cas particulier des groupes engendrés par un hexagone abcdef el étudiés dans la remarque relative à l'exemple précédent.

Les substitutions fondamentales du groupe engendré par h' quadrilatère abcd sont S5 qui change ah en de et Se qui eliange hc en ad, et il est aisé de voir que S5 est la combinaison de S3 et de S| ; Sj est la combinaison de Sa et de S| ; d'où la règle suivante pour former tous les groupes fuchsiens dérivés d'un quadrilatère t€l que abcd :

On pi'endra trois sulisi itutions S,, So, Sj de multi|)licaleur — 1 el satisfaisant aux conditions énoncées dans la remarque relative à l'exemple précédent; on combinera S3 et S) , ainsi que So et S, et l'on aur.i les siibsi itui ions fondamentales du groupe cherché.