XII. — Généralisation
Jusqu'ici nous avons supposé que toutes les substitutions étaient réelles; mais une première généralisation peut être faite immédiatement. Soit
une substitution réelle quelconque; et faisons-hii correspondre la substitution
(«3-1-3 'iZ + V a=+,8 ^ f k+d.
où a, Jj, y, 0 sont des constantes imaginaires quelconques. Supposons que nous
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(liinuions à a, p, y, o des valeurs fixes et que l'on fasse parcourir aux quatre quantités a, h, c, d toutes les valeurs réelles telles que ad — bc ^ i . Il est clair que les substitutions (a) formeront un groupe; et ce groupe jouira des propriétés suivantes :
i" Ses substitutions n'altéreront })as le cercle dont l'équation est partie imaginaue de !r = o
et que j'appellerai cercle Jondanwiital;
2° Le transformé d'un point z par une des substitutions (2) sera intérieurou extérieur au cercle fondamental selon que le point z sera lui-même intérieurou extérieur à ce cercle.
Nous supposerons par exemple que, si z est intérieur au cercle fondamental, le point — % sera au-dessus de X.
Supposons maintenant que l'on égale successivement les coefficients de (i) à ceux des diverses substitutions d'im groupe fuchsien G. On obtiendra ainsi une infinité de substitutions (2) qui formeront un groupe G', et ce groupe sera évidemment discontinu. A ce groupe G correspondra une décomposition de la partie du plan située au-dessus de X en une infinité de polygones nor-
maux Ro, R(, .... R/, ..., tous congruents entre eux. Supposons que —^^ r par-
coure l'un de ces polygones R,- dont les côtés sont, on l'a vu, ou bien des segments de X ou bien des arcs de cercle ayant leurs centres sur X; le point z ])arcourra de son côté un certain polygone S, dont les côtés seront, ou bien des arcs du cercle fondamental, ou bien des arcs de circonférence coupant orthogonalement ce cercle.
Ainsi, de même qu'au groupe G correspondait une division de la partie du plan située au-dessus de X en une infinité de polygones normaux congruents, de même au groupe G' correspondra une division de l'intérieur du cercle fondamental en une infinité de polygones normaux congruents, à la condition d'adopter les dénominations suivantes :
Un polygone normal est un polygone curviligne dont les côtés sont des arcs du cercle fondamental ou bien des arcs de circonférence coupant ortliogonalement ce cercle.
Deux figures sont congruentes si l'on passe de l'une à l'autre par une substitution telle que (2), c'est-à-dire par une substitution qui conserve le cercle fondamental. Tout ce qu'on a dit de la distribution des côtés en paires et des
iCiC. THKORIK DES GnOt'PES FUCHSIENS.
soiiimiMs en rvcles, cl (l(^ hi chissilic:!! ion dos |)()lji;(ines n<triiiaii\ en l:unilles, on i>rilrcs el en i;enres, re>le \ r.ii ciiiiuiie dans le cas parliciilier auquel nnns nous élions restreints jusqu'ici.
Quelles seront nuiinlenanl les conditions pour qu'un polygone normal donne naissance à ungrouj^c discontinu G'? Ce seront les mêmes conditions que nous a\(ins trou\('es dans le cas particulier des groupes de substitutions réelles, mais l'iiKinci- de ces conditions doit èlre con\ enalilcnient modifié :
1° La soninie tics angles (.les ilivers sorumets correspondant à un même cycle doit être une partie aliquote de 2-;
2° Si ab el cd sont deux côtés conjugués, on devra avoir, comme dans le cas
des substitutions réelles,
mais a', //, c', d' ne désigneront plus les (pianiiiés imaginaires conjuguées de (I. h. c. <l. mais les symétriques de rt, 6, c, d par rajiport au cercle fondamental [rail- la d('linilion ilii parais laplic \ II 1. Eu d'autres termes, si a est le centre du cercle loudauiciilal et s s(Ui rayon,
« = a -(- niia<;uiaii'e conjuguée de — ■
et de iiK'uic |iour />', c', d' .
Nous appellerons groufs J'itchsii'ns les groupes discontinus tels que G'; car iU ni' iliirci-ciit i)as essentiellement des groupes de substitutions réelles etnous réserverons le nom de groupes kleinéens à ceux des groupes dont les substitutions ne conservent pas un même cercle fondamental. Nous ferons de ces groupes l'objet d'un Mémoire spécial.
I^es parlli'iiliirilc's qui peuvent se présenter sont les mêmes que pour les groupes correspondants de substitutions réelles.
Si le polygone générateur Rq est <lu deuxième ordre de la deuxième, de la quatrième, de la sixième ou de la septième famille, l'ensemble des polygones R,ne recouvrira pas tout l'intérieur du cercle fondamental, mais l'intérieur d'un certain domaine limité par une infinité de circonférences coupant orthogonalement ce cercle (' ).
.Si le polygone Rq est de la troisième, de la (piatrième, de la cinquième on de la septième faiiilllc. il a des (('itf's de la deuxième sorte. Nous avons vu au
( ') Voir la note de la page ll^1. N. E. N.
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coiiimeuceinent du paragraphe Mil que dans ce cas il y a avantage à adjoindre à cliaque poIyf;one R, son symétrique R', par rapport à X; de telle façon que le plan tout entier se trouve di\isé en une infinité de réj^ions R, + Ri limitées par une ou plusieurs périphéries séparées. Dans le cas qui nous occupe maintenant, nous adjoindrons à chaque polygone R,- son symétrique R; par rapport au cercle londamenlal, de telle façon que le plan tout entier va se trouver encore divisé en une infinité de régions R, + R.^ .
Laissons de côté pour le iuoment les régions que niuis \euons d'appeler R^et ne nous occupons que des polygones R,- eux-mêmes. La somme des surfaces de ces polygones, tous intérieurs au cercle fondamental, sera finie, ce qui est très important au point de vue des applications ultérieures. Il y aurait exception lorsque le cercle fondamental se réduit à une droite, ce qui arrive en particulier dans le cas des groupes de suii>litutions réelles; mais comme on l'a \u au commencement de ce paragraphe, un changement linéaire de \ariahlc swifirait pour ramener au cas général.
Dans mes travaux ultérieurs, je supposerai pour fixer les idées que le cercle fondamental a pour centre l'origine et pour rayon l'unité. Si l'on n'était pas placé dans ce cas, un ciiangemeiit très simple de variable y ramènerait aisément.
