XIII. — Historique

l^e premier exemple de groupe discontinu formé de substitutions linéaires est celui que l'on rencontre en étudiant le module k d'une fonction elliptique (notation habituelle) ou le module J (notation de M. Klein) considérés comme (onctions du rapport des périodes. M. Hermile a fait une étude approfondie de cette sorte de transcendante et, en montrant qu'elle était uniforme, il faiNuit voir du même coup que le groupe correspondant était discontinu.

Les fonctions /■ et J ont été dans la suite, ainsi que le groupe discontinu correspondant, étudiées par MM. Dedekind, Fuchs et Klein et plus récemment par M. Hurvvitz. Nous citerons en particulier les importants travaux de M. Klein que l'on trouve dans les Alatlicniatisclie Annalen et un remarquable Mémoire de M. Fuchs insi'ré au Tome 83 du Journal de Crcllc.

11 est évident qu'un groupe cpielconque (j en contient une infinité d'autres qui seront tous discontinus, si le groupe G l'est lui-même; de sorte que la connaissance d'un seul groupe discontinu permet d'en former très aisément une infinité d'autres. C'est cette remarque qui est le point de départ des belles

l68 TlIKOniE DES CROUPICS FUCHSIENS.

roclicrrlics de M. Kloiu >iir l,i liMiislDriiialuiii (les luiicliDns C'llli)lK|iies cl sur les linicl iiiiis miiiluhures ca i;t'iu''rcil.

Outre ces groupes conteuus tluns le f;roupe luotluiaire dont la ilisc(uil inuilé ("tait évidente, il y a encore un aulre i^roupe demi la discontinuité avait été reniarcjut'e par M. Schwarz dans un Mémoire inséré an Tome 75 du Journal de CreUc: c'est l'exemple I du paragraphe VII. C'était la j)remiere fois qu'on arrivait à v\n pareil résultat sans ]>rendre pour point de départ la théorie des fonctions elliptiques. Enfin M. Fuclis repril une question analogue dans des travaux insérés au Tome 89 du Journal de Crclle et tlans les Actes de la Société de Gi'ittingen. Bien que les groupes étudiés dans ce dernier travail se ramenassent tous à des groupes déjà connus, c'est la lecture de ce remarquable Mémoire qui m'a guidé dans mes premières recherches et qui m'a permis de trouver la loi de génération des groupes fuchsiens et d'en donner une démonstration rigoureuse.

.le lai donnée d'ahord d,\ns un Mémoire que j eus l'honneur de soumettre au jugement de l'Acadéniie des Sciences dans le concours pour le Grand Prix des Sciences mathématiques du i^'' juin i8So et j'ai poursuivi l'étude des groupes dans une série de travaux insérés aux Comptes rendus de l'année i<S8i .

Le mode de représentation que j'ai employé, c'est-à-dire la division d'une portion du |)lan en une infinité de polygones curvilignes, peut être très utile pour l'étude des pnipriiHés générales d'un groupe; c'est ce que j'ai cherché à faire voir. Aux géomètres qui désireraient poursuivre dans cet ordre d'idées l'étude d'un groiq)e fuchsien ou de tout autre groupe, je recommanderai la lecture de Vllabilitationsschrift de M. WaltherDjck de rLIni\ersilé de Lei])zig, qui emploie un mode de représentation analogue et en fait ressortir les nombreux avantages.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Àcta imilhenialica, t. I, p. ig3-594 (1882).