I. — Séries thétafuchsiennes
Dans un Mémoire antérieur (^), j'ai inonlrc coiiiiiient il est possiijle de former des groupes discontinus avec des substiliilions de la loruic
en choisissant les coeHicients a,-, [i/, y,, 0, de telle façon que les diverses
substitutions du groupe n'altèrent pas un certain cercle appelé cercle fonda-
mental. Je supposerai, dans tout ce qui va suivre, que ce cercle [ondainental
a pour centre l'origine et pour niyon luuité, de telle sorte que son équation
soit
mod z = \.
Je considère un de ces groupes discontinus, dits groupes Juc/isie/is, que j'appelle G. A ce groupe correspondra une décomposition du cercle fondamental en une infinité de polygones normaux R, tous congruents eutre eux.
Je me propose de démontrer qu'il existe toujours un système de fonctions uniformes de z qui demeurent inaltérées par les diverses substitutions du groupe G et que y appeilerai Jonctions fuclisiennes.
A cet efTet, j'envisage les diverses substitutions de G comprises dans la for-
(') Terminé le 23 octobre 1S82, imprimé le 2g novembre 1882. (') Théorie des groupes fuchsiens, ce Tome, p. 108-16S,
H. P. - II. Ti
170 MKMOIIIK suit LUS FONCTIONS FUCIISIENNES.
mille [i) vl je pose, |iiiui- ahiéficr,
coiiiiiic |c r.ii l';ill MU |iiir,ii;ra|)li(' 111 du Méuioire cilé. ,1c l'oruic ensuite la série
où m est un entier positil plus grand que i .
Je vais démontrer que celte série est convergente ea faisant successivement diverses hypothèses :
1° Supposons d'abiird que ; soit inlérieurau cercle fondamental : il seraalors intérieur à l'un des polygones R, par exemple au polygone R/, qui correspond à la substitution de G qui a pour indice /( et qui s'écrit
Soit
Mz)=/,\,h(z)].
La sidi>t II ui Kiii
fera partie du groupe (1 et correspinulra à un ceilain iiolygone 11^. Puisque ; est sujiposé intérieur h 15/,, J)(^) sera inti'rieiir à Ra-
Supposons qu'on (Ic'criM' autour de z un contour très petit C^, enveloppant le point 5 et étant sitiii' Unit eiiiicr ,'i Tintérieur de 1\/,; le transformé de Co par la substitution [:.,/)(:)] sera un certain conliuir très |)ctit C,, enveloppant le point fi(z-) et situé tout entier à rintérieur île U/;-
Afin d'établir la convergence de la si'rie (2), niuis allons démontrer successiveiiiiul un ((•[■liiiii iiouibre de leuiiiics.
Lem.vie I. — La somme des surjaces de tous les co/iluurs C/ est égale à une quantité finie C.
En ellet, ces diliérents ciintiuiis C, eu uoiubrc Inlini sont tous intiirieurs au cercle fondamental; de plus, ils udut mui une jiartie commune, puisque chacun deux est tout cul 1er iiiicMiciir ii I un des polygones R. I^a somme de leurs surfaces est donc plus iielile «nie la ^ul■lace du ccreic loiidaïueula I. Klle est douc (inie. c. q. f. n.
Lemme 11. — L'' rnpi>iiil de ta jdiis grande à la plus petite valeur que
MÊMOinE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. I7I
puisse prendre le module de -^ quand z reste intérieur à C„ est plus petit qu'une certaine quantité K indépendante de i. En effet, on a
dz (-C,- + o,)2
Le module île -^ est donc éi;;il à r ilivisé par le carré de la distance du
nz '^ mody/
point z au point ^- • Les points soni les divers transforme'-s du poinloo;
ils sont donc tous extérieurs au cercle fondamental comme le point oo luimême, et ils ne peuvent être infiniment voisins les uns des autres que dans le voisinage de ce cercle. Soient M,- et /«,■ la plus grande et la plus i)elile valeur
(jiie puisse jirendre ce module quand ; reste intc'ricur à Coi soient a et b la
plus grande et la plus |)etite distance du point ^ au contour Go; nous aurons
Y' évidemment
Or tous les |)oints '- sont extérieurs au cercle londamental. Soient d(jnc A
ï' et B la plus grande et la plus petite distance de l'origine, centre du cercle fondamental, au contour Co- Ces deux distances seront plus petites que i, puisque Co est tout entier intérieur au cercle fondamental. On a alors
a<i-HA (1), 6>i — B, d'où
m/ ^ Vi— B/
/ 1 -f- A \ - D'ailleurs ( 1 = K est indépendant
{') Celte incyalité n'est pas satisfaile. Mais si l'on suppuse, ce i|ui n'a pas d'inconvénient, que C, soit un cercle, on trouve i > i ^ A et
b d'où
Si l'on veut que C,, soit un contour tri'-s petit (juclconquc. on peut raisonner comme il suit. Les divers transformés du point x sont à distance finie de l'origine. Supposons qu'ils soient tous intérieurs à un cercle qui a pour centre l'origine et pour rayon R. On a alors
a<R-HA, 6>i— A, d'où
K étant indépendant de ('. N. E. N.
17a MÉMOIRE SUR I.i;S FONCTIONS FI T.IlSIRNNIiS.
Lemmk III. — On II, quel (jiic soit i,
En eiïet, soil z ^ X -'r iy; la surl'aco du conioiir Co s'écrit alors
C,= fjd.rdy, et la surface du contour C,
C, = / / ( iiiud -j-^ 1 dx dy,
les deu\ intcf^rales doubles étant prises à l'intérieur du Cfintour Co- On a donc
G,- > / / rnj dx dy = inf i'.„, OU bien
ou enfin
Rien n'est plus aisé niainteniint qu(! d'éMahlir la coii\er^ence <le la série (a). Supposons, en circl, d'abord m = 2; nous aurons à envisager la série
(2) ^ rnocl (^y = y^ mo.l.( Y,.- + 5,)-i.
Or nous aurons
Les termes de la série (a) sont doni: plus |)(;iiis respectiveincnl cnie -^ nuil-
Go
lipiié' par ir Irrnic correspondant de la scrie ^C,, d(Mit la soninie est un ndiidur liai (], d apic> le Icuiuie I.
La série (a) aur.i donc aussi une soiiuiic liuu' ,S. ( )n ;i jinr conséquent a /oi-
tiori. qurd (pic Miil /,
, <//'i /ni(j(l -^ < </b.
On aura donc, pourvu que //; > 2,
C'est-à-dire que clia(pic Icrinc de la sérif^ \ ( mod i-l \ est plll^ petit que la
m — i If . 2
constante .S ' niiill ipiiec |i,ii- le leiuie correspiuidaul de la ^('■^lc 7 ( iiiod -j-^ j qui est convergente.
MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIKNNES. ry^
La convergence de la série (2) est donc démontrée et il s'agit ici, non d'une semi-convergence, mais d'une convergence absolue, puisque tous les termes de la série sont positifs.
2" Supposons maintenant que le |)i)inl :; soit extérieur au cercle fondamental.
Si le point z est l'un des points ^—^> l'un des termes de la série est infini et la convergence est impossible. Supposons donc que le point z ne se confonde avec aucun des points — -; je dis que la série (2) sera encore convergente.
Considérons, en 'ellet, un aulrc pi)iut ;,, inl(''rieur au cercle foudamenlal La série
est convergente d'après ce qu'on vient de voir. .Je dis qu'il en est de même de
la série
(2) y mod (^)"' ='V nio.K Y,;: -t- 0,)'-'".
En ellet, nous pouMins trouver une limilc supérieure K de mod ( ;, + ^ ) et une limite inférieure /• de mod ( z ~\ — '-); car les points — — ont un module linl et limité, et ils ne sont pas inlinimcnt rapprochés du point z.
On a donc
mod (Y,;:, -h o,)-^'" /•-'" '
Chaque terme de la série (2J est donc plus petit que I — 1 mullijdlé par le terme correspondant de la série (2") qui est convergente.
La série (2) est donc aussi convergente.
3° Supposons maintenant que le point :; soll sur la circonférence du cercle fondamental. La démonstration précédente sera encore applicable, pourvu que le point z ne soit pas infiniment rapproché d'une infinité de points -^• C'est ce qui arrivera si le point z appartient à l'un des côtés de la deuxième sorte de l'un des polygones R. La série (2) est alors convergente. Dans le cas contraire, les termes de la série (2) sont susceptibles de croître indéfiniment, de sorte que la convergence n'a pas heu.
Les points de la circonférence du cercle fondamental se divisent en deux classes : les uns appartiennent à l'un des c()tés de la deuxième sorte de l'un des polygones R; les autres, qui ne satisfont pas à cette condition, s'appelle-
175 MKMOIRK SIR !.KS FONCTIONS FUOIISIENNES.
vont les points singuliers esse/ilicls du groupe G, de sorte que lu conilitimi de convergence de la série (2) ]ioiirr,i s'i'uinicer ainsi : Le point z devra ne se confondre ni avec aucun des points —^, ni avec aucun des points singuliers essentiels du groupe G.
La série (2) définit une fonclion de z, mais celle fonction n'est pas monogène, comme on le voit aisément d'après la forme même de la série. La somme de la série (2) dépend également du groupe G, et si l'on suppose que les coefficienls des substitutions fondamentales de ce groupe sont des fonctions d'un certain paramètre t, la somme de la série (2) sera aussi une fonction de /.
Une petite digression est nécessaire pour uie permettre d'exprimer plus nettement ma pensée. Reportons-nous au paragraphe XI du Mémoire sur les groupes fuchsiens, paragraphe intitulé : « Formation effective des groupes fuchsiens », et prenons, pour fixer les idées, l'exemple I de ce paragraphe. Dans cet exemple, il s'agissait de former les groupes fuchsiens de la troisième famille, engendrés par un polygone normal ayant 2/i côtés de la première sorte et 2« côtés de la deuxième sorte. Nous avons vu que les coefficients des n substitutions fondamentales de ce groupe ne sont assujettis qu'à des inégalités. Il est donc possible de les exprimer en fonctions rationnelles de 3« paramètres
arbitraires
assujettis seulement à être réels et à satisfaire à certaines inégalités. Les coefficients de toutes les substitutions du groupe sont ahjrs, comme ceux des substitutions fondamentales, des fonctions rationnelles des paramètres u. De plus, il est évident que tous les groupes dilférents qu'on obtient en attribuant aux u différents systèmes de valeurs sont tous isomorphes entre eux.
Ce qui précède peut être étendu au cas le plus général et, pour énoncer plus facilement les résultats qui vont suivre, je vais introduire une définition nouvelle qui nous sera utile dans la suite. Considérons deux polygones normaux R,, et RJ, ; je suppose qu'ils soient désignés par la même notation dans le système de notation du paragraphe VII du Mémoire cité. Les cycles de chaque catégorie seront en même nombre dans Ro et RJ, et ils se correspondront un à un. ,Te suppose de plui que la souiuic (les angles de Ro qui appartiennent à un nii'ine cycle de la première catégorie est la même que la somme des angles du cycle correspondant de RJ,. Je dirai alors que les deux polygones, ainsi que les deux groupes qu'ils engendrent, font partie de la même classe. Il est clair que, dans ce cas, les deux groupes sont isomorphes entre eux.
HÉUOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 1 75
Considérons donc une infinité de groupes appartenant à la même classe G et dérivés de n substitutions fondamentales. Prenons n substitutions quelconques et cherchons si elles peuvent être prises pour les substitutions fondamentales d'un groupe discontinu appartenant à la classe C. Nous trouverons, en général, que leurs coefficients doivent satisfaire k certaines égalités et à certaines inégalités. Ces coefficients pourront alors s'exprimer rationnellement eu fonctions àe p paramètres arbitraires
assujettis seulement à rester réels et à satisfaire à certaines inégalités. La seule différence avec l'exemple I du paragraphe XI, c'est qu'on a en général
p < in,
au lifu de p = i n.
Deux groupes qui sont de la même classe sont, en général, de la même famille. Il j a cependant des exceptions. Ainsi, reprenons l'exemple I du paragraphe XI que j'ai cité plus haut. Les groupes envisagés sont en général de la troisième famille; mais, dans certains cas limites, ils peuvent se réduire à des groupes de la deuxième ou de la quatrième famille. En général, un groupe de la deuxième ou de la quatrième famille peut être regardé comme appartenant à une classe formée de groupes de la troisième famille qui ne se réduisent à la deuxième et à la quatrième famille que pour certaines valeurs particulières des paramètres u. De même, un groupe de la sixième ou de la septième famille peut être regardé comme appartenant à une classe formée de gi'oupes de la cinquième famille, qui ne se réduisent à la sixième ou à la septième famille qîie pour certaines valeurs particulières des paramètres u. Celte remarque nous sera utile dans la suite.
Ainsi, il existe des classes de groupes fuchsiens qui sont tous Isomorphes entre eux; les coefficients de leurs substitutions sont des fonctions rationnelles de certains paramètres réels «, assujettis à certaines inégalités. Si l'on forme la série (2) à l'aide des dllférents groupes appartenant à une même classe, la somme de cette série sera évidemment une fonction des u; je dis que ce sera une fonction continue de ces paramètres.
Il est clair que chaque terme de la série, étant rationnel par rapport aux m, sera une fonction continue de ces paramètres; mais cela ne suffit pas pour qu'il en soit de même de la somme de cette série. Si nous considérons, en
elVet, une série
S{t)= F,(r)-HFî(a-)-t-...-HF„(r)-H...,
I7C) MÉMOIRP. Sun LES FONCTIONS KUTHSIENNES.
(loul les lornu's sont des l'oiiclioiis conlinues tlf x ot qui est coiiv('ri;enlc, \\\ soiiiiiic S(.r) (le celle si'ric jniii ('lie une I'ducIlou (I iscoiil iuue de a;. Mais faisons une li\ [loilic^i' de |dus. Su|)|i()sous que, quand on a
(3) x^lxlxa,
on ail
et que la série
mod V „{x) < G„ C,-hGo + ...-+-G„4
soit convei-oeute ; on sait que S(.ï) restera fonction continue de. x tant que celle variable satisfera aux inégalités (,5j. Ce résultat est d'ailleurs facile à étendre au cas de plusieurs variables. Ainsi, pour démontrer que la série (2)
est une lonclion conlinue des a, il sullil de laire voir qu'on peut trouver une inlinili' de iioiniires |i(isiiit> A, ( indépendanls des u), tels que la série /A/ soit ciui\ ergente et que linégalité
(^■no.1— j ..A,
soit satisfaite quels que soient les m, pourvu que ces paramètres restent compris entre certaines limites qui peuvent d'ailleurs être aussi voisines qu'on veut du système de valeurs pour lequel on veut démontrer la continuité de la somme de la série (2).
Pour dénidiilri T cette conlinuit(', je vais faire usage de certaines considérations qui me fourniront en même tenqîs une démonstration nouvelle de la convergence de cette série, ce (jui ne sera pas inutile, vu l'importance de ce résultat. Je vais rappeler quelques-unes des définitions du paragraphe IT du Mémoire sur les groupes fuclisiens. Dans ce paragraphe, j'avais appelé figures congruentes deux figures qui sont les transformées l'une de l'autre par une substitiiliou linéaire à coeflicienls réels. Posant ensuite
j'avais appelé i^ d'un arc l'intégrale
/■ nind d:
prise le long de cet arc et S d'une aire plane l'intégrale
r rdxdy
prise à l'intérieur de celte aire.
MÉMOIRE SUR LKS FONCTIONS FUCHSIENNES. I77
La L d'un arc et la S d'une aire sont des invariants pour ces figures, c'està-dire que deux arcs congruenis ont même L et que deux aires congruentes ont niônie S.
Plus tard, au paragraphe XII du Mémoire cité, j'ai envisagé des groupes de substitutions qui n'étaient plus assujetties à être réelles, mais à conserver un certain cercle fondamental. Par une extension toute naturelle, deux figures seront dites congruentes lorsqu'elles seront transformées l'une de l'autre par une substitution linéaire conservant le cercle fondamental. Il y aura |)our les arcs et les aires deux invariants analogues à ceux que nous avons rencontrés dans le cas des substitutions réelles et que nous appellerons, par extension, L et S. Par exemple, dans le cas qui nous occupe, le cercle fondamental a pour centre l'origine et pour rayon l'unité. Posons
J'appellerai L d'un arc l'intégrale
mod dz
prise le long de cet arc et S d'une aire l'intégrale
r r 1^ dçj du> J J {'-?-)'
prise à l'intérieur de cette aire. On vérilie aisément que deux arcs congruenis ont même L, pendant que deux aires congruentes ont même -S.
Considérons un cercle ayant pour centre l'origine et pour rayon p. Sa S
La L de son rayon sera
nous appellerons cette quantité le R du cercle. On a, en fonction de R,
S= ^(e2ii+e -iR- -2).
Passons maintenant à la démonstration de la convergence de la série (a) H. P. - II. 23
178 MKMOIBF. SUR I.KS FONCTIONS FIICHSIENNES.
Cl supposons, pour li\or l<'s idc'cs, que le point z est intérieur au cercle f'ondaluenlal; la dt'niouslral ion sCtendrait sans peine au cas général.
Nous décrirons autour de ; un contour Cq tp'e nous pourrons prendre assez petit pour qu'il soil loul entier à rintcrieur de l'un des polyi;ones R, de R^ par exemple. Quanti les paramètres u varieront entre les limites que nous leur avons fixées, les polygones R varieront, mais nous pourrons toujours supposer que Co est assez petit |)0ur rester constamment tout entier à l'intérieur de R^. Si nous considérons maintenant les dillérenls transformés du poini ;, c'està-dire les différents points ■- &> cliacun de ces points sera contenu à
l'intérieur d'un petit contour C, situé tout entier à l'intérieur d'un certain polygone R*, ainsi qu'on l'a vu plus haut. Tous les contours C,- seront congruents entre eux et extérieurs les uns aux autres.
J'appellerai <j la S de Co qui sera celle de tous les C,-. Si je considère maintenant diverses circonférences coupant orthogonalemcnt le cercle fondamental et les arcs de ces circonférences qui sont interceptés par G„, la L de ces arcs restera inférieure à une certaine limite que j'appelle X.
Démontrons maintenant quelques leuimes.
Lemme IV. — Considérons les points transformés de z- , c'est-à-dire les points
'(iz -f- 3,'
qui sont intérieurs à un cercle G' qui a pour centre l'origine et pour rayon
le nombre de ces points est plus petit que
lL(g2(R'+X)^e-2(K'+X) 2)
En effet, soit N ce nondjre.
.Si un point — ^ est intérieur au cercle C, le contour G, correspondant
sera évidemment tout entier à l'intérieur du cercle C" qui a pour centre l'origine et dont le R surpasse de A celui du cercle G", c'est-à-dire dont le R est égal à R'-f- À.
Il y a donc à l'intérieur du cercle G" au moins N contours G, dont la S totale est égale à Nt.
MÉHOIHE SUR I,ES FONCTIONS FUCHSIENNES.
Or la s du cercle C" esl
On a donc
Lemme y. — On a identiquement
1 — mod
mod
I — mod ;2
En effet, envisageons un contour infiniment petit Go décrit autour du point z et le transformé C/ de ce contour par la substitution
Soient (1)0 et w, leurs surfaces, on aura
— = mod
Les S de Wq et 10, seront
/" /^ rf.r rfx (1)0
J J (\— mod==)'- ^ (1- mod;:^)--!
rfa" af/
[-"-(P^)T [— (îS^J'J
Or ces figures sont congruentes et ont même S. On a donc
tl — mod ( -^ 4^ ) I y -(i : -h 0,-/ I — mod z^ J
I — mod I —
mod
I — mod z''
Considérons deux cercles ayant pour centre l'origine et passant, l'un par le
point z et l'autre par le point
g.-SH-P;
Soient A le R du premier cercle et R' le R du second cercle. On aura
mod : =
lod
-'iZ -\- f>i
l8o MBMOIRK SUR l-ES FONCTIONS FUCHSIENNES.
et enfin
"""I ^; — ; = • — iT îTT •
{y,z -h ùif e-" + e-2R + 2
Théorème. — La série (2) est convergente.
Décrivons, en cfVet, une infinité de rercles ayant pour centre commun l'ori- •;ine et dont les R croissent en progression arilhmélique. Soient K,, Kj, . . . , K„, . . . ces cercles, et soit nr le R du cercle K„.
Ecrivons la série (2) sous la forme suivante :
(■ibis) S = U,+ U2+U3 + ...+ U„ + ....
On obtient le terme U„ de la série (2 bis) en groupant tous les termes de la série (2) qui correspondent à des points -^ ^ compris dans la couronne circulaire située entre les deux cercles K„) et K„.
Comme les termes de la série (2) sont positifs, un pareil groupement est licite et la convergence de la série (2 bis) entraine celle de la série (2).
IjC nombre des termes de (2) groupés ensemble dans le terme U„ est, en vertu du lemme IV, ])lus petit que
Chacun d'eux est, en vertu du lemme V, plus petit que
On a donc Posons
on auia
K sera une constante indépendante de n et le second membre de l'inégalité (4) sera, puisque m > i , le li''''"' terme d'une progression géométrique décroissante. La série (2 bis), et par conséquent la série (2), est donc convergente.
Voyons quelle erreur on CDminet quand on se restreint dans la série (2) aux
termes qui correspondent aiiv points — ^ — ^' intérieurs à un cercle ajant pour
MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. iSl
centre l'origine et dont le R est (n — i)r. La somme des termes négligés est
égale à
et par conséquent plus petite que
[ (>2M1 '-ml
Théorème. — La somme S de la série (2) est une fonction continue des paramètres u.
En effet soit S la valeur de cette somuie pour certaines valeurs
«1, «î, ...,«,, de ces paramètres u.
Soit S + AS la valeur de cette même somme pour des valeurs voisines
de ces mêmes paramètres. Je dis qu'on peut prendre les Am assez |)elits j)our
que
