I AS

e étant une quantité d(3nnée.

Soit Sfl la somme des n — i premiers termes de la série (a bis)

So= U, + U.2 + ...+ U„,.

Soit

S,= U„-hU„+, + ...,

Soit de même 2o+ ^^o) ^1 + AS, la somme des termes correspondants de la série S + AS; de telle sorte que

S 4- AS = (S„-t- AS„) -+- (S,+ AS,)- On aura

K ginit-intr K e2'((l-m)r

gS'-U ml ' ' ^ I (j2r(l-/H)

INous pourrons donc prendre n assez grand pour que

s,<i, s, + AS,<i,

Or, une fois n choisi, So sera fonction continue des u; on pourra donc prendre les A« assez petits pour que

et par conséquent pour que

I AS I < £. c. Q. V. u.

iSa MÉUOIRE SDR LES FONCTIONS Fl'CHSIENKES.

Considérons niainlenant la série suivante

Je suppose :

1° Que l'algorilliiiic H(c) représente une fonctidn rationnelle de ; dont aucun inliui n'est situé sur le cercle fondamental, mais qui est d'ailleurs quelconque ;

2" Que le nomlire m est un entier plus grand que i. La fonction H (5) aura

un certain nombre d'infinis

Si le point z se confond avec un des points «

a.iak+ {3,- YiOA + 8,-

l'un des termes de la série est infini et, par conséquent, la série ne peut être convergente.

Supposons au contraire que cela n'ait pas lieu. Nous pourrons trouver un nombre positif M tel qu'on ait, cjuel que soitt,

on pourra même choisir M assez grand pour que cette inégalité subsiste quand on fait varier les paramètres u entre certaines limites.

mod [h (i^i-i-i^) (T'- + 2,)-2'«l < M mod{ 7,;: + 8,)-2"'. L Vï' ^ "*" '^'z J

Le module de chaque terme de la série (5) est donc plus petit que le terme correspondant d'une série convergente à termes positifs. C'est-à-dire que la série (5) est convergente et que sa somme est indépendante de l'ordre des termes.

D'ailleurs on démontrerait, comme pour la somme de la série (2), que la somme de la série (5) estime fonction continue des paramètres u.