II. — Classification et propriétés générales
Ainsi la série (5) est convergente, sauf pour certains points singuliers; dans ces conditions elle définit une fonction ("J(^) liolomorphe. La fonction 0(s) est
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essentielleiiieiit uniforme, mais elle cesse d'être holomorphe aux points singuliers pour lesquels la série (5) cesse crétre convergente. Ces points singuliers sont :
i°Les points
Y, a* -HO,'
c'est-à-dire les divers transformés des infinis de H (s); ces points sont des pôles dans le voisinage desquels ©(5) est méromorphe ;
2" Les points — — '■ , c'cst-ii-ilirc les divers transformés du point 00. Ces points sont encore des pôles dans le voisinage desquels &(z) est méromorphe.
On démontrerait ce double fait en remarquant que, dans le voisinage de ces points, un des termes de la série (5) devient infini et que si l'on supprime ce terme, la série reste convergente.
3° Nous avons enfin les points singuliers essentiels du groupe G, c'est-à-dire les points du cercle fondamental qui n'appartiennent pas à un C()té de la deuxième sorte de l'un des polygones R. Ce sont aussi, pour la fonction ©(s), des points singuliers essentiels.
V^oici maintenant la propriété fondamentale de cette fonction. Considérons une substitution quelconque du groupe G, par exemple
Ok
cherchons quelle relation il y a entre
efïiii|i) et e(.).
\t/.z-\-S/J Le système des substitutions
formant un groupe dont lait partie la substitution (6j sera identique au système des substitutions
en posant, pour abréger.
]^-MA(z)][,
l84 MÉMOIRK SI B I.KS FONCTIONS KUCIISIENNES.
00 qui |>('riiii't (l'('iTiro
ou
On a (iMilIcurs On a (Idiic
ou bien
(7) e(îi±^)=e(.)(-a..-
JNous appellerons yo/it7(o/( llK^taJ acIisieniK; loiile toacliuii iniitormc de ; jouissant de la propriété (7). Nous classerons les fonctions thétafnchsiennes de la même façon que les groupes fuchsiens, à l'aide des propriétés du polygone normal Ro correspondant.
On a vu que les polygones R„ pouvaient se disuibucr en sept familles et que la première, la deuxième, la quatrième, la sixième et la septième de ces familles se subdivisent en deu\ ordres. Mais tout groupe du ileuxième ordre do la deuxième, de la quatrième, de la sixième et de la septième famille est identique à un groupe de la troisième ou de la cinquième famille, ou à un groupe du premier ordre de la sixième ou de la septième famille {voir § IX et XI du Mémoire sur les groupes fuchsiens). Nous pouvons donc toujours supposer que le groupe G n'appartient pas au deuxième ordre de la deuxième, de la quatrième, de la sixième ou de la septième famille.
Cela posé, je dirai que la fonction <")(j^ fait partie de la première, de la troisième et de la eintjuièmc famille si le groupe G fait partie de l'une de ces familles, et que la fonction ©(;) fait partie de la deuxième, de la quatrième, de la sixième ou de la septième famille si le groupe G appartient au premier ordre de Tune de ces familles.
iJe nn"irie je dirai qu'une Idrulnm I hitaliiclisienne est du genre p^ si le groupe G correspondant e^t de ce genre.
Je puis également étendre aux fonctions tliétafuclisiennesla classification des groupes fuchsiens en classes dont j'ai parlé dans le paragraphe précédent.
Envisageons d'abord les fonctions de la première, de la dcuvième et de la sixième famille. Les polygones K concspond.mts n'ont pas de côtés de la
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deuxième sorte, de telle manière que tous les points du cercle fondamental sont des points singuliers essentiels. Le plan se trouve divisé en deux parties, à saxoir l'intérieur et l'extérieur de ce cercle, par une ligne singulière essentielle; il faut en conclure, conformément aux principes actuellement admis dans la théorie des fonctions, et mis en lumière par les travaux de M. Weierstrass, que le développement (5) représente deux fonctions distinctes, selon que z est intérieur ou extérieur au cercle fondamental. La première de ces fonctions n'existera qu'à l'intérieur de ce cercle etadmettra comme espace lacunaire toute la partie du plan qui lui est extérieure; la seconde, au contraire, n'existera qu'à l'extérieur du cercle fondamental. Dans ce qui va suivre, nous n'envisagerons jamais que la première de ces fonctions; en eflet, la seconde d'entre elles, c'està-dire celle qui n'existe qu'à l'extérieur du cercle fondamental, ])eut aisément par un cliangement de ; en - se ramener à une fonction tli(Uafiiclisiciiiie n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondamental.
Considérons donc une tonclion llii'l ifiulisicinir u'cm^IiiiI (pi'à rinti'rleur du cercle fondamental cl diMinie jiar une série telle que ( ."> ) ; nous pouvons la ire deux hypothèses :
Nous pouvons supposer qu'un ou plusieurs des infinis de H(:;) sont intérieurs au cercle fondamental; alors la fonction ©(;) aura des infinis (sauf dans certains cas exceptionnels où plusieurs inlinis de cette lonction se détruisent mutuellement) et nous dirons qu'elle est de la première espèce; nous serons certains alors que la somme de la série (5) n'est pas identiquement nulle, puisque cette somme peutcroitre indéfiniment.
On peut supposer, au contraire, que tous les infinis de H(:;) sont extérieurs au cercle fondamental; alors la fonction ©(;) n'a pas d'infinis et nous dirons cju'elle est de la deuxième espèce. La fonction ©(s) peut alors se développer en une série ordonnée suivant les puissances croissantes de :; et (|ui reste convergente tant que z reste intérieur au cercle fondamental, c'est-à-dire tant que la fonction ®(z) existe.
Piien n'empêche dans ce cas que la somme de la série (5) ne soit identiquement nulle, et nous démontrerons en eflet plus loin cpie toutes les fonctions 0 -de deuxième espèce s'expriment linéairement à l'aide d'un nombre lini d'entre elles.
Passons maintenant aux fonctions de la troisième, de la quatrième, de la cinquième et de la septième famille ; les polygones R ont alors des côtés de la deuxième sorte, tous les points du cercle fondamental ne sont plus des points II. W — II. 24
iSti MÉMOIRR SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES.
sinuiiHers essentiels; nous n'avons pins une lif;ne singulière essentielle, mais une iniinilt- de points singuliers isoh's. 11 lu'snlle de là que la série (5) an lieu représenter deu\ loneiions distinctes selon que ;; est intérieur ou extérieur au cercle fondanuMilal, représente une seule et même transcendante qui est partout lioloniorplic, sauf en certains points isolés. La fonction 0 (s) est donc une transcendante uniforme existant dans toute l'élcndue du plan et présentant une inlinite île points singuliers essentiels.
On peut se demander quelle place elle occupe dans la classification que M. Mittag-Leffler a donné de pareilles fonctions dans sa communication du 3 avril 1882 aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris.
Les points singuliers essentiels étant en nombre infini seront infiniment rapprochés dans le voisinage de certains |)oints singuliers de deuxième espèce; ceux-ci à leur tour, s'ils sont en nondjre infini, seront infiniment rapprochés dans le voisinage de certains points singuliers de troisième espèce, et ainsi de suite.
Je dis que nous ne serons jamais arrêtés et que nous trouverons ainsi une infinité de points singuliers de toutes les espèces. En effet, si nous avons une infinité de points singuliers de la (n — i )'*""" espèce, il y aura au moins un point singulier de la n'^"" espèce ; mais s'il y en a un, il j en aura une infinité, car tous ses transformés par les diverses substitutions du groupe G devront aussi être des points singuliers de la n'""" espèce. c. q. f. n.
Nous avons donc affaire à une de ces fonctions que M. Mittag-LefUer a appelées du deuxième genre.
Il semble d'abord que toutes les fonctions aient des infinis, car elles existent dans loiii le |ilan et elles doivent avoir pour p()Ies ceux de la fonction rationnelle H(:;^ qui doit dexciiir infinie en quelque point duplan. Mais il peut arriver que plusieurs des infinis de la fonction 0(s) se détruisent mutuellement; de sorte qu'on peut construire, comme dans le cas précédent, des fonctit)ns tliétafuclisiennes de la deuxième espèce; on en verra un exemple au paragraphe Vin.
Parmi les points singuliers de nos fumiions ili(''iafiichsiennes, il en est qui doivent |iarli(iilièrement attirer notre attention : ce sont les sommets des polygones R qui sont de la deuxième catégorie et qui a])|)artiennent à un cycle de la troisième sous-catégorie {voir le paragraphe V du Mémoire sur les groupes fuchsiensj.
.Soit a Mil pareil ■.oiiiinel ; il y aura |ianiii les substitutions du groupe d une
MÉMOIRE Sl'H LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 187
substitution parabolique de la forme
C'est là la définition nièine des cycles de la troisième sous-catégorie. Posons
•). l TT
'' -ITTTT-. ='?'(().
en conservant pour le svinbnle /"/(s) la signification qu'on lui a donné-e plus haut, c'est-à-dire
Définissons maintenant un symbole H, de la façon suivante :
11 est clair que H( sera ralgoritiime d'une fonction rationnelle. On trouvera alors identiquement
Mais, la série ©(s) étant absolument Cf)nvergciile, on peut en ordonner les termes comme on le veut. Voici comnienl nous allons les ordonner : Parmi les fonctions 'J((<) on peut en choisir une infinité
de telle façon que toute fuicticm '.;,(/) puisse se iiu'tlrc d'une manière et d'une seule sous la forme
h étant un entier positif ou négatif; ce qui permet d'écrire
Considérons un nouvel algorithme Hj.(<) défini comme il suit : d'où
A ^ 90 h — -\- xi
iS>* Miaidiiiiî srit i,i;s fonctions fuciisiennks.
Il laiil (l',il)iii<l ilVcclucr la siiiiiiiialion par rapporl à h; or FI^. (/) est. une loiuiioii iMliomicllo de l (pj| iriid vers /c!ro quand t. leutl vers riiiliiii. On aura
donc
^ n'i,(l + 7.hiii) = \\l(e'),
H^.(e') d(''sif;naiil une limrl ion ralionnellc de r' cpil Icnd vers z(''ro (juand / MmkI vers rniilni. 1! \ icnl donc ,
»"''-mi,"'"->-
La convcrf^ence do celle scric est éviticnic, piilscpi'on Ta ohlennc en i;ronpanl d'une certaine manière les Icrmes de la série (5) qui est absolument el unifor- UK'ment converf;enle. I )i' plus. \c^ Icrmes sont rationnels en e' et leurs infinis ne sont pas inlinlmcnl rapproches dans le voisinaiçe de
e' := o ou (le e' = co,
de telle sorte (ju'on |icul li-oM\criinc limite supérieure el inlV'ricure des modules des valeurs de e' (Uii l'ciidenl inlinie l'une des lonctions \l]..
11 suit de là (pie, ilans le voisinaf;(' du point singulier ; =: a, la fonction
0(:;) (; — a)-'" esl Indomoiplie en (jfi^-'"' ou en eP'"""' selon (pi'ou approche du ])oint 7. paT- l'iMliriciir on par l'evlérieur ilu cercle fondamental.
En d'autres termes, a esl poui- la fonction B un poinl singulier logdiilhmiquc.
Ainsi, si l'on envisage les diirérenls sommets des polygones R, on reconnaîtra :
l°Quc les soiiuiicis qui loiil paille <l un cyele de la preiiiicre et de la troisième catégorie soiil pour la lonclnui (') des points ordinaii<'s ou des pc'des ;
2° Que les sommels cpii loiil parlie d'un cycle de la troisième sous-catégorie sont des points singuliers logaiilhmiipies :
3" Que les sommets (pii font partie d'un cycle de la (pialiième sous-catégorie sont des points singuliers d'une nature plus ('devée.
