III. — Zéros et infinis

Nous allons mainlenanl (■liidier la dislrilnition (le^ zéros et des Induis de la fonction B. Il est clair que, si un point ; esl |i(im (elle loiiiiion un zéro ou un

MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCllSIENNES. 189

infini, il en sera de même de tous les points correspondant à z, cest-à-dire de tous les points -^ — ^' • De cette façon, à tout zéro contenu à l'intérieur du polvgone Ro, correspondra un zéro contenu dans cliac\in des polygones R, et que nous ne regarderons pas comme réellement disli/irt du premier. De sorte que le nomljre des zéros et des infinis réellement distincts de la fonction 0 sera le nombre des zéros et des infinis contenus à i'iuN'ricur de Rq si la fonction n'existe que dans le cercle fondamental, et à l'intérieur de Ro + R„ slelleexiste dans tout le plan. Je rappelle que Rj, est le |)(dygone symétrique de Roparrapporl au cercle fondamental.

Cependant, quelques conventions spéciales sont nécessaires, si l'on veut |)ouvoir énoncer simplement le résultat auqufl ncnis allons airiver au sujet du nombre des zéros et des infinis. Il est d'aijord évident qu'un zéro double ou un infini double doit compter pour deux zéros ou pour deux infinis ; de même pour les zénjs et les infinis multiples. Mais, outre les zéros contenus à l'intérieur de R9, il peut y en avoir qui se trouvent sur le périmètre de ce polygone. Supposons qu'il y en ait un sur un côtéaiidcla piemière sorte, il y eu aura un autre, correspondant au premier >ur le ci")tt' cini jui;n(- àcah. Ces deux zéros ne seront pas réeliciiinil (li^tiucts et l'on ne ilevra les compter que pour un seul zéro, ou, si l'on veut, on (le\ra conqiter chacun d'eux pour un demi-zéro. Supposons maintenant qu'un sommet de la première catégorie soit un zéro d'ordre p; les sommets qui font partie du même cycle seront au nombre de /( par exemple et ciiacNU d eu\ sera un zéro d Ordre n ci un nie le preiiiK r. Supposons (pu^ la somme des angles qui correspondent à ces sommets soit -^" ; chacun d'eux appartiendra à /(./,■ polvgones difi'érents, de manière (ju'on devra en quelque sorte le |>artager entre ces n./c [)olvgones et que la part du polygone R;, sera un zéro d'ordre — j • Il résulte de là que les différents sommets du cycle représenteront seulement Y zéros distincts.

Il est facile d'étendre cette convention au cas où l'un des zéros est un des sommets de la deuxième catégorie et appartenant à un cycle de la troisième sous-catégorie. JNous avons vu que si a est un pareil sommet, la fonction 0 peut se mettre sous la forme

$ étant une fonction holomorphe de e^'*~-' s'annulant pour

190 MEMOIRE SUR LIÎS FONCTIONS FUCHSIENNES.

c'est-îi-ilirt' lliUll-

eîiia-=i=o.

H = o sera alurs un zimm do la t'oiiclioii *!>(«). Supposons que ce soit un zéro il'ordro j[). Mous dirons alors que les différents sommets du cycle auquel appartient a représentent jo zéros distincts de la fonction W.

Ce qui précède s'applique évidemment aux infinis.

Occupons-nous d'abord des infinis. La série (5) devient infinie quand jj / £- — pi \ ^^j ^devient infini. Supposons d'abord que la fonction 0

n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental. Alors 5- ne peut devenir

infini; de jilus, à chaque infini de H(:;) intérieur au cercle fondamental correspondra en général un infini de l'un des H( -^-^ ~ \ qui sera intérieur à Rq-

Donc :

Le nombre tics infinis distincts dr 0 f.s'^ ('gai au nombre des injinis deW intérieurs au cercle fondamental .

Supposons maintenant que 0 existe dans tout le plan.

A tout infini de II (r) intérieur au cercle fondamental corresjjond un infini de Tun des H fîillti'') intérieur à R„.

A tout infini de H(^) extérieur au cercle fondamental correspond un infini de l'un des H ( — tr ) intérieur à R'.

A rinl(''ricur de chacun des polygones IV, et par conséquent à l'intihieur

de R'„, nous trouverons un des ixiints — — (lui sont pour 0 des infinis d'ordre

2m. Il y a cependant une exception : lc> points — — sont les didercnts points

correspondants de l'infini; la surface tic l'un des polygones R' contient le

point 30 et ne contient pas de point ; le ])oint oc n est pas en gênerai un

Y' infini de 0. Mous sup|)oserons, pour éviter cette difficulté, que le polygone R'^

ne Cfnitirnt |>a^ li' poiril y. el nous poiiinuis ('•iionccr le résultat suivant :

Le iioiidirc des inliui- de 0 eonleuus à rinlc'iieur de Rq + Rj,, e'est-à-diie le nombre des injinis distincts de 0 est égal au nombre des infinis de II augmenté de um.

Passons à la reclierclie des zéros. Parmi eux, il y en a qui dcjivent d'abord attirer l'attention : je veux parler des sommets de la première catégorie qui dans certains cas sont forcément des zéros d'ordre déterminé.

MÉMOinE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. Igi

Soient a un sommet de la première catégorie et a' son symétrique par rapport au cercle fondamental. Supposons que a fasse partie d'un cycle et que la somme

des angles de ce cycle soit -r- L'une des substitutions de G sera

Nous aurons

ef/,(--)]=e(s)(^

Mais

Remarquons de plus que n<jus pouvons développer 0 (;:) (3 — a')-™ suivant les puissances de - ; > de façon à poser

L'équation (8) devient alors

Cette identité exige qu'on ait

A,,= o, ou bien

e >• — e * , c'est-à-dire

(9) jD -H «i H= o {moAk).

Donc le développement de 0, ne contient que des termes dont l'ordre p satisfait à la congruence (y). Si donc k ne divise pas m, 5 = a est un zéro pour©, et par conséquent pour 0.

Ce zéro est d'onb-e au moins égal au reste de la division de mik — i) par k; et si l'ordre de ce zéro diffère de ce reste c'est d'un multiple de k. Il y a exception évidemment si a est un infini de 0.

De même nous avons vu que les sommets qui appartiennent à un cycle de la troisième sous-catégorie sont, en général, des zéros de la fonction 0.

\Ç)1 .MKMOIRK SI n LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

Nous allons maiiUenanl cherclier quel esl le nombre des zéros réellement (lislincts de notre fonction 6 et, pour fixer les idées, nous supposerons qu'il s'auil d'ime loiirlinu ilc la |)ifmièr<' ramillc. Soil tj le noiiiijre des infinis distincls, soil /> le iioiulirc di's zéros réellement distincts, c'est-à-dire le nombre chercli(': soit maintenant />o le nombre des zéros situés à l'intérieur de Ro en laissant de côté les zéros qui pourraient se trouver sur le périmètre et sur les sommets. Nous supposerons, ce qui arrivera en général, qu'il n'y a pas de zéro sur le périmètre en dehors de ceux qui sont sur les sommets; s'il y en avait, on naiirait qu'à considérer les zéros situés sur les côtés comme des somnu'ts séparant deux côtés consécutifs du polygone situés dans le prolongement l'un de l'autre. Supposons maintenant que les sommets se répartissent en

un certain nombre de cycles de la première catégorie C|, Ca, •.., C,,

Supposons que tous les sommets du cycle C,- soient des zéros d'ordre pi et que la somme des angles de ce cycle soit -r- de telle sorte que l'ensemble de ces

zéros doivent être comptés, d'ajirès la convention faite phisbaul, [lour j-' zéros

distincts. On devra avoir

j)i-i-i)tiE^o (mod/,),

Le problème consiste à ('valuer y^,,- I^oui' cela il fuit prendre l'intégrale

('"^ J -^TTT

le long du périmètre de Ro- L'i partie ri'elle de cette intégrale sera nulle et la partie imaginaire s'écrira