Ki Pu — q
L'évaluation tle l'intégrale (lo) présente ici une difficulté spi'ciale.
En effet la fonction sous le signe / devient infinie en divers points du conloui- d'intégral 1(111. puisque nous avons \ ii (pTun certain nombre de sommets de Ro étaient des zéros de 0. On tournera celte difficulté en décrivant autour de chacun de ces sommets comme centre des arcs de cercle infiniment |>etits, raccordant les deux côtés qui aboutissent au sommet considéré; il faudra décrire ces arcs de cercle à l'intérieur de Ro, de façon à laisser les sommets en dehors du contour, puisque nous voulons évaluer y;,,, (•'(■>t-à-dire lenombrcdes zéros intérieurs à Ro-
Il faudra donc évaluer l'intégrale (w) :
i" Le long des arcs de cercle infiniment petits décrits autour des sommets;
MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. igS
2" Le long des côtés de la première sorte;
3° Le long' des côtés de la deuxième sorte.
Il suffira d'ailleurs de calculer la partie imaginaire de l'intégrale, car nous savons d'avance que la partie réelle est nulle, et cette partie imaginaire n'est autre chose que la variation de l'argument de 0.
Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une fonction de la première famille, de telle façon que nous n'ayons que des sommets de la première catégorie et des côtés de la première sorte. Soit 2/1 le nombre de ces côtés.
Considérons d'abord un des petits arcs de cercle décrit autour d'un sommet; supposons que ce sommet appartienne au cycle C/ dont la somme des angles est -j— et dont tous les sommets sont des zéros d'ordie /',. Soit A l'angle du sommet considéré. L'intégrale prise le long du petit arc de cercle correspondant sera — ^ — 1 pi^ ; prise le long de tous les arcs de cercle décrits autour des divers sommets du cycle, elle sera
■ I -Pi-
Enlln, l'intégrale (10), prise le long de tous les arcs infiniment petits décrits autour des sommets de R„, sera
Il reste à évaluer notre intégrale le long îles c(>tés de la première sorte. Soient donc ab, a' b' deux côtés conjugués de Rq. Il f<iut calculer
■''e'dz r"ev/3 r''B'(iz r''' ^' dz
r ' S' dz r" e' dz r " e' dz r e' dz
Soit [:;, y, (5)] celle des substitutions du groupe (j qui change a' è' en aè. Nous aurons, d'après ce qu'on a vu plus haut,
e(/,) = e(c,(fp
Donc
Le(/,) = L0(c)-mL ^
dz
f"\'-l^'-'-l^]dz=-,.f"'d\Lm J„. l^(J.) Wl-jJ ./. L dzj
dz
H. P. — II. j5
MKMoiui: srn les I'onc.iidns i'Iciisiennks.
àf.
Il ri'slo (linir à clicrclici' comiiiciil \arii' la nailic iiiiai;inaiic ili^ Ij-t- l'n 1 ar-
' dz
ijumi'iil lie -~ quand c varir de n' à h' .
Je rai>|ii'lli' (jiu- les côtés de lio) ab^ a' b' sont des arcs de cercle; je vais mener aux points a, b, a', b' , les tangentes aux arcs de cercle nfc, a'6'; soient ac^ bc; a'c', b'c' ces tangentes. Soient maintenant W|, w^, W3, co.i les arguments des quanlilôs imaginaires (c — «), (b — c ), (o' — a'), (b' — c').
I'"is. lu.
Supposons qu'on opère de la même manière pour tous les côtés du polygone curviligne Rq; on obtiendra un polygone rectiligne Po de 4'* côtés, dont les côtés seront les tangentes menées aux côtés de Rq par les sommets de Ro et dont les sommets seront ceux de Ro et les points tels que c, c' ; je désignerai simplement par les lettres c et c' les angles du polygone Po qui correspondent aux sommets c et c'. Outre les sommets tels que c, le polygone Po admet 2n angles qui lui ^ni\[ coiiiinniis avec R„ et dont la sitmme est 7 -7^» d'où la relal idii
• 9. )lt
Aoiis piiiiMnis écrire iiiaiiilciiaiit
a,.g. = .o,-OH,
pnui' z = n , |ioiir ; = b',
[>a!lie imiig. do J = — /«( luo — (i), — (o; -h (U3 ) y/ — i, c = (Ui — Wa-h -,
c'= 7: (Oj-t- (1)4,
|>ar lii: iiiia;;. île J — m ( c ^- c' — -17:; y/ — 1 . L'intégrale (1 o^ prise le long de lou.i lc.-> côté.-, de la première sorte aura
MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS KUCHSIENSES. IQS
donc pour valeur la partie imaginaire de ^ J ou bien
J — I //! 7 c — inimz \/ — I
{\n — 2)m7T / — I — 7.r. \/ — i ^,-, i/iin- ^ — i = f« — i)2mTTy/ — I — 2~ y — l > -r--
L'intégrale (lo) se réduit alors à
d'oii la relation
po= q -h m(n — i)—^ j-
Ce nombre po des zéros intérieurs à Rq est entier à cause des congruences
Pi-hni^^o { 1110 cl />•,).
Exprimons maintenant le nombre p des zéros réellement distincts, défini par les conventions faites plus haut; nous trouverons
/* = ? + '"("- I — 2 Ti
Ainsi, rexcùs du nombre des zéros distincts sui' celui des inliuis distincts ne dépend que du nombre m, du nombre 2 « des côtés de Ro et de la somme^-r— des angles de ce polygone.
Cette somme satisfait à l'inégalité
^-^ <Tt(-irt — 2),
d'où
et par conséquent /> > ^- L'expression (n — i — ^7- ) est proportionnelle à la S du polygone Ro-
Supposons maintenant que la fonction & soit de la deuxième ou de la sixième famille. Nous n'aurons toujours que des côtés de la première sorte ; mais, outre les cycles de la première catégorie C|, C2, • • -, C,-, .... que nous avions rencontrés dans le premier cas, nous aurons des cycles C, , C, , ..., G,- de la deuxième catégorie et de la troisième sous-catégorie. Considérons le cycle Cj; les divers sommets de ce cycle seront des zéros; je suppose d'après la conven-
I9*î MKMOIRI-: Sril les fonctions FUCHSIENNES.
tniii tuile [ilus luml qu'ils ci>iiii)lt'nl [loiir /(, zéros distincts. Ou aura alors
(II) p^po + y^j^+y^'u-
Il tant (■•\alucr l'itirr^ralc (lo) :
i" Le long lies arcs de cercle intiniinenl petits décrits autour des sommets de la première catégorie;
a" Le long des côtés de la première sorte;
3° Le long des arcs de cercle infiniment petits décrits autour des sommets de la deuxième catégorie.
La première partie de l'intégrale se réduit, comme plus liaut,à — air^ — i Vj'; la seconde à
^3 = 'iTz,n^/~(^n — i -2^)'
Pour évaluer la troisième, il suffit d'étudier comment varie l'argument de 0 dans le voisinage des sommets de la deuxième catégorie; à cet eiret, il faut mettre la foncrion 0 sous la forme
(= — a) 2'" <|>[efiia-;ij
($ étant l'algorithme d'une fonction h(jloinorphe), ce qui est possible, ainsi qu'on l'a vu plus haut. On reconnaîtra alors que cette troisième partie de l'intégrale se réduit à — 2ny/ — I > hi.
Il restera donc, pour l'expression de l'intégrale (lo),
d'où
P<i= q + m{n — \) — 2^^-j- 2^hi
et
{' — 'Lt)
Nous sommes conduits, jiour l'excès du nombre des zéros distincts sur celui des infinis distincts, à la nn'me expression que ilans le cas précédent. Cet excès est proportiomicl au rinuilirc /// ol dépend en outre du noirdire des côtés du polygone Pio et de la somme de ses angles, ou bien encore il est proportionnel à la fois à m et à la S de Ro-
Supposons enfin que la fonction 0 soit de la troisième, de la quatrième, de la cinquième ou de la septième f.iiuille, c'est-à-dire existe dans tout le plan.
MÉMOIRE Sun LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 197
Nous aurons alors des côtés de la première et de la deuxième sorte, des sommets de la première et de la troisième catégorie et des sommets de la deuxième catégorie appartenant à des cycles de la troisième sous-catégorie. Nous allons chercher le nombre des zéros et des infinis distincts; ce nombre sera défini comme précédemment. Cependant il y a une remarque à faii-e au sujet du nombre des infinis distincts; ce sera en général le nombre des infinis intérieurs à Rq et à R'„, mais une difficulté se présentera si le point co fait partie de la région R'^. Dans ce cas il peut se faire que go ne soit pas un infini de 0, mais que tous les transformés du point co par les substitutions du groupe G soient des infinis de 0. Le nombre des infinis réellement distincts sera égal alors au nombre des infinis intérieurs à Ro + R,, plus 2m. Pour éviter cette difficulté, je supposerai que le polygone Rq ait été choisi de telle sorte que le point 00 ne fasse pas partie de la région R^.
Cela posé reprenons l'intégrale (10) ; il \,i falloir l'évaluer le long du contour de Ro, puis le long du contour de R',, et ajouter. Soient 2 n le nombre des côtés de la première sorte ; / celui des côtés de la deuxième sorte ; conservons d'ailleurs les notations employées plus haut : p^ cl q représenteront alors le nombre des zéros et des infinis intérieurs à Rq+ R„.
Il faut évaluer l'intégrale :
i" Le long des petits arcs de cercle décrits autour des sommets de la première catégorie ;
2" Le long des petits arcs de cercle di'crils autour des sommets de la troisième sous-catégorie;
3° Le long des côtés de la première sorte;
4° Le long des côtés de la deuxième sorte.
La première et la deuxième partie de l'intégrale seront égales à
-"-"Gï*!"')-
La troisième partie sera égale, comme plus haut, à la partie imaginaire de ^ J.
Construisons un polygone Pq en menant, par les dillerents sommets de R„, des tangentes aux côtés de la première sorte. Le polygone rectiligne ainsi obtenu aura 4« + ^ côtés ; ses angles seront de deux sortes : les uns seront analogues aux angles que nous avons appelés plus haut c, c'; les autres lui seront communs avec les angles de Rq, mais parmi ceux-ci les uns, dont la
IgS MlhlOIllK SIR I.liS FONCTIONS FUCHSIRNNES.
somme sera^ -r^i rorrospondronl aux sommets de la première calégorie; les
autres, qui seront nuls, correspondront aux sommets de la deuxième catégorie ; les autres enfin, qui seront ilroits et au nombre de :>, /, correspondront aux sommets de la troisième catégorie; d'où la relalion
7 C -H 7 -j^ -1- /ti = (4 « + ^ — 2)tT.
Or on a trouvi'. plus haut, on aura donc
|Kii'li<> iiiia<;. lie ^J = m\J — i ( 2,
c — 2 « Tr I ;
part le iniag. de 7 ,1 = 2 uni 1/ — i { n — 1 — ^ -r-
Appelons enfin 2TiIy/ — 1 la partie imaginaire de riiitégrale prise le long des côtés de la deuxième sorte; nous trouverons pour rintcgrale (10) prise le long de R„ :
