ITT [,w «-.) -V /!i^ V

]i faut prendre mainlenaia rint('grale (10) le long de R',,. Supposons que, d'après les conventions faites plus haut, les sommets de la première catégorie

de R,, comptent pour \^ j^ zéros distincts et ceux de la deuxième catégorie pour 7 /<; zéros distincts. Nous trouverons pour la valeur de l'intégrale prise le long de Rij, en raisonnanl comme plus haut,

/■ r 'V Pi -^ "' V '

2it:/— 1 w(n — 0— ^ — ^- ^/(,— I ,

OU en ajoutant les deux iiit('grales

d'où

d'où

p„=q-^-xin{n — \)— > ■^— ; Z,-S >,(/'<-+-''<)•

Mais, si B désigne, coinnie plu> haut, le nombre des zi-ros distincts, on aura

MÈUOIHE Sun LES b'ONCTIONS h"l CllSIENNIiS. tÇ)t)

Ainsi, l'excès du nombre des zéros distincts sur celui des infinis distincts ne dépend que du nombre m, du nombre 2n des côtés de la première sorte et de la somme des angles de la première catégorie.

Ce qu'il importe surtout de remarquer, c'est que, dans tous les cas possibles, le nombre des zéros et celui des infinis <listiiicts sont toujours finis.

Si une fonction F(^) est uniforme, si elle se reproiluil par loules les sulislitulions d'un groupe fuclisien G, de telle sorte que, si

\ ■;, - + &,7 est une subsiitulion de ce groupe, on ail idcnl iquement

si enfin la fonction F(r) n'a (pTiin noniluo fini de zéros el d'infinis réellement distincts, je dirai que cette fonction est uwç JonriioN J iir/ifie>i//e. JL\is[c-l-il de pareilles fonctions? Il est aisé d'en former.

Considérons, en efifet, deux fonctions thétafuclisicnnes correspondant à un même groupe G et à une même valeur de l'ciilicr m. leur quotient sera une fonction luclisienne. Il e>t aisé de g(''néraliser ce prori'di'. Aoiis dirons que le nombre //( est le (li'i;rr de la série (■). Si nous envisageons ensuite un produit de plusieurs séries telles que ("), le degré de ce monôme sera la somme des degrés de tous les facteurs. Si nous considérons un polynôme entier par rapport à diverses séries 0, nous dirons que ce polynôme est liomogènc et de degré k si tous ses termes sont d'un même degré k; le quotient de deux polynômes homogènes de degrés k et /«' sera une fonction rationnelle homogène de degré k — k' . Il est clair que toute fonction rationnelle, homogène de degré o par rapport à diverses séries 0, est une fonction fuchsienne. Nous verrons plus tard comment toute fonction fuchsienne peut s'exprimer de cette façon.

Quelles sont les propriétés des fonctions fuchsiennes?

1° Les si/i i;ularit<'s sont les mêmes que celles des Joitclions l/iétafuchsieiines ; nous avons par conséquent des fonctions fuchsiennes n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondamental et pour lesquelles toute la circonférence de cercle est une ligne singulière essentielle, et d'autres qui existent dans tout

MKMOIRF, SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

le plan et dont les palais siaguliers essentiels, situés tous sur le cercle fondamental, sont isolés quoique en nombre Infini.

2° Le nombre des zéros dlsliucts d'une r<)uctlon fuchsienne F(:;) est égal à celui de ses infinis disliucls; il est ét;.il, dautre part, au nombre des zéros distincts de la l'onction fuciisienne F(;) — a, c'est-à-dire au nombredes points réellement distincts pour lesquels F(;) prend la valeur a. En conséquence, le nombre des points intérieurs à Ro (ou à Ro+R„) et pour lesquels F(2) reprenil une même valeur est constant et fini.

3° Soient deux fonctions fuclisleuncs !'(;) et F|(s) correspondani ii un même groupe fuchsien G, et supposons que la première reprenne p fois, et la seconde jD| fols, la même valeur à l'intérieur de Rg ; je dis qu'il y aura entre F et F, une relation algébrique. En elïet, à chaque valeur de F correspondent p^ valeurs de F, ; toute fonction sjmétriquede cesp, valeurs est méromorphe en F pour toutes les valeurs de F finies ou infinies. Toutes ces fonctions symétriques sont donc des fonctions rationnelles de F; donc V, elle-même est fonction algébrique de F. c. q. f. d.

4° Considérons maintenant toutes les fonctions fuchsiennes qui correspondent à un même groupe G. Entre deux quelconques d'entre elles nous venons de voir qu'il y a une relation algébrique. 11 suit de là que toutes ces fonctions s'exprimeront rationnellement à l'aide de deux d'entre elles que j'appellerai x et y. Nous aurons d'ailleurs entre x et j' une relation algébrique

Quel est le genre de la relation (i) ou, ce qui revient au même, celui de la surface de Rlemann correspondante? Pour résoudre cette question, il faut se reporter au paragraphe Vlll du Mémoire sur les groupes fuchslens, paragraphe iiiiiiub; Classification en genres; dans ce paragraphe, je supposais que l'on découpait la région R^ (ou Ro+R„), puis qu'on la repliait en la déformant de manière à recoller ensemble les c()tés conjugués et à obtenir ainsi une surface fermée. Il est clair qu'au point de vue de la géométrie de situation la surface fermée ainsi obtenue ne dlIFère pas de la surface de Rlemann qui nous occupe. Il en résulte que le genre de la relation (i) est précisément ce que j'ai appelé, dans le Mémoire eu question, le genre du groupe G. Si donc le groupe G est de genre z('ro, il en sera de um'hic de la relation ( i) et, par conséquent, toutes les fonctions fuchsiennes pourront s exprimer rationnellement à l'aide tVune seule d'entre elles (pie j'appellerai x.

MEMOIRE SUR LES FONCTIONS Fl'CHSIENNËS. 201

On peut éviter ces considérations empruntées à la géométrie de situation. C'est ce que j'ai fait dans un travail inséré dans les Mémoires de l'Académie de Caeti ('), où je détermine le genre de la relation (i) par le nombre des cycles distincts que l'on peut faire décrire au point analytique (x,y), mais on est conduit ainsi à une discussion assez longue.

5° Considérons la fonction fuchsienne que nous venons d'ap})eler X et formons les deux fonctions suivantes :

, . /d.v / dx

Il est clair que l'on aura

d'^x dx „ ld''-x

('i dx'^ i'2 dx"^ / dx

drY'

On vérifie aisément que le troisième membre de celte double égalité est une fonction fuchsienne de :; : c'est donc, d'après ce que nous venons de voir, une fonction rationnelle de x et de >', que j'appellerai c»(j7, >-)•

Les deux intégrales de l'équation linéaire

sont donc

(3) rf^ = '"f('^'->'^

Ainsi la considération de la fonction fuchsienne x permet d'intégrer l'équation linéaire (3) dont les coefficients sont des fonctions rationnelles du point analytique (a?,j'). On voit que la variable indépendante x s'exprime par une fonction fuchsienne de s, c'est-à-dire du rapport des intégrales. Quand on connaît cette fonction fuchsienne on en déduit les intégrales elles-mêmes à l'aide des formules (2).

Dans le cas particulier où le groupe G est de genre zéro, l'équation (.■!) pourra s'écrire

d'^v (3 bis) — =v<^{x),

'■s(x) étant une fonction rationnelle de x seulement; dans ce cas, en effet, nous venons de voir que toute lonctii)n fuchsienne s'exprime rationnellement en X.

(') Ce Tome, p. ■jS.

20Ï MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FtCHSlËNNES.

Clien Ih>ii> iiuiiuloiuuit ([iiels sont les points singuliers de l'équation (.3) et comment se comporlcnt les intégrales dans le voisinage de chacun d'eux. En «énéral. le-- intégrales seront des fonctions lioloniorphes de x\ il j aura deux exceptions qui nous donnent deux sortes de points singuliers :

i" Pour les points singuliers de la relation (i), y cesse d'être fcmclion holoniorphe de x, et il en est de même des intégrales c, et v^; mais c, et v^ reslcnl functio/is lioloniorphes du point analytique (:r, >). Nous n'avons donc pas ainsi un véritable point singulier.

2" Pour les points {x,y) qui correspondent aux divers sommets du polygone Rfl. Dans cette seconde espèce de points singuliers, nous distinguerons :

1" Ceux qui correspondent à des sommets de la première catégorie. Dans le voisinage d'un pareil point singulier, les intégrales de l'équation (3) sont régulières, pour employer l'expression de M. Fuclis. Si nous formons maintenant l'équation déterminante correspondant à ce point singulier, la différence des racines de cette équation est l'inverse d'un nombre entier. En effet, le point singulier correspond à un sommet de Ro qui fait partie d'un cycle

de la première catégorie, et la somme des angles de ce cycle est égale à — . p étant un nombre entier; on voit aisément que la différence des racines de l'équation déterminante est précisément -•

Dans le cas particulier où le sommet de Rq envisagé appartient à un cycle de la première sous-catégorie, on a jo = 1 , d'après la définition même de cette sous-catégorie. Par conséquent, la dillerence des racines de l'équation déterminante est l'unité. Un semblable point n'est donc pas un point singulier.

2" C(jnsidérons maintenani nu point singulier qui corresponde à un sommet de Rq appartenant à un cycle île la deuxième catégorie. Ce cycle sera de la troisième sous-catégorie, puisque, d'après ce que nous avons vu plus haut, on peut toujours supposer qu'il n'y a pas de cycle de la quatrième souscatégorie. Formons l'équation déterminante correspondant à un pareil point singulier; les racines de cette équation seront égales et les intégrales de l'équation (3) seront logarithmiques , mais régulières.

3° Il faudrait envisager enfin les points analytiques {x,y) qui correspondent à des sommets de la troisièuie catégorie, mais on reconnaîtrait aisément (jue ce ne sont pas des points singuliers.

MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 2o3'

En résumé, les intégrales de l'équation (3) sont partout régulières et [si on laisse de côté les points singuliers de la relation (i)] le nombre des points singuliers de l'équation différentielle (3) est égal à celui des cycles de la deuxième ou de la troisième sous-catégorie que présente le polygone Rq (ou les deux polygones Rq et R'q).