V. — Première famille; genre zéro

Après avoir étudié les propriétés des fonctions fuchsiennes en général, nous allons nous occuper, séparément, des diverses familles et des divers genres entre lesquels se répartissent ces fonctions; nous commencerons par l'étude spéciale des fonctions les plus simples; celles de la première famille et du genre zéro.

Je rappelle d'abord quelle est, pour de semblables fonctions, la forme du polygone R„. Les côtés sont tous de la première sorte et au nombre de 2«; les côtés de rang j9 et 2 w -)- i — p sont conjugués et, par conséquent, congruents. Les cycles sont au nombre de « + i; deux d'entre eux ne contiennent qu'un seul sommet, le premier le sommet de rang i ; le second le sommet de rang m + i. Les n — -i autres cycles sont formés de deux sommets, à savoir des sommets de rang p et 2/1 -f- 2 — p. (C'est l'exemple II du paragrapbe VII du Mémoire sur les groupes fuchsiens.)

Un cas particulier remarquable est celui où le polygone Rq est symétrique par rapport à l'arc de cercle qui coupe orthogonalement le cercle fondamental et qui joint les sommets de rang i et /; + i . Je dirai alors simplement que ce polygone est symétrique.

Dans le cas qui nous occupe, le genre est égal à o, et par conséquent toutes les fonctions fuchsiennes s'expriment rationnellement à l'aide de l'une d'entre elles, que j'appellerai x ou bien f{z). Cette condition ne détermine pas complètement la fonction x = f(z). Si, en effet, toutes les fonctions fuchsiennes s'expriment rationnellement à l'aide de or, elles s'expriment aussi

rationnelleineut à l'aide de -r, a, b, c, d étant des constantes quelconques.

Il faut donc, pour définir complètement la fonction a: =/(;), s'imposer encore trois conditions. Voici celles que nous choisirons. Soient a,, aj, a.„^, les sommets de rang i, 2 et w + i ; nous supposerons que l'on a

204 MKMOIRE SUR LES FONCTIONS PlICHSIENNES.

La fonction /{:■) sera alors eutièrenient déterminée. A l'égard de cette fonction, je remarquerai ce qui suit : Si le polygone Rj est symétrique, la fonctiony(;) est réelle et positive sur tovit le périmètre de ce polygone.

J'appellerai a,- le sommet de rang ('; ce sommet formera avec ('■■211+2-1 un cycle dont la s^)mme des angles sera -jj- 1 p,- étant un nomhre entier. Enfin je poserai

d'où

«1 = 0, ai=l, a„+, = x.

Pour z = a,-, les p,- — 1 premières dérivées dey'(3) s'annulent de sorte que le développement dej(s) est de la forme

/(i) = a,- + 6, ( 5 - o!,)Pv -hbilz — a, )P.-^' -t-. . . .

Pour z = a,,^, , /(s) est un infini d'ordre pn+i , de sorte que le développement de f(z) est de la forme

(- — a«+i)P"+' (3 --a„+, )P"+.+i Nous avons vu que si l'on pose

" = 1/51' la fonction v ainsi définie satisfait à une équation

{ibis) __ = p<p(a:),

'f{x) étant rationnel en .r. Quelle est ici la forme de la fonction cs(ar)? On trouve

aisément :

Q(a;) étant le produit (t — a,) (x — aj) ... (x — a„) et P(a-) étant un polynôme en X de degré 2« — 2.

Le polynôme P(a?) doit snlisf.iirç aux conditions suivantes :

Nous désignons par la nolaliou (Vf.r) la dérivée de Q(.t). De plus, le cocflicient de X^"~'^ dans P{x) doit être égal à

Voilà donc n -\- 1 conditions nécessaires auxquelles doit satisfaire le poly-

MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. ao5

nome P(a;) pour que l'équation (3 bis) soit intégrable de la façon que nous avons dite. Ces conditions ne sont pas suffisantes. En effet, le poljnonie i'(x) étant de degré 2n — 2, il reste dans ce polynôme n — 2 paramètres arljiiraires; mais, dans ces n — 2 paramètres, qui sont des quantités complexes, je dois distinguer les parties réelles et imaginaires de telle façon qu'ils équivalent à 2« — 4 paramètres réels. Or, combien avons-nous de paramètres arbitraires dans le groupe G? Le groupe G est défini par un polygone Ro de 211 côtés. Pour définir un pareil polygone il faut, en général, f\n — 3 conditions. Mais notre polygone n'est pas quelconque : en elTel, les côtés conjugués doivent être congruents, ce qui fait n conditions; la somme des angles des divers

cycles doit être respectivement égale à -s-> -t-j •••> ô > ce ciui fait n -\- \

conditions. Il reste donc, en (oui, dans notre groupe G, 2n — 4 paramèires arbitraires. Dans notre fonction f{x)., au contraire, nous avons 211 — 4 paramètres qui restent arbitraires dans V{x); nous avons en outre, dans Q(J7), n — 2 paramètres complexes arbitraires, à savoir as, a^, ..., a,, ; cela équivaut à 2ji — 4 paramètres réels. Donc, dans la fonction '^{x), il y a 211 — 4 paramètres arbitraires de plus (jue dans le gnuipe G. Donc, pour que l'équation (3 bis) s'intègre de la façon que j'ai dite, il faut, outre les conditions énoncées plus haut, que 211 — 4 autres conditions soient remplies. Ces conditions sont transcendantes et très comiiliquées ; leur étude trouvera place dans un autre Mémoire (' ).

Supposons maintenant que l'on se donne «3, «,, ..., «„, c'est-à-dire les points singuliers de l'équation (3 bis), Q(^) ''^ra déterminé et il nous restera les 2n — 4 paramètres de ^{x). he nombre des paramètres restés arbitraires est alors précisément le nombre des conditions à remplir. Dans une question où n'entreraient que des fonctions algébriques ou des transcendantes simples, on pourrait conclure de là que l'on peut toujours disposer de ces paramètres pour satisfaire à ces conditions, et |)ar conséquent qu'?7 c'j;w/e toujours une équation de la forme (3 bis) intégrable par les fonctions fuchsiennes Seules et où les points singuliers o,, Oo, ...,rt„,«„^., sont donnés à l\wahce. Mais ici, nous ne pouvons nous contenter d'un pareil aperçu, et ce théorème, fort important, exigera une dénionslralion spéciale que je donnerai dans un Mémoire ultérieur (').

(') Sur les groupes des équations linéaires {Acta matliematica, t. IV, p. 3oi-3i2 et plus loin). N, E. N,

•io6 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNKS.

Dans k- r;is |iarl imilier oii le polygone Rq est symétrique, les points singuliers ai, o-y. ..., (1,,^, ainsi que les coefficients de P(a?), sont réels.

Dans le cas plus particulier encore où n= 2, l'équation (3 bis) se ramène aisément à Ti^qnatioii hvpergéoméirique de (^lauss. De plus, nous avons

de telle sorte que le nombre des conditions transcendantes dont il a été question plus haut est nul. Alors, pour que x soit fonction fuchsienne du rapport des intégrales, il faut et il suffit que

et que le coefficient de x- dans P(x)

P(5 ^21 Pi étant entiers.

Etudions maintenant les fonctions iliétafuclisiennes.

Soit 0(«) une fonction thétafuchsienne jouissant de la propriété caractéristique

V '(/. z + Ok/

Reprenons la fonction fuchsienne f {z) = x eX. sa dérivée f'{z), il est clair que la fonction

sera une fonction fuchsienne et par conséquent une fonction rationnelle de X. Nous avons donc pour l'expression générale des fonctions €>(s) :

F étant l'algorithme d'une fonction rai ionnelle.

Parmi les fomlions thétafuchsiennes, nous avons vu qu'il y en avait de deux espèces : les unes devenant infinies, les autres ne devenant ])as infinies à l'intérieur du cercle fondamental.

(hielle sera la forme générale de celles de la seconde espèce? L'expression (\) ne doit devenir infinie pour aucune \alcur de x. Dans ce cas V {x) ne pourra devenir infini que si -j- devient nul, c'est-à-dire si x vient en l'un des points singuliers a; = «, , x = a^, . . . , x ^ a„.

MEMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCllSIENNES. 207

Il suit de là que Ton doit avoir

dz I (x — ai)>-i(j- — a-) y*' ... (a: — ««)'■»

^p{x') désignant un polynôme d'ordre p. Exprimons maintenant que B(;;) ne devient infini ni pour a? = a, , ni pour x = a2, • ■ • , ni pour x = a„, ni pour a; = oo; il viendra

Ces /t + 1 inégalités sont compatibles.

Ces inégalités ne permettent pas de dcjiiner à p des valeurs aussi grandes que l'on veut, de sorte qu il existei'a toujours un nombre qt tel que l'on ait constamment ^ < y et que les inégalités (3) permettent à p d'atteindre la limite q — i .

Supposons le nombre m donné; le nombre q sera alors déterminé, et il est clair qu'entre q fonctions thétafuchsiennes de la seconde espèce, il y aura toujours une relation linéaire Identique.

Si l'on se rapporte à l'expression que nous avons donnée de ces transcendantes dans le paragraphe I, on verra qu'il y entre une fonction rationnelle PI (;) renfermant un nombre infini de paramètres arbitraires. Il suit de là qu'il y a une infinité de fonctions rationnelles H telles que la série tbétafuchsienne correspondante soit identiquement nulle.

Il existe donc une infinité de relations identiques linéaires entre ces séries thétafuchsiennes. Nous les étudierons plus loin.

Revenons à l'expression (2). Jusqu'ici nous avons supposé que les nombres m, X|, Ao, ... qui y entrent étaient entiers. S'ils ne l'étaient pas, la fonction définie par cette expression ne jouirait plus de la propriété fondamentale des fonctions thétafuchsiennes, mais elle pourrait rester uniforme. Pour cela il suffit que les nombres

soient entiers.

Il est clair que les n -\- i équations

m([3, — i) — X, ]3, = e,-, "'(§«+1 + 0 — SX,j3„+i= e„+i,

où les £ sont des nombres entiers donnés, fourniront toujours des valeurs pour

?.o8 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS KLCHSIP.NNES.

les X el pnur //;, c.ir ce sont des équations linéaires dont le délerniinaul n'est pas nul.

Su]i|iosiui> doue (|U(\ dans les étjual ions ("j), on donne à tous les s la valeur zéro excepté à £,( auquel (in donne la valeur i. Portons ensuite dans l'expression (2) les valeurs de m et des X tirées des équations (4) et remplaçons dans cette même expression 0^ par une constante. Nous aurons défini une fonction X* qui est lioloniorplie dans tout le cercle fondamental, el qui n'a d'autres zéros que le point a./i et les points correspondants. Tous ces zéros sont d'ailleurs simples.

Ces fondions X|,X2, . . . , X„, X,,,,.,, dont le rôle est très important, ont été découvertes par M. Halphen dans le cas particulier de n = 2. On peut trouver entre elles et a; certaines relations intéressantes. Considérons en efifet les séries X| et X„^|. Soient m, et ?n,|^., les valeurs correspondantes du nombre m. Ces valeurs seront fractionnaires.

Soit, en effet, \ une fonction uniforme quelconque susceptible d'être mise

sous la forme

, , . - V fd.r\ « __K

^^""^ \dz) (.r-«,)X.(^«,)>,...f.r-«„)>.,.'

K dési;;nant un facteur numérique. Cette fonclion n'a d'autres zéros ou infinis que les points 7.,, a..,-, . . . , a„^, et leurs correspondants. Supposons que ces zéros soient respectivement d'ordre yn '{2^ ■ ■ ■ -, y«+i ; il va sans dire que, si a,par exemple était un infini, y,- serait négatif. On aura

I — l\^\, Aj . . . A,,^, ,

K étant un facteur numérique. On aura, en particulier,

r — K. V?iY— P»+i j; — "1 Aj A„+, ,

.r-a,= K,xf'X-fr',

les K étant toujours des faclfm> nuiuc'iiipics : d'où les relations identiques

iSous avons exprimé les fonctions tbétafuclisiennes de deux manières tout à fait différentes : soit par la série (5) (§ 1), soit par la formule (i) de ce paragraphe.

Nous sa\on^ donc a iiiinri (iii il cxiNle une inliniti' d'identités de la forme

oii H et 1'" sont les aigoritlimes de deux fonctions rationnelles.

Ecrire effectivement ces identités et en particulier reconnaître dans quel cas la fonction F est identiquement nulle, tel est le problème dont il s'agit maintenant de donner une solution aussi complète que possible.

Mais, pour y arriver, il est nécessaire d'avoir recours à des considérations d'un ordre un peu différent.

Jusqu'ici nous avons toujours regardé le nuaibrc m comme positll; supposons-le maintenant entier, mais négatif. Considérons en particulier la fonction suivante :

A / , I - /dary" [/( 5) - a, |l^-,[ A ^ ) - or, |1^- ...[/(;:)- a„]V-n

'-•'' \dz) \j\ = }-f(z,)\y\z)-fyz,)\...y\z)-j\zi.)\

Je suppose que // est un entier positif ainsi que les exposants [a,, [/.j, ..., u.„ et que ces nombres entiers satisfont, ainsi que le nombre p des facteurs du dénominateur, aux inégalités suivantes :

D'après ces inégalités, la fonction A(;) ne peut devenir iniînie que si l'un des facteurs du dénominateur s'annule. Il en résulte que les infinis de cette liinclion sont tous sim[)les et qu'ils sont comjiris dans l'une des formules

Y,;, -t- 0,- Y,-2 -+- 0, '(iZp -t- 0,

où

représente une des subslilutioiis du grou|)e G. Posons

telle

sorte que

fi^

îi)+A2

3i)-l-Aj

j A,/-/'-n5,)-hA2//'-2(50-t---.+ A,,//'-=(s,.) = o,