ÉLOGE HISTORIQUE DIIENBI POINCARÉ. XLVII

l'on veut étudier l'importante question de la stabilité du système solaire. Lagrange, Laplace, Poisson avaient envisagé ce problème en purs mathématiciens : ils supposaient que les astres fussent réduits à des points, se déplaçant dans un milieu vide de toute matière. Poincaré, qui comprenait mieux que personne l'intérêt philosophique de cette belle recherche, s'en est occupé toute sa vie; mais il a reconnu que, pour résoudre le problème de la stabilité, tel que l'Univers nous le présente, il fautse placer au point de vue du physicien et tenir compte de bien des éléments qu'avaient négligés les géomètres. Dans cette discussion,- Delaunay l'a montré le premier, l'influence des marées produites par les actions mutuelles des corps célestes joue un rôle prépondérant. On pourra lire là-dessus une Notice des plus intéressantes, insérée en 1898 par notre Confrère dans V Annuaire du Bureau des Longitudes.

Ce travail sur les marées me suggère une remarque singulière, qui mettra toutefois en évidence l'universalité des aptitudes de notre Confrère. Notre division mathématique comprend, comme vous le savez, cinq sections : Géométrie, Mécanique, Astronomie, Physique, Géographie et Navigation. Il avait auparavant tous les titres pour iigurer dans les quatre premières. Son travail sur les marées venait lui donner des droits à entrer dans la cinquième.

Les leçons sur les figures d' équilibre dhtne masse /laide, que Poincaré a professées en 1900 et qui ont été rédigées par M. L. Dreyfus, contiennent l'exposé des recherches qu'il avait commencées quinze ans auparavant sur l'équilibre d'une masse fluide, animée d'un mouvement uniforme de rotation autour d'un axe, et dont les molécules s'attirent mutuellement suivant la loi de Newton. Parmi toutes les découvertes de Poincaré, celles qui se rapportent à cette belle question sont peut-être les plus populaires. Elles l'ont conduit, en effet, à des résultats précis, définitifs, bien propres à exciter l'admiration de tous ceux, et ils sont nombreux, qui s'intéressent à l'Astronomie.

Le problème était posé depuis Newton. On est conduit à en chercher

M.vm Ki.oGi; nisroiiioi e ii'ukmu I'OINCaké.

la solution lors(nr()ii vcul ilélciiuiiierla forme des planètes, en admettant, comme ou peut le supposer, qu'elles aient été fluides primitivement. Maciaurin avait montré, comme on sait, tju'une masse fluide homogène peut rester en équilibre si sa forme est celle d'un ellipsoïdede révolution; et ce résultat avait été complété par Clairaut, puis par d'Alembert et Laplace, qui montrèrent qu'à toute vitesse de rotation, pourvu qu'elle ne dépasse pas une certaine limite, correspondent deux ellipsoïdes de cette nature, et deux seulement. Lagrange, dans sa Mécaiiifji/c anolvtiquc, commence celle recherche en supposant que la forme d'équilibre soit celle dun ellipsoïde à trois axes inégaux ; mais au cours de son analyse, un raisonnement, dont il a dû lui-même reconnaître l'insuffisance, le conduit à se restreindre au cas où l'ellipsoïde est de révolution.

Un de ses continuateurs, M. de Pontécoulanl, en reprenant, dans son Exposition du Svslciiie du inonde, l'analyse de Lagrange, avait précisé beaucoup trop et déclaré nettement que l'ellipsoïde doit être nécessairement de révolution. Cette affirmation trop tranchante éveilla rallention de l'illustre Jacobi. Celui-ci, (pii était animé de l'esprit de contradiction si utile aux chercheurs, voulut étudier Ihypothèse écartée et constata, à son grand élonnement, que l'ellipsoïde ta trois axes inégaux pouvait donner une solution du problème étudié.

Pendant longtemps, nos connaissances sur ce sujet se bornèrent à celle des deux figures ellipsoïdales dont nous venons de parler, sans qu'on sût rien d'ailleurs sur les conditions de stabilité de ces ellipsoïdes. On ignorait s'il y avait d'autres formes possibles, lorsque M. Mathiessen en i8jg et, plus tard, MM. Thomson et Tait, dans la deuxième édition de leur Traité de Pliiiosoplm' nalurellr^ indiquèrent qu'aux figures déjà connues on pouvait en ajouter de nouvelles, d'une forme analogue à celle d'un tore.

Tel était l'état de la question lorsque Poincaré s'en occupa en i885 pour lui faire faire un progrès décisif. Sa méthode et ses résultats sont d'une extrême élégance. Voici comment il les a résumés lui-même ( ') :

( ' ) La oitalioii (|ui suit est eniprunlée à l'Ouviage posllmnie qui a été piil) lié celle année même par les soins de noire savant Coriespomlanl, AI. Miltag-Lefller. et qui

ÉLOGE HlSTOniQrK DHKNKl POIXCARE. \I.1X

On reconnaiL d'abord (|ue les diverses figures d'équilibre d'une niasse lluide forment des séries linéaires; dans une même série, ces figures dépendent d'un paramètre variable. Telles sont la série des ellipsoïdes de révolution el celle des ellipsoïdes de Jacobi. Mais il peut arriver qu'une même figure appartienne à la fois à deux séries dillerentes. C'est alors une /iff are d'é(]uilil>re de bifurcadon.

A chaque fiirure est attachée une suite inlinie de coefficients que j'appelle coefficients de slnbUilé, parce que la condition de la stabilité, c'est qu'ils soient tous positifs. Quand un de ces coefficients s'annule, c'est que la figure correspondante est de bifurcation.

Ainsi, si, en suivant une série de figures d'équilibre, on voit s'annuler un des coefficients de stabilité, on saura qu'il existe une autre série de formes d'équilibre à laquelle appartient la figure de Ijifurcalioji.

Mn autre résultat, c'est que les deux séries linéaires, dont cette figure fait partie, échangent leur stabilité. Si, en sui\ ant l'une des séries, on ne rencontre que des équilibres stables jusqu'à la figure de bifurcation, on n'v trouvera plus ensuite que des

est intitulé : Henri PoiîscahÉ, Analyse de ses Irm'aux scienli/ii/aes. \ oici quelques renseignements sur la genèse de cet Ouvrage.

La Notice que Poincaré a consacrée à Halphen, une des plus belles et des plus touchantes qu'il ;iit éciites, se termine par les lignes suivantes :

a. Les Notices scientifiques ([ue |)ul)lieut les candidats à l'Académie ne sont d'ordinaire que de sèches noruenclatures, et les Académiciens ne les lisent que par devoir. Celle d'Halphen, je ne crains pas de le dire, est écrite avec autant d'esjjrit ((ue de logique, et sa lecture a été un plaisir, même pour les savants adonnés à des études très différentes. »

Ces éloges que Poincaié donne ici à Halphen sont certes bien mérités. Mais c'est à lui-même qu'il aurait dû aussi les adresser. Car c'est lui, mes souvenirs sur ce point sont bien précis, qui a pris, dès i884, l'initiative de faire précéder la liste de ses travaux, d'aperçus généraux sur leur classification et sur le but ménie qu'il avait voulu atteindre. L'exemple qu'il avait donné a été suivi par Halphen, et par d'autres encore.

H y a une dizaine d'années, ^L .Mittag-Leffier avait eu l'idée de demander à (]uelques savants des Notices écrites par eux-mêmes sur leurs travaux et sur les idées générales qui les avaient guidés dans leurs recherches. Poincaré répondit à l'appel qui lui était ainsi adressé en remaniant son ancienne Notice de candidature, et c'est son manuscrit qu'a publié M. Mittag-Lefller. Ce sera un précieux document pour l'Histoire des Sciences.

L KLOl.E IIISTOHUJLK 11 llliMU l'OlNCMlK.

ligures instables. Les figures slaliU'> ;i|i|iarlleii(li uni à lanlre série. Ces principes, appliqués à divers problonies Iraitos par La|)hice, mont pernus d'en compléter la solution.

Je ne puis niieu\ résumer tous ces résultats qu'en faisant riivpolhèse suivante :

Imaginons une niasse Ihiide se contractant par refroidissement, mais assez lentement jiour rester homogène et pour que la rotation soit la même dans toutes ses parties.

Daboi d très voisine d'une sphère, la ligii re de cette masse deviendra un ellipsoïde de révolution ipii s'aplatira de plus en plus, puis, à un certain moment, se transformera en un ellipsoïde à trois axes inégaux. Plus tard, la figure cessera d'être ellipsoïdale et deviendra piriforme jusqu'à ce qu'enfin la masse, se creusant de plus en jjIus dans sa partie médiane, se scinde en deux corps distincts et inégairx (' ).

L'hj'pothèse précédente ne peut certainement s'appli(|uer au svstème solaire. Quelques astronomes ont pensé qu'elle pourrait être vraie pour certaines étoiles doubles et que des étoiles doubles dir t^pe de |3 de la L} re ])réseuleraient des formes de transition analogues à celles dont nou-» venons de parler-.

Dans un de mes Mémoires, j'ai montré qu'aucune forme d'équilibre stable n'est possible si la vitesse de rotation dépasse une certaine limite.

On |)eut faire de ce |)rinclpe une application aux anneaux de Salurrie. Clerk -Maxwell a démontré que ces anneaux ne peuvent être solides, et que, s'rls sont lluides, lerrr densité ne peut dépasser y|^ de celle de la planète. D'autre part, je démontre que, si les anneaux sont lluides, ils ne peuvent être stables que si leur densité est supérierrre au ^'|j de celle de Saturne. L'analvse semlile donc confirmer rhypothèse de M. Troiivelot, qui considère les anneaux comme formés d'une multitude de satellites extrêmement petits et ne croit pas pouvoir expli(|uer aiiliemenl certaines apparences observées.

Pour lei'iniiiof celle analyse des tiavaux astroiioiiii(jiies de Poincaré, je dois encore parler de ses Leçons sur les liypolltèses cosmog<jniqucs laites à la Sorbonne en 1910, recueillies par M. 11. Vergne el parvenues déjà à leur seconde édition. De tout temps, riiomiiie s'e^l préoccupé de ses ori}2;ines et (Je celles du inonde f)îi il est [)lacé. Son besoin de savoir

(') L'rrn d'eux se rapproche de plus en plus d'une sphère, l'autre s'allonge en forme de ))ointe.

ELOGE IIISTORIOIE II HENRI POINCABE. U

est impérieux, et lorsqu'il ne peut parvenir à une connaissance certaine par la méthode scientifique, il s'élance en quelque forte vers la vérité, il essaye de la deviner, il imagine des liypotlièses plus ou moins plausibles pour pénétrer dans le domaine qu'il ne peut conquérir par des procédés réguliers. C'est ce qui explique le succès cju'ont toujours obtenu auprès de la foule les conjectures sur la manière dont l'Univers a été formé. Le rôle du savant, quand il aborde ce genre de considérations, consiste à examiner les théories, proposées souvent par des rêveurs; à rechercher jusqu'à quel point elles sont d'accord avec leslois de la Mécanique générale; à essayer, s'il se peut, de les modifier de manière à établir cet accord. Tel est le point de vue auquel se place Poincaré.

Parmi les hypothèses sans nouibre qui ont été successivement présentées, il faut placer au premier. rang celle que Laplace a fait connaître, dès i79(J, dans VE.rposilioii du Système du l/o/^t/e. Poincaré en discute tous les points avec une pénétration et une précision admirables, en s'aidant des résultats qu'il a obtenus dans la théorie des figures d'équilibre et dans celle des marées. Malgré quelques difficultés, Ihypolhèse de Laplace demeure victorieuse; elle s'imposerait même, dans ses grandes lignes tout au uioins, si notre système solaire constituait à lui seul tout l'Lriivers. Mais depuis Laplace, nos connaissances astronomiques se sont prodigieusement agrandies. De son temps, une étoile dans le ciel n'était qu'un point sur la sphère céleste; ses deux cooidonnées, et sa parallaxe quand on pouvait la déterminer, c'est-à-dire trois constantes au plus pour chaque astre, voilà tout ce que nous donnait l'observation. C'était l'époque de l'Astronomie mathématique, qui a permis tout de même de belles découvertes et qui a pu nous renseigner notamment sur le déplacement propre de notre système solaire. Mais aujourd'hui, grâce à l'Analyse spectrale, ce ne sont plus deux ou trois constantes, c'est toute une fonction définissant ie spectre de l'étoile, C|ue nous permet d'atteindre l'observation. A côlé de l'Astronomie de position est venue se placer l'Astronomie physique, qui nous donne les renseignements les plus précieux sur la constitution chimi(jue, la composition minéralogique des étoiles et des nébuleuses ; sur les étoiles multiples, colorées et variables ; sur leur déplacement dans le ciel, sur leurs mouvements en profondeur.

LU Éi.ocK iiisToiti(,n i: Il iiknui poincariî.

ÎVous sommes au début seulement de ces études si iittrayantes, et déjà les résultats ohlemis ont suseité des hypothèses cosmofi^oniques, présentées par une foule desavants : Helmhoitz, Lord Kelvin, Sir Norman Lockyer, Schuster, Arrhenius, Kapteyn, Sée, Schiaparelli. Toute conclusion serait prématurée, et Poincaré n'en donne aucune; mais il fallait un savant tel (jue lui pour suivre, avec autantdepénétration, ces discussions qui exigent la réunion des connaissances du géomètre, du physicien et même du géologue.

J'arrêterai là, mes chers Confrères, l'analyse bien sommaire ([ue j'ai pu vous faire des travaux que Poincaré a publiés en Mathématiques pures, en Physique, en Astronomie. Ces travaux présentent une telle variété que, lorsque l'on consulte les tables de nos Comptes rendus pendant les trente dernières années, on est tenté de lui attribuer ceux même que son père, son oncle et son cousin présentaient en même temps que lui. Si je voulais être complet, il me resterait, après avoir essayé de vous faire connaître le savant, à vous présenter le philosophe. Mais je ne dois pas oublier que notre Confrère appartenait aussi à la première de nos Académies, que l'étendue de son œuvre mérite plus d'un commentateur, et je me suis promis de me limiter à ce qui ne peut être dit que devant notre (Compagnie. Sans manquer à ce dessein, je vais vous indiquer comment il fut conduit à sa Métaphysique par les études qu'il entreprit sur la Géométrie non euclidienne, lorsqu'il eut à créer sa magistrale théorie des fonctions fuchsiennes.

Ce monument qu'on appelle les « i'iléments d'Eiiclide », et qui a résisté au travail de tant de siècles, ne ressemblait pas à ces édilices où une simple couche de stuc recouvre et dissimule des matériaux inférieurs. 11 était si bien, et je dirai si loyalement construit, que chacun pouvait l'étudier dans tontes ses parties et foiinulcr toutes les criti([ues que suggérait son examen. iJ'Alembert se plaisait à dire fjue la définition de la ligne droite donnée par l'Aulide (''tait l'êcueil et le scandale de la Géométrie. Les plus grands géomètres se sont att:upi(''s suitoiil au célèbre

ÉLOGE HISTOIUQIE DIIENRI POINCABÉ. LUI

postulatum d'Euclide relatif à la théorie des parallèles, pour essayer de le démontrer. On n'ignore pas les tentatives infructueuses de Legendre; on connaît moins celles de Lagrange, mais Biot nous donne à leur égard le renseignement suivant (') :

Ligrange, tlit-il, liia un jour de sa poclie un papier qu'il lut à l'Académie et qui contenait une démonstration du fameux postulatum d'Euclide relatif à la théorie des parallèles. <-ette démonslialion reposait sur un paralogisme évident, qui parut tel à tout le monde, et probablement Lagrange le reconnut pendant sa lecture; car, lorsqu'il eut fini, il mit le papier dans sa poche et n'en parla plus. Un instant de silence universel suivit, et l'on passa à d'autres sujets.

Ce passage de Biot, un autre de Laplacedans VExposiliott du Système du Monde, nous montrent (pi'au commencement du siècle dernier les géomètres français croyaient à la possibilité d'une démonstration du fameux postulatum d'Euclide. Il n'y avait à cette époque en Europe que l'illustre Gauss, qui fi'il en possession de la vérité. Ses méditations l'avaient conduit à cette conclusion qu'en supprimant le postulatum d'Euclide et conservant les autres axiomes, on est conduit à une géométrie qui peut se développer indéfiniment sans présenter de contradiction. Gauss n'a rien publié de ses idées; mais elles devaient être retrouvées d'une manière indépendante, et presque simultanément, vers i8jo, par deux géomètres d'origine bien différente, le Russe Lobatschefsky et le Hongrois Bolyai. Kiemann devait venir plus tard créer une géométrie nouvelle, à côté de celle d'Euclide et de Gauss. 11 a eu de nombreux imitateurs, et nous comptons aujourd'hui une foule de géométries différentes, tout aussi cohérentes les unes que les autres. Ces découvertes des géomètres ont beaucoup contribué à former, je n'ose dire, à rectifier les théories des philosophes relatives à l'origine et à la formation de nos connaissances. Mais au temps de ma jeunesse, elles étaient encore combattues et contestées. Un savant modeste, Jules Hoiiel, dont lainilié m'honora et dont je conserve précieusement le souvenir, a beaucoup contribué à les faire connaître et à les répandre dans notre

(') Biot, Mélanges scienti/ifjues et liliéraires, t. II, p. 263.

LIV ÉLOGE IMSTORIOnC u'iirMU PdlNCAUÉ.

pays. D'autre paît, Belli'aiiii. ipii les introdiiisil ni Italie, où elles avaient trouvé un précurseur clans la personne de Saccheri qui vivait au wuf siècle, mais où elles rencontraient beaucoup de contradicteurs, essaya de répondre aux objections en montrant une surface, la pseudosphèrr, où la Géométrie non euclidienne se trouve en quelque sorte réalisée |iar les propriétés des géodésiqucs. La réponse n'était pas topique; car la surface de Beltrami a des limites et, en Géométrie non euclidienne, le plan et la ligne droite n'en ont pas.

(]'est M. Fi'lix Iviein qui fit disparaître ces objections en montrant, dans un beau Mémoire, (pi'une géométrie inventée par l'illustre Cayley, et dans laquelle c'est une conique, appelée l'absolu, qui fournit les éléments de toutes les mesures et permet, en particulier, de définir la distance de deux points, donne la représentation la plus parfaite, la plus adéquate, de la Géométrie non euclidienne.

D'autre part, une transformation des plus simples, connue depuis 18G4, permet de transformer la Géométrie de Cayley en une autre dans laquelle les lignes droites sont remplacées par des cercles normaux à une spiière fixe ('). C'est celte Géométrie qu'adopta Poincaré dans ses études philosophiques et dans ses travaux sur les fonctions fuchsiennes. Il sut lui donner la forme la plus saisissante, qu'on nous saura gré de reproduire.

Supposons, dil-il, lin monde renfermé dans une i;rande splièreel soumis aux lois suivantes :

La lempératuie n'y est pas nnlfornie; elle est niaxima an cenlie et elle diminne à mesure qu'on s'en éloigne, pour se réduire au zéro absolu quand on atteint la sphère où ce monde est renfermé.

Je précise davantage la loi suivant laquelle varie cette température. Soit 1^ le rayon de la sphère linjite; soil /• la dislance du point considéré au centre de cette sphère. La température absolue sera proportionnelle à H- — /-.

( ' ) ioir la Iradui'tion allemande du premier (Jn\r.ige [)lirloso|ilii((ue de l'oiiicaré : WissENSCiiAFT fXD IIvpOTHESK. Aul.orisierle (li'disclie Aiisgahc mit eildiiterndeii Aiunerl.iin;^en roii V. iiii'l L. I.i.ndimann. Zweiie Auflage. I^eip/.lg, Teubner, igofi, p. 208 et suiv.

ELOGB HISTORIQIE I> HEXRI POINCARE. LV

Je supposerai de plus que, dans ce monde, tous les corps aienl le même coefficient de dilatation, de telle façon que la longueur d'une règle quelconque soil proportionnelle à sa température absolue.

Je supposerai enfin qu'un objet transporté d'un point à un autre dont la température est dilTérente se met immédiatement en équilibre calorifique avec son nouveau milieu.

Rien, dans ces hypothèses, n'est contradictoire ou inimaginable. Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit à mesure qu'on se rapprochera de la sphère limite.

Observons d'abord que, si ce monde est limité au point de vue de noire géométrie habituelle, il paraîtra infini à ses habitants.

Quand ceu\-ci, en effet, veulent se iap|)rocher de la sphère limite, ils se refroidissent et deviennent de plus en plus petits. Les pas qu'ils font sont donc aussi de plus en plus petits ; de sorte (|a'iU ne peuvent jamais atteindre la sphère limite.

Je ferai encore une autre hypothèse, je supposerai que la lumièie traverse des milieux diversement réfringents, et de telle sorte que l'indice de réfraction soit inversement proportionnel à R- — r-. Il est aisé de voir que, dans ces conditions, les ra\ons lumineu\ ne seraient pas recliligne», mais circulaires.

Dans le milieu ainsi imaginé par Poincaré, les êtres fictifs dont il nous parle, s'ils faisaient de la géométrie, adopteraient la Géométrie non euclidienne. Les lignes droites, les rayons lumineux de la Géométrie ordinaire, seraient remplacés par des cercles orthogonaux à la sphère limite, les plans par des sphères orthogonales à cette même sphère.

Ces constatations conduisirent Poincaré à réfléchir sur les bases de la Géométrie et sur les axiomes qu'elle emploie. Pour lui, les axiomes ne sont pas autre chose que des conventions, je préférerais dire des définitions plus ou moins complètes, des éléments idéaux que notre imagination construit en s'appuyant sur l'expérience.

Les démonstrations que nous venons de rappeler montraient avec la dernière évidence qu'on peut ramener, l'une à l'autre, les deux Géomé- Irics euclidienne et non euclidienne, et qu'il ne peut se révéler dans le développement de l'une d'elles aucune contradiction (|ui n'existe aussi dans l'autre. Mais alors surgissait nécessairement une autre question. Puisque nous employons en géométrie des éléments qui, bien que sug-