PREMIÈRE DÉMONSTRATION

Considérons un cercle C avant pour centre l'origine et j)our rayon /•; concenlrique jiar cons(M|M( ni au cercle fondauiental.

Envisageons les dillerenls polygones R,- qui sont, lout enlicrement ou en partie, à l'intérieur de ce cercle.

I/e!iseiid)le de ces polygones formei.i une fl;;urc [iidygonale S ne déjK'ndant que du r.iyon /■ du cercle C. Considérons l'intégrale

\(z)'ù(z)dz

prise le long du coulour de relie figure S. Le llu'orcuie que j'ai énoncé pourra être regardé comme (h'moniré si j'établis que cette intégrale lend \cri t) quand /• lend \ers 1, c'est-à-fl ire vers le rayon du cercle fondamental.

Pour cela je vais faire voir :

1° (>ue le périmètre de S re>ie fini, ipiel (pie >oii /■;

2" <^ue le module de la fonction soii> le si^^iie / re>le plus piiil ipi'iine certaine quantité M (piaini la \,iiial)le reile sur le coiiloiir d inlégr.itioii ;

MEMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 2:i

3° Que M tend vers o quand /■ tend vers i.

En verlu du lemiiie IV du paragraphe I, le nombre des polygones R, qui sont en tout ou en partie intérieurs au cercle G est plus petit que

N = ^(e5("+>.>-(-e-2('<+>'— 2), T et X étant des quantités constantes et R étant défini par l'égalité

Donc, a Jortiuri, le nombre des côtés de S sera plus petit que 2rtJN. Considérons l'un de ces côtés appartenant à un polygone R, et soient /,■ la longueur

de ce côté, /q celle du côté correspondant de Ro ; soil cnlin ( z, -^ ^)

celle des substitutions de G qui corres[)ond à R,, on aura

II étani la plus grande valeur que puisse |)rendi-e

mod ^ — r

quand la variable ; décrit le côté Iç,.

Supposons que le polygone R„ soit tout entier contenu dans un cercle ayant pour centre l'origine et pour rayon

En verlu du lemme V du paragraphe I on aura

< e-;K+e-2R-+-2* Soit L le plus grand ciUé de Rq. Le périmo^tre de S sera plus [)elil que

2nN.H.L

ou a fortiori que

Il sera donc fini. c. q. d. f.

Nous devons évidemment supposer que x ne se trouve sur aucun des contours d'intégration. La fonction — — ^est alors une fonction rationnelle bien déterminée et ne devenant infinie pour aucune des valeurs de la variable situées sur les divers contours d'intégration. On peut donc aisément trouver une limite supérieure M| que son module ne peut dépasser.

MKMOIHE SIR LES l'ONCTlONS FlClISlIiNNIiS.

Nous pDiiinins sii|i|)oser aussi que la tuiiction A (;) ne devieut pas inlinie le lonj; du peiiiiièlrc de Ro et nous pourrons trouver une limite supérieure Mj que son module ue peut dépasser quand ; d(''erit le contour de R^. Mais on aura ideni iqueiuent

Ou en conclut que, quand ; décrit le contour de S, le module de A (5)

est plus petit que

et celui de la fonction sous le signe / plus petit que

D'ailleurs, quand /• tend vers i, M tend vers o, puisque M, et M2 sont des constantes et que H tend vers o.

Le théorème énoncé est donc démontré.