DEUXIEME DEMONSTRATION

Posons

■PIS, a) ^^ a.a^^i ( .,., g + 5,.,-2./.+i

Si, dans cette expression, on regarde z comme une constante, <!>(;,«) sera une fonction tli<'tafuchsienne de a. Supposons d'abord que z et a soient tous deux intérieurs au cercle fondamental; celte fonction thé'tafuclisienne ne deviendra infinie que pour a = z el pour les points correspondants, c'està-dire pour f{a) =:/{z). Le résidu correspondant à l'infini z = a sera égal à — V (z). On aura donc

. ^ ., ^, ir(a)]"^' ^,[/(a)] F.(.)y(^)

('"^ *^- «) = ju, -/(«) -T7(^ i,„[f(->] l/'(-)]"'

Dans celte expression (10), I''((a) désigne le proiluii suivant :

^g[/{a)] désigne un polynôme entier de degré cj en /(a) dont les coefficients peuvent être des fonctions de z.

MÉMOIRE SUIl LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 2l3

Enfin les nombres ).,î '^'■2^ • ■ -i >•■« et q iloivent satisfaire aux inégalités (3) l X,<(/i + i)(i— ^

On voit aisément en efl'et que telle doit être la forme de toute fonction thélafuchsienne de a n'admettant aucun infini distinct de l'infini a = s. En comparant les inégalités (3) et (i i), on trouve

Je me propose maintenant d'établir l'égalité (9) en montrant que G (3) est identiquement nul, c'est-à-dire de démontrer l'identité

ou bien

Nous pouvons simplifier le second membre en supposant qu'on a

X,= jjt/.

Si cela n'avait pas lieu, on multiplierait F, (a) et 9y[/(ct)] pnr [/(a) - a, 11^.-^ [/(a) -a,]H..-X,... [/(a) -«„]('■»->■..

Le degré du polynôme ^y|y (a)] serait alors augmenté, mais il resterait inférieur à^.

On peut donc toujours supposer

et, par conséquent,

tout en continuant à supposer

L'identité à démontrer se simplifie alors et s'écrit

^>.J\z)-/{z,) If'iz)]'^ 2à,f{z)-f{zi,) 6,[/(^)] [/(=)]" ■

Si nous posons maintenant

f{z)-f{z,) P représentera un polynôme &n-f[zh) dont le degré sera égal à ^ — i et ne

2l4 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FlICHSIENNES.

pourra, par conséquent, surpasser p — a. L'idenlilé à démontrer se réduit alors à

et, sous celte forme, elle est évidente en vertu des relations (7). Le théorème énoncé est donc encore démontré.

Cette seconde démonstration nous conduit tout naturellement à un théorème important relatif aux fonctions thétafuchsiennes de seconde espèce. Soit

une série où H est l'algorithme d'une fonction rationnelle n'ayant pas d'infini à l'intérieur du cercle fondamental. On a vu que celle série représente une fonction thétafuchsienne sans infini et peut être égalée à une expression de la forme

(.3) [/-(z)]^-^-Vur^'

9y, étant un polynôme de degré q — i en.f(z) et g étant le plus grand nombre entier satisfaisant aux inégalités (1 1).

Toute expression telle que (i3) peut s'exprimer linéairement à l'aide de q d'entre elles; donc toute expression telle que (12) peut s'exprimer linéairement à l'aide de q d'entre elles. Mais on j)eiil faire deux hypothèses.

Ou bien toute expression telle que (i3) peut être mise sous la forme (12) et alors toute expression telle que (12) ne peut s'expriuier linéairement à l'aide de q — I d'entre elles.

Ou bien il n'est pas possible de mettre toute expression (i3) sous la forme (12), et alors toute expression telle que (12) peut s'exprimer linéairement à l'aide de ry — i d'entre elles.

Cette deuxième liypothèse doit être rejetée.

Supposons-la, en cllet, satisfaite et soient

les q — I fonctions telles que (12), à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment linéairement.

Soient maintenant

q valeurs quelconques de z. On puuir.i toujours trouver q nombres

JIÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FLCIISIENNES. SlS'

satisfaisant aux conditions

A,e,(2,) + A5e,(32) + ...-H A, e,(;;,,) = o, A,e2(:,) + A, e2rs2) + ...+ A,ej(iy) = o,

A, ey-,(;i) + A, e,i(;:,) +. ..-H A^eç i(2,) = o. On aura alors, quelle que soit la fonction H qui entre clans l'expression (12),

Soit («,7^ ^j une substitution quelconque du groupe G; on déinonire

aisément lidenlili' suivante en reprenant la fonction <P(z,z^) définie plus haut et y faisant œ ( ; 1 =: 1 :

H(;) étant l'algorilliinc <l une fonction ivitionnelle ne devenant pas infinie à riiit('rieur du cercle fondiiiuenlal.

Posons maintenant

A(3) = S/,-Aa*(3, ;/,).

Des formules (i4) et (i5), nous déduisons

Comme cela a lieu quelle cpie soit la substitution ( ;, — ^ %\ cpi'on ail

choisie dans le groupe G, il faudrait qu'on eût

F (a;) étant rationnel en r.

Mais A(z) n'aurait que (j infinis distincts. ;,. z.,^ ■••• 'i/- Or, 11 est aisé de

voir (ju'une foncticui de la forme ( 777 ) i"' { x ) doit toujours avoir plus de

q infinis distincts.

al6 MÉMOIHE SUR LES FONCTIONS l'UCHSlENNES.

Doue riivpothèsc faite au ilôliul est absurde.

Donc toute exprossiou do la lormc (i.5) peu! Imijours ('tre mise sous la toriiic (12).

Donc toute fonction de la forme (1) peut toujours être exprimée par une série de la forme (5) (I, p. 18a), pourvu que /n > i .

Comment maintenant, étant donnée une série de la forme (5) (I), pourronsuous la mettre ellectivement sous la forme (i) ?

On donne une série &{:■) de la forme (5) du paragraphe I, et il s'agit de la mettre sous la forme

Aous connaissons d'ahord les iuliiiis de ii{~-) cL les résidus correspondants; mais cela ne suffit pas pour déterminer complètement F (ic) ; il reste dans cette fonction rationnelle un certain nombre de coeflicients indéterminés. On peut d'abord calculer un nombre suffisant de valeurs de la série ©(s) pour avoir des équations qui permettent de déterminer ces coefficients. II est plus simple d'opérer de la manière suivante. Considérons la fonction

fie Elle devient infinie, non seulement quand 0(s) est infinie, mais quand -j-

est nul, c'est-à-dire ]>our

On développera alors la série ()( z ) l-r: ) suivant les puissances croissantes

de z — a,- et l'on calculera les coefficients de toutes les puissances négatives. Quand ces coefficients seront connus, ainsi que les premiers coefficients du développement de x suivant les puissances de z — a,, la fonction 1' (a?) sera aussi connue.

Mais pour IniMver ces coclliciciils cux-mr'incs, il laul calculer un certain nombre de valeurs de la série ©(- j et de séries analogues. 11 est pourtant des cas où cette difficulté peut être évitée.

Reprenons la fonction

\dz) (yï;;-/(->jJ[/(^;-/(-,jJ...|/( -')-/'-„;!

MKMOIflE SUR LKS FONCTIONS FUCHSIENNES. ■).17

que lions avons ctu(li(''e plus liiuit ; nous avons démontré l'identité suivante :

DifTérentions cette identité 2/t+ i fois par iai)porl h z ; il viendra

^ ' i-i/i + i)'. dz"'+' Zij Ztk [/{zk)]"*^ / ijZk + p,y'^'-^" ' le second uieniljre peut s'écrire

Ileuiarquons que, m, dans le j;roupe (i, Tious axons la sul)sl il ul ion

«,.= + BA , , , ... . / — 5, ; + 3, \ Jr > nous aurons eiialoiuent la suljstitution inverse ;, — )•

Y,cH-o// " \ -(iZ — ai I

C'est-à-dire que l'expression |)récédente peut s'écrire

\ '{i^ + '^il

Le second niemhre de l'iilenlili' (i()) est donc une série de la forme (5) (I, p. c8.?); il reste à mettre le premier membre sous la forme ( i). C'est là un calcul qui ne présente pas de difficultés. J'en indifpie le résultat dans le cas de /( ^ I et dans celui de h = 2. Soil

et soient A,, A^, . . . les dérivées successives de Aj, par rapport à x. Reprenons

maintenant l'équation

(3 bis) -j-^ = ('.(pf.r),

ei >oieiil es,, 'io, ... les dérivées successives de o par rapport à x. On aura, dans le cas de /( — i ,

et, dans le cas de /; =:: 2,

-— - = (.Vj— îiAjÇ — SoAjtp, - i8.V|tp2— 4 -Vof3-l-64.V, çî-H (ij Agiff., ) ( -77 j

On peut trouver une infinité <lc relations analogues à la relation (i()) par H. V. - It. 38

>t8 MÉUOIRB SUR LES FONCTIONS FUCHSIKNNES.

ili\ers pruccdés ; piir cxcniiilc eu différenlianl ccllr relation ]>ar lapporl aux divers |iaiaiiii"lres ;,, ;2' ■ ■ ■ -i -p- ^

Je vais iiiaiutciiaiil poxT un dernier problème que je ne résoudrai que |)arliellenienl .

Considérons la série (5) (§ 1),

elle d(''|ieiid de la t'onclion rationnelle H et je la représenterai pour cette raison par la notation

Comini'iit Jdut-il choisir la fonction ntlionncUe H pour que 0 soit idcntiquetut-nl nul?

I>i solution roniplèle de ce ]m)blènie serait sans doute très compliquée; mais on peut s'aider, dans chaque cas particulier, des considérations suivantes : I" Si l'on a identiquement

on aura également

e(;, Il,+ H,) = o.

2° Si la fonction rati(jnnelle H peut se développer en une série convergente de la forme suivante :

(S) /■,H, + X2H2 + ...+ /„ll„ + ...,

où /.-, , / o, . . . , /.„ sont des coefficients constants et où H, , 112, ■ • ■ i Hh sont des fonctions rationnelles telles que

e(c, ii„) = o,

et si la série (S) est convergente toutes les fois que z est intérieur au cercle fondamental, on aura identiquement

(Hz, II) = G.

3° Si l'on a identiquement

S{z, lI) = o,

et si, (s, ^ " ', \ désignant une des substitutions de G, on pose on aura identiquement

Hiz, II,) = o.

MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. aig

En effet, posons pour abréger la se'rie (5) pourra se mettre sous la forme

e(., H) = s H[/,[/,[/r'(--)l]] [^^MZd^p^ili!]'".

Remplaçons maintenant ; pary, (s) dans l'équation identique il viendra

ce qui démontre l'identité annoncée.

4° Soit, pour reprendre les notations employées au début de ce paragraphe, OLr l'un des sommets du polygone Ro, a^. son symétrique par rapport au cercle fondamental. Une des substitutions de G s'écrira

a,, pr étant un nombre entier connu. Si nous posons

on aura identiquement

à moins que

p + m ^B o ( iimd fi,.).

En elfel, considérons les diverses substitutions (z,/)) du groupe (i, on peut en choisir une infinité

(2.<fo), (-2,?l), (^,<f2), ■.-. {S,f„), ■■■,

et de telle sorte que chacune des fonctions fi{:-) puisse être définie, d'une manière et d'une seule, par une relation de la forme suivante :

— e Pr ■

h étant un entier égal ou inférieur à [ï^. On aura alors

•iaO MlvMOlItK SUH I.KS FONCTIONS FURIISIF.ÎNNKS.

OU

Or, si l'on n'a pas

/; + m s; o (niod [i,),

on aura

On aura donc

5" Reprenons l'identilé

(9) ,(.)M.)=Vf^^|;i^.u,..:.

ou

Faisons-y successivement

Ç(C) = I et Cf(3)=--— y,

è ét.uit une quaiitid' cnnstanle extérieure au cercle fondamental, nous olitiendrons deux identités de la lorme fq).

AIulti|>iion- la premlèif par ^ j et retranchons-en la seconde : il \ iendra

en posant

-xni -(- a, (7,-a-t- g/)^-'''-^"

Y,a-<- 0, Poson-^ encore

il viendra, en dill'érenliant a /t + i loi> la relation (it)) par rap|tiirt à h,

V A/, Fi" 2/,)

Or. B(6, i;*) est une fonction l liclafniliviciiiic de b. Le preiniei' niciuhre de l'identilé ( 2« ) e-t donc une xirie <le la foriue(jj (§!)■ JNuus obtenons donc ainsi une *érie de cette fornic ipii v^{ idenl iijuciiient iiullr quand //. qui est ici la varialdc iiidi'-pendanle, rc.^lc cjli'iiauii' au cercle loudamenlal.

MÉMOIRK SIR l.ES FONCTIONS FI CIISIENNES. '221

Mais ce que nous cherchons, c'est une série de la forme (5) (§ I) qui reste identiquement nulle quand la variable indépendante reste inlrriciirc an cercle fondamental. Heureusement il est facile de passer d'un cas à l'aulrc l'osons

en elTet

On aura

a', 3', v'., o^ désignant les quantités imaginaires conjuguées de a,, |j,, ■',. o, ;

z, -^ •^\ forment un groupe <"■' conjugué

de G.

De même, en posant

on aura

«/(!>, s- dzi 'db ~ 7j T7I' jNous aurons ilrmc

en posant

^^ou^ arrl\ on? à ridenliti' suivante :

Les fonctions (-)' S(Uit des fourtioii? ihclafiicli^icnncs de ;, de sorte que nous a\ons liien une identité d<' la Idriiic cherchée. Mais le groupe des (onctions (-)' n'est pas le groupe G, mais le groupe conjugué Vj' . Passons donc du gioupe G au groupe G en changeant y' — i en — \/ — i ; il viendra

Dans celte formule. ,-^74 '^rr—ii et z', dé^i'^ient les quantités imaginaires

aaa mémoire sir les fonctions fuchsiennes.

conjuçruces de r^rr — ttt—t ft de :■/, cl l'uii a posé

de sorte que, si nous posons

nous aurons identiquement

tant que z restera intérieur au cercle fondamental. 6" Supposons qu'on ait identiquement

e(i,ll) = o, et que H dépende d'un paramètre arl)ilr,nre A; on aura ég.ilemeut

En combinant de diverses manières les six principes qui précèdent, on obtiendra une infinité de relations de la forme

■VI. — Première famille; genre quelconque.

Nous nous sommes étendus Mir les fonctions <le la première famille et du genre zéro, parce qu'elles sont les |)his simples de toutes et parce que les principes généraux, une fois démontrés dans ce cas particulier, s'étendent sans trop de peine aux fonctions de toutes les familles et de tous les genres. Nous insisterons moins sur les autres fonctions fuchsiennes et nous nous bornerons à faire connaître les parli(iilaril('> les plus remarquables qui les concernent.

Lorsque le polygone Piu, tmii ca instant de la |)rciiiière famille, n'est pas de la forme simple étudiée dans le paragraphe précédent, ou n'est pas susceptible d'y être ramené, les fonctions fuchsiennes correspmulauies sontde la première famille et de genre plus grand que zéro.

Commençons par un exemple simple. Soit un |H)lv^()iie llo de '\n rùlc's et tel que les côtés opposés soient conjugués. Tous les sommets luriiiciit al<>r> mi

MÉMOIRE SIR I.ES FONCTIONS Fl'CHSIENNES. 323

seul cycle, de sorte que la somme de tous les angles du polygone Ro est une partie aliquote de 2ti. Supposons d'abord qu'elle soit précisément égale à 2 7t. On pourra alors exprimer toutes les fonctions fuchsiennes dérivées du polygone Ro à l'aide de deux d'entre elles que nous appellerons x et y, et entre lesquelles il y a une relation algébrique

qui est de genre n.

Reprenons l'équalion (3) du paragraplie IV . Elle s'écrit

(3) g = .cp(r,^),

et l'on a identiquement

en désignant par x' , x"., x'" les dérivées successives de x par rapport à z.

Quelle est la forme de la fonction -^{x., y) ? Pour simplifier, je vais supposer que la fonction y de x définie par l'équation (i) ne présente que des points singuliers de la nature la plus simple; c'est-à-dire que toutes les fois qu'on a

^ = °' on a ou bien

fi>o ^>o

dx<°' dy^<°

[ce qui correspond, pour la courbe algébrique <^[x, y) = o, à une tangente parallèle à l'axe des y et n'ayant avec la courbe qu'un contact du premier ordre], ou bien

/ d^'\l Y fl'24/ rf2j/ ^ f/2l^^

[dTd^j ~ d^ dj^''"' f<r2^°

[ce qui correspond p<iur la courbe algébrique 'i/ (a:, ^-) = o à un point double ordinaire].

Nous supposerons en outre que, si ré(|uatiiin (1) est d'ordre r, on a, pour

X infini, /• valeurs finies et distinctes du rapport - [ce qui correspond pour la

courbe A (a?, y) =: o à /• directions asymplotiques distinctes].

Ces hypotbèses ne restreignent pas la généralité; en effet, on peut, parmi les fonctions fuchsiennes correspondant au groupe G, clioisir d'une infinité de manières les fonctions x et y de telle sorte que toutes les autres s'expriment

22i MÉMOIRE Sl'R LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

rationnellement enx et >', et ce choix peut toujours se faire de façon à satisfaire aux hypothèses précédentes.

Reprenons maintenant notre Icinclion o(a", t). Il est clair que, pour les valeurs infinies de .r, elle reste finie ; qu'elle est finie également toutes les fois que .r' n'est pas nul. Or, x' ne peut s'annuler que si l'on a à la fois

dy ' (Ix ^

Les seuls infinis de la fonction »(.r, >') sont donc les points singuliers de l'équation (i) en n'y comprenant que les points singuliers ordinaires et non les points doubles de la courbe (i).

Considérons l'un de ces infinis, et soient a, ^, y les valeurs correspondantes de x^ de y et de 5. On voit aisément que le développement àe x — a commence pir un terme en ( ; — y)-, celui de )■ — ^ par un terme en ; — y et Ton en conclut (pi'on a

/ dx \ * 3

liin(>' — p)'(-^j o(x,y) =— j (pour 37 = a, ^ = ^).

Ces conditions ne suffisent pas pour déterminer complètement la fonction (i(^x,y). Celle-ci est assujettie en outre à un certain nombre de conditions transcendantes dont l'étude approfondie fera l'objet d'un Mémoire ultérieur. Nous démontrerons de plus, dans un autre Mémoire, que si ces conditions ne sont pas remplies, mais si les coefficients de 'i{x, y) satisfont à certaines inégalités, X n'est plus, il est vrai, fonction fuchsienne de i, mais en est encore fonction uniforme (kleinéenne).

De combien de paramètres distincts dépend notre groupe G ?

Pour définir un polygone de /\n côtés, il faut 8« — 3 conditions ; mais notre polygone Rq n'est pas arbitraire. Il est assujetti à 2W + i conditions, à savoir que les côtés opposés soient congruents et que la somme des angles soit égale k 2T. Il reste donc Gn — 4 paramètres arbitraires. Mais on a vu, au paragraphe IX du Mémoire sur les groupes fuchsiens, ipi'un même groupe G pouvait être considéré comme dérive d'une infinit(' de polygones différents et, en efiiet, dans le cas qui nous occupe, on peut rem[)lacer le polygone Ro par un autre R„ ayant ses côtés en même nombre et disposés de la même manière, mais ayant pour sommet un point queJronque du plan; de sorte qu'à un même groupe G correspond une double infiniti' de polygones Ro et (jue le nombre des para-

MÉMOIRK Sln I.KS FONCTIONS FUCHSIKNNES. 225

mètres de G est de deux unités inférieur à celui des paramètres de Ru- Le groupe G dépend donc de 6n — (\ paramètres.

De combien de paramètres dépend la relation (ii? Bien entendu, je ne considère pas comme distinctes deux relations

ij(x,y) = o, '^i( ^, "', • = o,

si l'on peut passer de l'une à l'autre par une transformation uniforme, c'està-dire en remplaçant ; et y, par des fonctions rationnelles de x et de y. La théorie des fonctions abéliennes nous apprend que ces paramètres sont, pour une relation du genre », au nojnhre de 3« — 3. Mais il s'agit de 3/( — 3 paramètres complexes qui correspinulcut à i\n — 6 paramètres re'e/i ; c'est-à-dire que le nombre des paramètres dont dépend la relation (j) est précisément le même que celui des paramètres du groupe G. S'ensuit-il qu'on puisse disposer des paramètres du groupe G de telle sorte qu'on ait entre x et )' telle relation algébrique que l'on veut ? C'est ce que nous démontrerons dans un Mémoire ultérieur.

Dans le cas particulier de « =^ i , nous n'axons plus allaire à des lonctions fuchsiennes proprement dites. En ell'ct, dans les polygones curvilignes Ro, dont tous les côtés sont des arcs de cercle C(jupant orlhogonalenienl le cercle londanïental, la somme des angles est toujours plus petite que celle d'un polygone rectiligne d'un même nombre de côtés. Pour un quadrilatère, la soinine des angles devrait être plus petite que 27:. Mais ici nous avons supposé que la >oiume des angles de notre polygone curviligne de 4" côtés était précisément 2t:. Si l'on veut faire « = 1, le polygone Ro devra devenir rectiligne, le rayon du cercle fondamental deviendra infini et le quadrilatère Ro se réduira à un simple parallélogramme rectiligLic ; le groupe G se réduira alors à des substitutions de la forme ( ;, ; + a) et les fonctions fuchsiennes qui en dérivent se réduiront à des fonctions (Idiilpiciiient périodiques. C'est dans ce sens qu'on peut dire que les fond ions cUipliques sont des cas particuliers des fonctions fuchsiennes.

Suppo>ons donc /i > 1 . Le polygone Ro peut présenter différentes sortes de syniétrie. 11 peut d'abord être symétrique par rapport à un cercle coupant orthogonalement le cercle fondamental ; dans ce cas, les coefficients des fonctions 'lix,}') et cp(x, v) sont réels. Supposons maintenant qu'il soit symétrnpie p.ir rapport à un poiiii, ou (pi'il puisse être ramené, soit par un changement convenable de la variable z, soit p.ir l'application de la règle du H. P. — II. 29

m6 mémoire sur les fonctions puchsiennes.

paragraphe l\ du Mémoire sur les jjroupes fuchsiens, à être symétrique par rapport à un point : dans ce cas, l.i r<'lation (i) se ramène à la relation hjperelliptique

Mais la réciproque n'est j)as vraie.

Considérons maintenant une intégrale abt'lienne de première espèce

(4) / g(x,y)<Jx,

et remplaçons x cl y par leurs valeurs en ; ; il viendra

Js{x, y)dx =Jffi - ) J^3 = G(^),

gi zj d<''sit;nant une t'onction fuchsienne de :• et (t (s) une l'onction unil'orme de :-, holomorphe à l'intérieur du cercle l'ondamental et cessant d'exister à l'extérieur de ce cercle.

Soit ( ;, ' " '^' 1 une des substilutious du groupe fuchsien; on aura iden-

liquenienl

K,- étant lune des périodes de l'intégrale abélienne. Ainsi, h chaque 'substitution de notre groupe correspond une des périodes de l'intégrale (4).

Mais on peut se placer à un autre point de vue. Soit ab un des côtés du polygone Ro ; on aura

az

G(è) — G(<i) sera alors une des périodes de l'intégrale (4)) de sorte qu'à chaque côté de Ro correspond une de ces périodes. Si cd est le côté conjugué de ab. on aura é\ idenimenl

G(^) — G(o) = G{cj — G(</j.

Il en résulte qu'à deux côtés conjugués correspond la même périoile prise en sens contraire et qu'aux 2/i paires de côtés conjugués de notre polygone correspondra un système londamental de 2n périodes de l'intégrale (4)- Mais ces périodes ne seront pas les périodes normales.

Mais, parmi les polygones équivalents à R,,, en vertu de la règle du paragraphe IX du Mémoire sur les groupes fuchsiens, il en est un (pii jirésenteà cet

MKMOIRF. Sl'R LE'! FOMCTIONS FUCHSIRNSE». -227

cyard mit,' parliciilarité leinarqualjlc. Considérons un [)olyi;one Pi„ de in côtés dont les sommets soient, en suivant le périmètre, dans le sens positif :

«1, b,, c, , di, a.,, /'■!. 0-2, d.2, ..., a„, b„, c„, dn-

Pour plus de symétrie dans les notations, je désignerai indiflféremnient ce dernier soniniet par les lettres (/„ et </„. Je suppose que le côté ^/,,fl, soit conjugué de CiLu et que le côté a,è, soit conjugué de f/,c,-. En d'autres termes, le côté de rang 4/> + i est conjugué du côté de rang 4/* + 3, et le côté de rang 4/> + 2 conjugué du côté de rang ^\p + \. On voit sans peine que tous les sommets d'un pareil polygone appartiennent à un même cycle et que le polygone R'^ appartient au genre n. Je suppose, de plus, que la somme des angles soit égale à ait; on voit alors facilement qu'il [leut être ramené à un polygone tel que Rq par l'application de la règle du paragraphe IX.

Envisageons maintenant deux intégrales abéliennes de première espèce,

(4) f g{x,y)dx= f g{z)^dz= 0{z),

(5) Jff,(3r,y)dx=Jg,{z)~dz = G,(z).

Posons

/""' dr r'' (It

\ g{z)-rjjdz=— i g(z)-pdz= G(ai)— Gidi^i)=^ ki,

r''' dr /■''' dx

I g(z) — dz=—l g{z)-j^dz= Gibi)— Giai) = B,,

j gi(z)'-^dz = - j g,(z)'-£dz = G,(bi)-G,(ai) = b;..

Les périodes A,, B,-, A)-, B^ des intégrales (4) et (5) correspondront ainsi aux divers côtés du polygone R„.

Si, maintenant, nous prenons l'intégrale

Gi(-)«°-( = )^"'=

le long du périmètre de Pi„, cette intégrale doit être nulle, et, en développant l'intégrale, on trouve sans peine l'identité bien connue

V (A,B',- B,A',) = o, ce qui prouve que les périodes A,-, B,-, .,. sont les périodes normales,

liS MKMOIKE Sin I.KS FONCTIONS l'ITlISIENNES.

.If n'insiste pus mit ces eoiisiJéralioiis (mi montrent quel parti on pourra tirer des fonctions luclisicnnes pour l'élude tics intégrales abéliennes.

Je suppose maintenant que la somme des angles de Ro soit, non plus 2tt, mais -Q-, [i étant un entier.

^ oyons quel clianoemenl cette li\|ioilicsc appcjrtcia ilans ce qui |)récède. La relation (i) sera toujours de i;enrc // . L;i fonction œ(ar, )) jouira des mêmes propriétés que dans le cas précédent , avec cette seule dillerence qu'elle deviendra infinie pour x = a, ;)'= l>; c'est-à-dire pour les valeurs de x et de •»■ qui corresp(jndent aux somiuels du polygone Piq.

On aura alors

lini f .r — a )^ 'i{x. y ) ^ — - l i — — I ( pour x — a, y = b).

Les points singuliers de l'équation (3) sont alors ceux de la relation (i) et le point a, b.

Considérons maintenant un polygone Rq de la première famille, mais d'ailleurs tout à fait quelconque; soit in le nombre des côtés et p le nombre des cycles. Supposons que, si l'on calcule la somme des angles appartenant

aux dillereats cycles, on trouve respectivement 7—. -r- • • •' tt-' l>our le pre-

mier, le second, etc., et le y/'""' de ces cycles. Les fonctions fuclisiennes dérivées de ce polygone Ro s'ex|)riineri)nt rai ionnellemenl à l'aide de deux d'entre elles, que j'appellerai x el r et eiilrc lesquelles il y aura une relation algébrique

de genre

Soient («,, h^)', (a^, /^a), ..., (/ip, bp) les valeurs que prennent x cl y quand la variable z vient en l'un dc^ sommets du premier, du second, etc., ou tlu pièm. cycle.

J'appelle ici,di) les |)oiiil-. anal vliijucs |)oiir lesquels on a

Ty = "■ d^< "■

J'appelle (ei,Ji) les points analytiques pour lesquels on a

^ rfj> dx dy

MÉMOIRE SI:R les FONCTIONS FUCHSIBNNKS. IIÇ)

Je conserve d'ailleurs, pour la fonclioii <!^{x,r), que je suppose d'ordre r, les hypothèses faites plus haut, l^e nombre des points c,, f/, est alors

/■(r — I j -(- 2 P — (r — 1 ) ( /• — ■!) = 2/- -+- 2P — 2, et celui des points e,, J) est

L'équation (3) s'écrira

La fonction <s(.T,y), rationnelle en x et en i', de\ ient infinie : 1° Pour X := Ci, y = di] on a alors

/ dx \ ^ 3

\im{y — di)il — \ o(x,y)=— j (pour x = c,, y = d,).

2° Pour X := a/, }■ = 6,-; on a alors

I — fij limfar — a,)2 ,p( j^, ^) = ( |iniir ^ = a,, >' = 6,).

Les conditions auxquelles on doit assujettir le groupe G pour que l'on ait entre x et y une relation (i) donnée et pour que les quantités (a,-, bi) et les nombres entiers p,- aient des valeurs données sont au nombre de GP — 6 + 2p. Le nombre des paramètres dont dépend le oroupe G est aussi de 6P — 6 + 2p. Il ne s'ensuit pas immédiatement que l'on puisse disposer de ces (iP — (i + 2p paramètres de façon h satisfaire à ces 6P — (i -1- a/J conditions. Mais je démontrerai, dans un Mémoire ultérieur, qu'il en est effectivement ainsi, 'et qu'il existe toujours dpiix fonctions fuchsiennes x et y qui correspondent à un même groupe G, ent^-e lesquelles 11 y a une relation algébrique donnée

et qui, pourp systèmes donnés de valeurs (a; = rt, , ji= fet), (a; = a2, j-= 6.), ..., (x^=^ap, y ^=bp), voient leurs dérivées des [3, — 1 , pj — 1 , ..., Pp — 1 premiers ordres s'annuler (p,, jiij, ..., f>p étant des nombres entiers donnés).

Etudions maintenant les fonctions thétafuchsiennes. Leur forme générale sera

F désignant une fonction rationnelle de x et de y.

Quelles sont les conditions pour que cette fonction thétafuchsienne soit de

•23o HÉMOIRC SIR I.KS FONCTIONS FIICHSIKNNES.

seconde espèce, c'est-à-dire reste lioluiuorplie à rmlérieur du cercle loiidaiiiental. I,;i toiictioii l*'(a', )) |»i)uriM toujours s'écrire :

l*(.r, y ) fA\"'(:r — a, )h(x - a., )>....( a- — a,, )\

Al,).-,), ...,)./, élanl les plus farauds nombres entiers salisfaisaiil aux inégalités

On reconnaîtra ensuite aisément quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que la fonction (6) soit de seconde espèce :

1° La fonction rationnelle P(x,)') devra se réduire à un polynôme entier.

2° Les p(r — i) points d'intersection de la courbe A(a;,j') = o, avec les droites x = a,, a? = aj, ..., x = ap [en exceptant les points singuliers (x = aiiX "^ ^<)i (^ =^ «21 J = b-i), ..., (a? = fip.y = ft;,)] devront appartenir à la courbe P(x.,y) = o; cette dernière devra avoir un contact d'ordre "ki — i avec la courbe (}/(a?, j'):=o, aux points où cette courbe rencontre la droite x=^ai (en exceptant toujours le point singulier x = ai, y= bi).

Gela équivaut, pour le polynôme P(.r, y), à

( /• — I) (X, -F Xs H-. . . H- X,, ) = ( r — 1 )y^ X,conditions.

3" Le degré du polynôme V(^x,y) devra être au plus égal à

4° Considérons maintenant les points a? = e,-, y=^Jii c'est-à-dire les points doubles de la courbe t|;(a?, j') = o ; ils devront appartenir à la courbe P(a;, /) = o, et même (puisque m >■ i) être pour cette courbe un point double. Enfin, les deux branches de la courbe P = o devront avoir respectivement, avec les deux brandies de la courbe (Ji = o, un contact d'ordre m — 2. Cela équivaut, pour le polynôme V{x^y), à 2m — i conditions pour chacun des points iloubles x=^ Ci, y=fi^ c'est-à-dire, en tout, à

conditions.

L n polynôme de degré ^ A + m.(r — 3) d(''pend de

MÉMOIhE SUR LES FONCTIONS PUCHSIENNES. lit

paramètres. Mais, si l'on tient compte de la relation (i) et si l'on a

ce nombre se rédiiil à

r > À ^ ( rti — - 1 /■(; /- — 3 ).

Mais notre polvnoiiie est assujetti, li'une |iarl, à (/• — i)^"â, d'autre part, à ( :> m — i) — P Conditions. 11 reste donc, dans ce polynôme,

(8) V ). -f-fî/H — iWP — i)

paramètres arbilraires. Mais ce n'est là qu'une limite inférieure du nombre des paramètres arliitraires restant réellement dans notre polynôme. Car il peut se faire :

1° Que la condition (-) ne soit pas remplie. Alors, l'expression du nombre des paramètres arbitraires restant dans notre polynôme n'est plus

mais

Cette seconde expression tlillère de la première de

Il en résulte (jiic les deux expressions ne dillèrciit pas si l'on a

/ j- -+■ m{ r — 3 ) — r = — I ou — 2.

L'expression (8) ne cesse, par conséquent, de représenter le nombre des paramètres restés arbitraires ijue >i l'on a

Or, celle inégalité, jointe à w^2, /"^3, entraine les égalités suivantes :

/■=3, yx = o.

a3a MBMoihK sun i.ks fonctions kuchsibnnks.

Mais cp cas. où l'on a /■ - - '.\. I' - i, ^ A .-= o, ot où, par conséquent, tous les A sont nuls, est |iréciM''ment celui des fondions cHijUiqucs cl<int nous n'avons pas à nous occujier.

a" On peul se demander aussi si les

conditions auxquelles nous avons assu)clti notre polviioine sont toutes distinctes. \ oici couinienl on peut louriu^r la difficulté. Soit N le nondire des zéros distincts de l'expression (()); le nombre iN + i sera évidemment une limite supérieure du nombre des paramètres restés arbitraires dans cette expression. Mais cette limite |)eut encore être abaissée. En efl'et, l'expression (6) s'annule quand la variable : vient eu l'un des sommets de Ko! ce sont là des zéros qui ne sont pas arbitr.iires. Si donc N' est le nombre des zéros réellement distincts qui coïncident avec les soiumets de Ro, nous devons prendre pour notre liiuile siqx'rieure JN — JN'+i. Ce n'est pas tout. Si l'on considère une expression rationnelle en x- cl y, admettant (j zéros et (j infinis, la théorie des intégrales abéliennes nous apprend qu'on ne peut pas choisir arbitrairement les q zéros et les fj infinis, mais que la connaissance des q infinis et de q — P des zéros suffit pour di'teriiiiner les P derniers zéros. Or, les JN — iN' zéros qui restent de notre expression (()) sont ceux d<' la fonction

rationnelle

dont nous connaissons les infinis. Il en ri.'siille que iN — i\' — P d'entre eux Mifli^eiil pour deleriiii lier tous les autres cl que nous devons prendre finalement pour nul re I un île Miperieiirc A — j\' — 1' + l •

Or. Ie~ principes du jiara^iMphe III nous iloiiiienl

IV =^ : ■- =»Y'- "'2é-^^—2é'

>' \' r> -4- I =V À -i- (-im — t,(P — ,j,

c'esl-ii-tliie que nolie limite su|i('rieiire coïncide avec la limite inférieure trouvée jiliis liinl. Il y aurait exception dans le cas ^), = o, P =^ i ,

MÉUOIRE SIR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 233

c'est-à-dire dans le cas des fondions elliptiques dont nous n'avons pas à parler.

Il résulte de là que toutes les fonctions thétafuchsiennes de la seconde espèce [aussi bien celles qui peuvent s'exprimer par une série de la forme (5) (§ I), que celles qui ne peuvent s'exprimer par une pareille série] peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de^À+(2m — ii(P — i) d'entre elles.

Considérons maintenant une fonction de la forme

F désignant une fonction rationnelle en x et en )'. et cherchons quel est le

minimum du nombre des infinis distincts d'une pareille expression.

Nous supposerons que les sommets de Rq ne sont pas des infinis de notre

fonction A(5). Pour que le nombre des infinis soit minimum, il faut que celui

des zéros le soit aussi; il faut, par constMiuenl, (pie les sommets de Ro soient

des zéros d'un ordre aussi peu élevé que possible cl qu'iMi dehors de ces

sommets, il v ail aussi peu de zéros que possible. Pour réaliser cela, posons,

ce qui est toujours possible,

. / d<h\"'-^ {x — «, j>-.( ,r — <7 .,)>■. . . . ( .r — rt,,)'r -7^ )

Vk^, y) = i5 ^-^^^ .

les A étant précisément les nombres entiers définis [ilus haut. JNoiis reconnaîtrons que, pour que le nombre des zéros distincts soit un iniaimum, il faut et il suffit : i" (jue P^X'jj'') soit un polynôme entier de degré

2" que la courbe l^ = o passe partons les points d intersection de la courbe J/=o a^ec les droites x = rti, ;r = rtj, ..., x^^iip autres que les points singuliers (^x = cii, y = hi) el que les deux courbes aient en ces points un contact il'ordre )./ — i; >" enfin que la courbe P =^ o admette les mêmes points doubles que di z= o, et de façon que les branches qui se croisent en ces points doubles aient avec celles de '|i = o des conlacis d'ordre ru — 2.

En eflTet, il esl [lossiblede satisfaire à ces condiiion--. <ar \c |)ol>noine V(x.y) contient, comme on l'a vu,

rV>. ^- (m - -\r(r -3) H. P. - II. 3o

a'î4 MK.MoiRic srn i.i;s fonctions fuciisiennes.

paraiiu'tres el nous n'avons à remplir que

(/•-02x+('«-^)f('--i)('--'JJ--2PJ ronditions.

11 reste ilone

paramètres arbitraires dans notre poljnome P(.r, i). De plus, on voit aisément que, si nos conditions sont remplies, le nombre des zéros distincts, et, par conséquent, celui des infinis, est minimum, car le nombre des zéros distincts qui se confondent avec les sommets de Ro est aussi petit que possible, et il n'y a pas de zéro en deliors de ces sommets. On trouve, en appliquant la règle du paragraplie 111, (juc le nomlire minimum des infinis est

J =VX-4-(2m -2)(P — i).

Comme le polynôme P(x.y) ne dépend que de > À 4- (2m — 3)(P — i) paramètres, il s'ensuit que nos J infinis distincts ne peuvent pas être choisis arbitrairement, mais que la connaissance de J — P d'entre eux suflit pour déternainer les P autres. On ne peut donc, en général, déterminer la fonction A, de teUe sorte qu'elle ait J infinis donnés et qu'elle n'en ait pas d'autres.

()uel est le plus petit nombi'e J' tel que l'on puisse toujours déterminer la fonction A, de telle sorte qu'elle ail ,1' inlinis donnés et n'en ail pas d'autres? La fonction .\ admettra alors J' — J zéros et J' — ,1 infinis distincts de plus que les fonctions de même forme qui n'ont que .1 infinis et, par conséquent, elle contiendra 2J' — 2J paramètres de plus qu'elles, ou en tout

/}' — ii -^'^''- -+-(-iin—y)(P — \)

iiir. CM irnqihicanl .1 par sa valriii'

2 J ' — ^ y. — I -i III — 11(1' — I ) ; lin diiil diiiic a\ uir

v.J'— ^X '-('m — DXl' - i;^:.r-^-i

fij) J'ii^), 1 t-iiii — I ) I I' i^ -(- 1.

\ oilà donc la limite infciieure ciierclu'c du iiombre .1'.

MKMOrnE SUR LES FONCTIONS FICHSIEN'NES. 235

Mainteiiaiil, nous allmis [)Oiivoir résoiulre iiiio (jucslidii liiipoilaiilo qui se |)i)se toiil naliirclleiiioiil. Nous axons \ ii ijul' loiiU's les expressions de la l'orme {(>) i[iii n'ont pas d'inlinls ptiKciil s'exprimer linéairemcnl à l'aide (le^X+(a/// — 1 ) ( 1' — I) il'enlic <lles. i^es séries IJK'Iatiiciisiennes tie la lorine (5) (§ I ) el de la seconde espèce |ioii\anl lovilcs se meUre sons la forme (()), pourronl donc s'exprimer linéairemcnl à l'aide de >^), + (*•"' — i)(l' — ') d'entre elles. Mais nous ne savons pas encore si loules les expressions de la forme (()) qui n'ont pas d'infinis peuvent s'exprimer par une série (•>)(§!)• Dans le cas où il n'en serait pas ainsi, toutes les séries de la forme ( .') ) l§I) et de la seconde espèce s'expiiuieialenl linéairement à l'aide de

d'entre elles, .le vais démontrer cpie cette hypothèse est impossible.

lîn efl'et, nous avons vu, dans le paragraphe précédent (p. 2i4 et suiv.), que, si loules les séries de la forme (5) (§ l) et de la seconde espèce s'expriment linéairemenl à l'aide de q — i d'entre elles, on pourrait construire

une fond ion

V (z) représentant une fonction fuchsienne de z admettant (j inllais donnés et n'en admellani aucun autre. Donc, si rii\pollièse faite au iléhut était possible, on pourrait construire une fonction A( z) admettant

infinis dn/uirs et n'en admettant aucun aulre. Le noudn'c J' ne satisferait pas aloi-s à l'inégalité (ij), ce qui est contraire à ce qu'on a vu plus haut.

En conséquence, toute expression de la forme (6) qui n'a pas d'infinis peut se mettre sous la forme d'une série (5) (§ I) de la seconde espèce; donc toute expression de la forme ((>) avec on sans infinis, pourra se mettre sous la forme d'une série (5) (§ I) de la première ou de la seconde espèce.

Passons à une propriété importante des fonctions de la forme Afj). Ces fonctions auront toujours une infinité d'infinis; soient 5,, z^, — ;/, ... ces infinis, que nous supposerons tous sinqiles pour fixer les idées, A,, A2, .... A,les résidus correspondants. Soit ï)(;) une fonction rationnelle n'ayant pas

23(î JIKMOIHE Sl'H l.KS FONCTIONS FICIISIKNNES.

il iiiliiii> it riiili'ritMM' du (•(•r<'li' roiulaineiiliil . On ;iuim, idciil i(|iiciNenl ,

(^t'ia se ilt'inoiil rc ilc l<i inèiiic Huiiiirrc i|mc (hms le |i;MMi;i'i\|ili(' |iic(('(l('iil ;

la |)roiiiiiMi' (li''iiic)U^lr,il ion pont se r<'|i('4cr sans qu on ^ iliaLij;(' un mol; la

seconde denianderall, pour être appliquée, qu(dqiies niodilirations légères.

I^es divers termes du second incmhre de ridentilé' pi('(('(lenle penvcnl être

qiés d'une manière phis avantageuse. SoienI, fii ellel, 1/ le nombre des

nliuis ili>l iuii> de A 1^; ) ; ;, . ;25 r,, ('<'s induis : \,, \.j \,^ les i-i'sidus

eorresponduuts : nous pourrons ccrir<'

Dans celle iormule, on désijrne iiar la noialion ( ;, -^ r- I les diverses

substitutions du groupe (i. Eu diUV'renl iant la lelalion (10) 9.111 — i fois par rapport à r, on ariive à une loiinule loni ii lait analogue à la lormule (iG) du paragr.iplie pr('cé(lent. l^e ]ireTuiei' m( ndire esl une expression tle la l'orme (6) et le second mrminc es! une s(''i-ie de la loi'nu' ( '>) C^ T).

'VII. — Deuxième famille: genre zéro.

Considérons un polynôme U,, dont les sommets, au noudue de 2«, sont tous situés sur le cercle fondamental, et dont les côtés sont des arcs de cercle coupant orlIiogoualcMirnl le cercle fondajnenlal. Tous les angles de notre polygone sont donc lornu's par deux arcs de cercle tangents l'un à l'autre, et, |iar conséquent, ils sont tous nuls. Je sup])oserai que les côtés de rangy> et .i/i -+- 1 — p sont conjugués; les cycles seront aloi-s au nombre de /* + 1 , dont deux formés

d'un seul sommet, le premier du s met de rang 1; le secon<l du sommet de

rang « + 1. Les n — 1 autres cycles scronl formés de deux sonimels, à savoir des sommets de rang p el 9. n -\- 2 — p.

•T'appelle S^ la substitution (jui cbauge le côté de rang p en celui de

rang a/t + i — //..Nous aurons ain^i // snlisi m niions S, , So S„ (pii seronl

les substitutions fondamentales de noti-e groupe (•.

MKMOIRE SUR LES FONCTIONS FICHSIENNES. 287

Je (It'^liiiis fiiMiilc lf> Miljsliluli(tiis Sô, S„ [jar les égiilltés suivaiiles :

s; = s,sr', S3 = SaS,', ..., s;, = s„s„i,

el |i' ixiM', |iiim' |ilus (le syniélrip dàiis les noiatioiis,

J'apiielle iiiainli'ii ml a, le ■Miimiiel ilc raiii; /; il esl clair ([ne a, sera l'un des |)iiiiils iliiiibles (le S^. Je Mi[i|)oserai ([iie les n + i .siihslilNlio/is S',. S'^, .... S'^,^, s(t/il jHiinlioliqucs. delà ne serait pas possible si les ' // |ii)liiis a/ tilaienl clujisi.s iirhilraireiueiil sur le cercle loïKlaiiienlal. Il laiil ([u'il y ait entre eux la relal ion

(1) («2— 2l j(ai— î<3) • • .(ï2,- — '-«s;; 1 ) • • • l>2;i — «2/i-l )

= (ï,— ïj) (0(5—3:4). . .(a.j,,+ i— 3(0,, ) . . .(».?„— 0(|).

Dans ces condilions, noire polyi^one R,, esl du gtMire z(Jro el du premier ordre de la deu\i("'ine famille; notre f^roupe (i el les fondions fnchsiennes qui en di'ruenl s(uil du L;i'nre /(''m el de la deiixièiiie laiiiille. iNoiis jiourrons, comme dans le paragraplie \ , clioisir. parmi ces fonclions luclisiennes, une d'entre elles (jue i'a|)|i(dlerai ./— r/(;i, el en lonclion de la(ju(dle Idules les aiilres s'e\pi'iiiienl rai ionu(dlemenl . l'our actie\ cr de la d(''linir. p' supposerai que

l'on a

/(3(,) = o, /(ao) = i, /(x„m) = ^. .

Je p(jserai, en outre, comme dans le [laragraplie V,

d'où

Si l'on pose

(■ satislail à une ('(pialion InuMire

(3 his) -^ = c tB(a:),

'■^{x) titant rationn(d en .r. Quelle est ici la forme de la f(Uiction 0(3?)?

On trouve aisément :

Q(a;") élanl le produit ( ,r — «i) (r — a2)...(.r — a„) et P(j;) étant un poly-

•>38 MICMOIRR SUR I.KS FONCTIONS FI CIlSIFA'NrS.

imiiR' l'utior (lo dcgn'' ■\}i — ■>.. Le ixilynoinc iNr^doil siilislairc i>ii\ coiidilions >iiivanles :

el

roefficieni ilr .r'-" - ilans P(.r) = •

Ces coiulitions ne soni )ias siifHsantes pour que x soil une fonctiim f'uclisienne tlii rapport des intégrales île l'éqiialion [?ibis).\\ taul, en outre, assujettir Pfj") à ■(/( - \ conditions transcendantes.

Nous déiuontrerons, dans un autre Mciuoire, (jue Idn |Mut loujoiiis clioisir

le i;roupe G, de telle sorte que les nombres a^. a^ (t,, aient des \aleiirs

données quelconques.

Dans le cas particulier où le polygone Rq est symétrique par rapport au cercle qui joint a, à a,,^, eu coupant orlliogonalement le cercle ("ondamental, les coefficients de la l'onction rationnelle cp(iF) sont tous réels.

Si. de ]diis. Il = a, /( :; ) se réduit à la lonrl khi modulaire /. -.

NoNons commeiil --o ci)iiipiiit<'nl les lulégrales de l'équation ( .} bis) dans le voisinage de lun des points singuliers «,, a.;,^ ..-, ««■ l^es intégrales seront rêgalu'ies et logdiithmiques. pour employer les expressions de M. Fuclis el de ses disciples, i^es deux racines tie l'éijualiou déterminante seront -; lie telle sorte que les intégrales pourront se mettre sous la lorme

(', =(r — rt, )2[P,-:- Q,- logOr — a,)] et

(•,= {x— ai-y-Qi,

1*1 et ()i étant des Innctions holomorplies en X — «,-, dont la première s'annule il la deuxième ne s'annule |ias pour X = Clil'our X = ce. (in a de même

c, = 3-''(P„ + i-t-Q„+, losr), C2=a7^Q«+i,

l\+i et '-^„^i étant des fonctions lioloniorpiies en -> dont la première s'annule el la seconde ne s'annule pas pour a; = oo.

Exprimons maintenant, dans le voisinage de eliacun de ces points singuliers, z en fciiulioii de X. On devra avoir, dans le \oisinage de x =Oi,

■/.' Q, 4- |ji' [ Q, log ( 3- - o,) + I', ] '

MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNF.S. 2o9

A, [A, a', a' étant des consUuiLes coiiveiiableinenl choisies. Supposons que la

substitution S', s'écrive

el posons

ei=-«.iP'=<,-;

exprimons ensuite que z se réduit à a, pour x = rt, et suhil la substitution S', quand [og(x — rt,) se change en log(x — a,) + ■2r.\^/ — i . i\ous verrons que hi relation qui précède peut s'écrire

l",+ log(.r-«,),

l'j étant une lonelion lioloniorplie en r — «,-. On tire de là

<,= «(:- «.iP.= Q',.,

Q) étant une fonction holoaiorphe en (a? • — (li) ; le développement de O- sui\ant les puissances di' (,r — o,) commenee [lar un terme en (x — di) dont le eoelfieient ne peut jamais être nul. Ou tire de là

'!>, désignant une fonction holoiiKtrphe en A, el doijt le dévidoppement suivant les puissances de cette variable commence par un lernie du preinierdegré dont le eoellicieul n Csl jaMlai^ nul. Telle est la forme de re\|iression de x eu fonction de ; dan> le \oisinage ilii point singulier x^a,. De mcMue, tiaiis le voisinage de z- = a„^| , X =: X, on aura

•l'/i+i désignant uur lonelion lioloniorplie <mi /«^i dont le de\ (doppement su i- \ant les puissances de celle \ariable commence par un terme ^\i\ premier degré (pii n est |amais nul. On jieut encore écrire la relalion précédente sous la lorme

x = T-!— 'I'('«+i)iii+i

'I' désigiiani mie lonelion holomorphc di' /„^| ne s'annulant [>as a\ec cette

iir

variable, (^uant à la dérivée -y^, elle pourra se mettre sous une forme analogue.

a40 ME.MOIRR Sl!R I-ES FONCTIONS FUOHSIENNES.

Dans le voisinage de ; = a,-, on aura

dx I j, ■ , -.

$j. étant imc tiiiictidii liolomorplie de /, qui ne s'annule jias a\ec cette variable. De même, dans le Noisinaije de r — - a,,.^,, on aura

dx ^ 1 'HA+ij^

dz (3 — 0(„+i)- /„H-1

T' désifjnant une fonelion luiinnidiiilie de /„^| ne s'annulani pas avec cette \ariai)lo.

l'asM)n> mainlenanl à l'étude des tonclions tliétaluelisiennes.

Tiiule fonelion représentée jiar une série de la forme (5) ('^ I ) pourra loujdins se nictlre sous la forme suivante ;

dx \ >>'

F désignant ynn' fonction rationnelle de x. Mais la réciproque n'est pas vraie. Kn eflel, nous a\ons \u an |iaraj;ra|)lie 2 que toute série de la forme (;')) (§ \) peut, dans le voisinage île ; :^ a,, se mettre sous la forme

il disl;:na]it une fimcliou iiolomcuplie <le /, qui s'annule a\ee cette xariahle. Il en n'-^nlle <pu\ pour x ^= (ij, la lonellon [x — a/l"'F(,7) doit s'annuler et que, (Miaud X augmente indi'liuiinenl, ,r"'F(.r) doit tendre \ers zéro. Telles sont les condition^ in'-rrssnlrcs auxquelles doit satisiaire l'expression ( ? ) pour pouNoir représenter une sé'rie de la forme (o) (§ I).

Nous les appellerons les conditions A.

Su|)posons maintenant que la fonction (2 ) n'adnielle pas d'uilim armtcrieur du cercle fondamental. !■ (.r) devra être de la l'ormi'

(x — OiY'ix — ai)>-> ... (a,' — <i„)>»

Wix) désign^inl nu p(dvui>uie entier en ./ . Mais, à cause des condllKin- \, les nombres a,. Aj. .... ).„ sont an plus ('gaux à //( — 1 et le degré dell(./') au [dus ('•gai à n ( ni — i; — /// — 1. l'ar rmiséquent, toutes les séries tli(''tafuchsiennes de la forme (.t) (§ I) et de la seconde espèce s'cxprinicnl linéairement au moyen Aenirn — 1) — m d'entre elles.

Mais nous ne savons pas encore si toute expression de la forme (2) n'avant pas d'infini et satisfaisant aux conditions A peut se mettre sons la forme d'une série (5) (§ I); ni, par conséquent, si toutes les séries de cette forme et de la seconde espèce ne peuvent pas s'exprimer linéairement à l'aide de nijn — i) — m — i d'entre elles.

Pour reconnaître s'il en est ainsi, considérons une fonction de la forme

F désignant une foucticiii laLionnelle, et clierclions quel est le niiainuini du nombre J' de ses infinis distincts, à supposer qu'elle tende vers zvvo quand ; tend vers a,-.

?\ous pourrons écrire

^(x) et fb[x) désignant deux polynômes en ,/'. Pour que S.( z-') tende vers zéro quand z tend vers a,-, il faut et il suffit que

ne soient pas nuls et que le degré ilu miiMirali'Mr ^urpa^^e au plus de //; — i celui du iléuoruiaaleur. Or, le degré de <I>(j"j est le nombre .1' des infinis distincts de Ai z). On a donc

y -mni — Il — «t H- I .

.le dis alors ipi'il Cïl iiiipo>Mblc d'exprimer linéairement toutes les séries de la tonne (5) (§ I ) et de la seconde espèce à l'aide de 11 (in — 1) — tu — i d'entre elles; car, si cela avait lieu, on pourrait construire une fonction de la forme A(^) ayant n( m — 1) — m infinis distincts, ce qui ne se peut pas comme nous venons de le voir. On en conclura donc (comme dans les deux paragraphes précédents) que ttMite expression de la forme (a) satisfaisant aux condili(U^^ \ peut être exprimée par une série de la forme {W) (§ Ij.

La f(uiiHilc (10) du paragraphe précédent s'a[)plique aussi aux fonctions qui nous occupent. On la démontrerait comme dans les deux paragraphes précédents; la première démonstration demanderait quelques modifications légères, la seconde peut s'appliquer sans qu'on y change rien. Toutes les conséquences que nous avons déduites de cette fonnule (10) dans les deux n. P. - II. 3t

•i4a MÉMOIRE SI n LES FONCTIONS FUCIISIENNES.

paragraphes précédents, et entre autres hi t'omiule (iti) du paragraidie \ , sont encore vraies dans le cas cpii nmis occupe.

On voit aisément comnieul on étendrait les principes qui précèdent aux fonctions de la seconde et de la sixième l'amilles et de genre quelconque.

>ious pouvons donc passer à l'étude des fonctions fuclisiennes qui existent dans toute l'étendue du plan.

"VIII. — Troisième famille.

Parmi celles-ci. les plus simples sont celles de la troisième famille dont nous allons parler d'abord.

Supposons qu'on nous donne n paires de cercles [c^ et c, 'l, (c^ et c\), .... (c„etc'„).

Je suppose que ces 2» cercles soient tous extérieurs les uns aux autres, qu'ils coupent orthogonalemenl le cercle fondamental et soient, par conséquent, symétriques par rapport à ce cercle. Je suppose que l'on considère h substitutions S|, $2, . . ., S„, telles que S/, tout en conservant le cercle fondamental, change c, en c\ . Le groupe dérivé des substitutions S,- sera un groupe fuchsien G dont le polygone générateur R„ se composera de la partie du plan qui est Intérieure au cercle fondamental et extérieure aux divers cercles c et c'. Le polygone Ro aura 2/1 côtés de la première sorte, formés par les arcs des cercles c et c' intérieurs au cercle fondamental et a/? côtés de la seconde sorte formés par les arcs du cercle fondamental extérieurs aux dillérents cercles c et c' ■ Tous les sommets de 11,, sont de la troisième catégorie. Quant au polvgone R',,, symétrique de Rq [)ai- rai)porl au cercle fondamental, ce sera la partie du plan qui est extérieure à la fois au cercle fondamental et aux cercles r et c'. Le groupe G et, par conséquent, les fondions fuclisiennes qui en dérivent seront de la troisième famille el du genre /i.

1 ouïes ces fouet II m> huliMiM Mes pourront s Cxpriiner rai lonuclleinent à la nie de deux d'entre elle- que j'appellerai x et r el entre lesquelles il y aura uni' relation algébrique de genre /i

Si I on pd-e île pi 11 s

MKMOIRF Sln LES FÛNCTIOXS FUCHSIENNES. 243

la liiiictiun 1 -.ali^luiM à I ccjiial loii ( .!) du paiai;r,i|jlif l\ . à savoir :

o L'taiil lal i(jaiicl fii x cl eu }'.

Le groupe ( It ne dt-pendanl que de .!// — ! |iaramèlres n'^jls distincts, on ne |ieul en disposer de manière que la relali(^u ■l/(ir,)') =^ o soit quelconque. Coni- Ijicu, en eilel, reslc-l-il de paramètres arbitraires dans une relation algébrique de genre n

(i) ■UT,y} = o,

lorsque Ton eonvieiil de ne pas regarder comme distinctes de celte relalion celles qu'on en déduit i-n v remplaçant ,r cl y par des fonctions rationnelles de x' et de )"'. On sail qii il reste .'> n — ! paramètres ([non appelle les iiiodiilfs de la relalion ( i ) et (uii >onl pour ainsi dire des invariants à l'égard de cette relation el des op('r,ilii>ns qui eonsisicnl à v remplacer .r el )• par des fondions rationnelles de .z' et de )'• En nous pro|)osanl d'obtenir entre nos deux fonctions fuclisiennes x et )■ une relalion algébrique donnée., nous nous imposons donc .'5/; — 3 conditions complexes qui équivalent à ()/; — 6 conditions réelles. Ce uoiulire suipasse de 3« — 3 celui des paramètres tloiit nous disposons. Ainsi, le premier niembre de la relati(Ui (i) est assujetti à 3« — 3 conditions réelles; il est aisé de les lrou\er.

En ellet, on peut supposer qu'on fasse une opération qui consiste à changera en son symétrique par rapport au cercle fondamental. Cela revient à changer y/ — i en — y/ — i et k faire ensuite un changement linéaire de variable- On change ainsi Rq en R,, et réciproquement, de sorte que le groupe G et le système des fondions fuclisiennes cjui en dérivent ne changent pas. Les 3/; — 3 modules de la relalion (i) ne changent donc pas non plus. Mais quand on a changé \J — i en — y/ — i , ces modules ont dû se changer en leurs imaginaires conjugués; puis, quand on a fait un changement linéaire de variable, ils n'ont pas changé. Par conséquent, les ?>n — ?> modules de la relation (i)ne diffèrent pas de leurs imaginaires conjugués, (7.s- sotil donc réels.

Il en résulte qu'on pourra toujours choisir .r et y parmi les fonctions fuchsiennes dérivées du groupe G, de telle sorle que tous les coefficients de la relation (i) soient réels. Alors les coefficients de cp(ar, r) seront aussi tous réels.

Je suppose de plus qu'on ait choisi .r et y., ee qui est toujours possible, de

2i4 MKMOinE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

taçoil que la relation ( i) satisfasse aux ckikIiI i(iii> (jne nous avons iinjiosées à la relation l^\) (.lu |)arai;ra|iiic \ 1, au eounuencenient do ec parat^raplic (|i. :>P,3). Gela posé, la l'oneiion o[.r. y) satisfera aux conditions suivantes :

i" Quand X devu'nl uiliniiiu'Ut i;iaiul du ]ii'eMner ordre, elle de\ u'ul inlininient petite du ijuatriènic ordre;

■->" Les seuls infinis de la fonction (p(ic,j') seront les points singuliers de la tonciion y de x, définie par la relation (i), en n'y comprenant pas les points iloublcs de la courbe algébrique <h(x,y) = o. Si l'un de ces points est x = a, y = b, on aura

pour X = a, y := i).

Ces conditions qui, on le remarquera, sont les mêmes que celles que nous avions trouvées dans le premier exemple, examiné au paragraphe VI, ne suffisent pas pour d('teriniuer la fonction rationnelle a{x, y). Celle-ci est en outre assujettie à 71 condili(jns transcendantes. Voici sous quelle forme on peut présenter ces conditions transcendantes :

La fonction o(x,y) devra être choisie de telle sorte qu'en faisant décrii'e au point analytique (x,r)n cycles convenablement choisis ( correspondant à h périodes convenablement choisies d'une intégrale abélienne de jiremière espèce j g{x,y)dxu on \oie revenir les intégrales de l'équation ('.]) à leurs valeurs intiales.

Passons maintenant à l'étude des séries thélafuclisiennes

c'est-à-dire à l'étude des séries de la furiue ( h) ( § 1 j, et daboid cherchons comment il peut arriver que la fonction définie par celte série ne présente aucun infini en dehors des points singuliers essentiels.

En général, la série 0(^) admet comme infinis, ainsi qu'on l'a vu au paragraphe 111 : i" les points cori-es|)ondants du |)oint oo, c'est-à-dire les points

2" les infinis de la fonction ll( :■) et les points correspondants.

Supposons pourfixer les idées que la fonction H (:;) ne devienne infinie pour

MlhlOIRR Sun LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 24^

;iiicim des ixiinls — • — . (^iirlle est (I almrd l;i ci nul il uni pour que les paints -

ne soieiil pas des iiiiinis de (-)(';)? Pour eela, il fiiiil el il Mil'lit ipie le degré du dénouiiiiateur de la loiicticui ralionnelle Il(r) >urpas><' de >.//( unités celui du niiinéraleiir.

Considérons niainlcnanl un inrinl ri de la fonction II( ; ) elle-inènie. I)ans la

série (-)( c ). le terme

(correspondant à a,= i, 3,:=i, p,=io, v,-= o, c'est-à-dire à la substitution unité j deviendra infini pour ;=«. Pour que Q{:-) reste fini pour : = a . il laul donc (iiriin autre ternie de cette série devienne infini, de laciui que la somme de ces deux termes (qui séparément croissent indéfiniment cjuaiul ; lend vers a) tende au contraire vers une limite finie. Il faut pour cela que. pairni les infinis de II (r i, il v en ait un antre :; :=: b, tel que

■(a -h 0 ( z, — tI estant une d<'s suiist itui ions du t;i'(iiine (i. Il est clair alors nue le

"(ïî^')<ï=--|-

terme

deviendra iiilini pour : = fi. Mais il laut que la somme de ce terme el du terme H(3) reste finie pour :■ = a. Soient donc A et B les résidus de II( ; ) qui correspondent à r ;= r/ et : =2 b. On aura

II'(j) cl II|(;) étant des ('onctions ralionnelles de :; cjui restent finies pour ^ = a. On de\ra donc avoir

Telles sont les deux conditions nécessaires et suffisantes pour que & ( :■) reste fini pour ^ = a et, par conséquent, aussi pour les points correspondants.

Cela posé, voici comment il faudra s'y prendre pour construire une fonction 0(-) qui n'admette aucun infini. Prenons une fonction ralionnelle H(;) admettant 2p infinis a,, b,, rto, fcj, «3, fej, ..., rt^, bp, et ayant pour résidus correspondants A,, B,, Aj, B^, A3, B3 A^, B^.

.'4Ù MKMOIRK Sl'll LES FONCTIONS FUCH91ENNES.

■Ir Nii|i|iii-.c. ili- plus. iHi I m ail :

ai J-i- iii\ / gj ; + [ia \ ^ / ctpz-t- Pi,\

-,'1 - -H S, / \,"" -,-2 3 -H Sa / ' ' \ ' "/' - + 2,, /

(■liuil ;; >iil),-.liliil ioii> ilii i;i()U|ic ( i . J'.issii |cl I is de plus les :</; rrsidiis à ilijn\ svslriues de CDiulitioiis. 13'al)urLl

Ai-h Bi+ Aj-h B5 + + A,,+ B,, = o,

A,rt, + B, i| -h Ajna + B26., -1- . . . -H A /,«,,+ I?,, ii^, = o, A, '/■; -+- B, ù\ + Ajaj H- Ha^j + . . . + A,,aJ,+ B^,t| = o,

A, «;'"-=+ B,^;"'-îH- -H \,.aj,"'-'' + B,,t;v"-- = ■>,

piini (jiic II' (lcj;r<' (lu clLMioMiiii.ilcui- de ll|-| sui|)asse tie Mil unités celui ilu innnrT.ilciir. Ensuite

pinir que n^ et /*;, ne soient pas des infinis de &{:■)■

Ces p -\- 2ni — I condilions seront compaliMes pourvu que

el si elles sont iciuplies, la série B(-) formée à l'aide de la fonction rationnelle

n'aura aiiriin infini. Je dirai alors qu'elle est de la seconde espèce, de sorte que nous avons ici, comme dans les trois paragraphes précédents, la distinction cnlre les deux espèces de séries de ihélafuchsienncs.

Toute série de la forme 0(^), à quelque espèce qu'elle appartienne, peut se

mettre sous la forme

/dx\"',

¥(x,y) désignant une fonction rationnelle de x et de y. Celles des fonctions de la forme ( :>. ) (jiii n'admettent pas d'infinis, s'expriment linéairement, ainsi ipi'oii l'a Ml au paragTa|)lie VI, à l'aide de (a/n — i'){n — 1) d'entre elles. Il ri'sulte di; lii que toutes les séries H(z) de la seconde espèce s'expriiueiit

MÉMOIRE SlIR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 247

linéairemenl à l'aide de (27» — i)(/? — i) d'entre elles. 11 nous reste à démontrer, comme dans les trois paragraphes précédents, qu'il est impossible de les exprimer linéairemenl à l'aide de (im — i)(« — i) — i d'entre elles.

Posons, pour abréger,

q = {lin — 1) (« — i).

Supposons que toutes les séries ©(•:) de la secondeespèce puissent s'exprimer linéairement à l'aide àe q — i d'entre elles que j'appellerai (-J,, (■);,, ..., 0y i ; je vais montrer que cette hypothèse est absurde.

En ellet, choisissons au hasard 1] points, ^i, ;..? ■••• ~q\ "J'i pourra toujours trouver q nombres A,, Ao \y tels que

A, H,( ;, I -I- Ai H,i x:,) +• • --i- A,/e,( jy) = o, A, 62(^1) -h Aj 82(23) -!-■ . --1- A, e.f;,) =•■ o,

Al «.7-1 (^i) -f- AoBy-il-îj) -I-. . .-T- A,/e,,i(-i,) = o,

et, par conséquent, tels que

(5) A,8(ii)-4- AoeiJî)-!---.^- A,«(3y) = o,

©(;) désignant une série quelconque de la forme (5) (§ Ti et de la seconde espèce.

Soit p uu nombre entier plus pelil que un. Je pourrai toujours former une fonction 9/,( ; ) qui satisfasse aux conditions suivantes : elle n'admettra d'autre

inlini qiu' les points ; =; '-; ces infinis seront d'ordre .'-//( — p. Dans ces

conditions, le point r = x n'est pas un infini de notre fonction hp{z). c'est pour elle un zéro d ordre p.

Je suppose que

liin ;'' 0,, (j) = I |iour 3 = ce,

lim;-"' -'-/•[;/' 0,,(j ) — ij = i> pour :; = x.

Ces conditions ne >utfi>ciil pas pour définir complètement la lonction (!/,(;), car si Wi;"! est une séi-ie de la forme (5) (§ 1) et de la seconde espèce, 0/,(;) + 0(^) V salisliia comme Oy,(;l. iMais nous choisirons pour iiotii' fonction ^p{z) une (pielconque des si'ries de la forme ( .Vi (§1), qui satisloul aux condiiions énoncées.

Considérons une série qiielconcpic de la forme (il (§ 1) et île la première espèce

24^ MKMOIRE SUR LES FONCTIONS FlICHSIBNNES.

Suj)pûsoii> ([lU' lii purtif entière de la fonction rationnelle

z^'" H(sj se reduil à

Bo-t- 8,3 + 8,32-1-...+ B,„, 32'",

on verra aix'nieiil ([iic le |ioinl ; = x est. pour la tonction tliétatuclisienne

n-(3)-lioO„(3l-B, 6,(3) -820,(3)— ...-B2,„02,„(3),

nu zéro il'orJre 2 i>i au moins et par conséquent que cette l'onction thétaiuclisienne

ne devient |)as inlinie [lour ; := — — •

ï' Cela posé, envisageons la lonelion suivante :

Considérée coinmc fonction de ;, elle n'a d'autres inlinis que les points

'■'ï'i -+- 'fil

c'est-à-dire les points correspondants de a.

Considérée comme fonction de a, c'est une série tliétatuclisienne et elle admet comme inlinis :

1" Les points d^ 'J, c'est-à-dire les points correspondants de ;;;

a" Les points a = '-> c'esl-à-dirr les points correspondaiil> de n == x. Ces

Y' piiiiiU Miiil il<-~ inlinis d Ordre ■',/// — 1 . ( Kiaiil au pmnl a - ; x lui-inème, c'est

pnur nuire M'rir 1111 zi'to i\\\ piriiiicr ordre.

' .liereJiDii- j.i ii.ii'lir eullère de l.i Imieliiin l'at loniiclle

nous trouxeroiiN

On en coiicImI que la Innelioii I lu'la luilisieuue

Q( z,a)=z <\>( z,aj + 32'"- 1 0„(r/; + z-'"-- 0, («;+...+ 3 O,,,, ,( a ) h 'la™ i( " 1

n'admet pas comme inlinis les iioints a^^ ^•

mëmoihe sur les Fonctions fuchsiennes. 249

En conséquence elle n'aura d'autre Infini que les points

le résidu corrcspontlunt sera

Soit ( c, — ^1 une suljstilulion quelconque de nuire j;riuq)e ( i. J^i lonction

/aj-i-3 \

sei-a comme Q( ;. a) une l'onction lliétaluclisiennc de a; elle n'admettra comme

elle d'autre infini que les points

a = ^-il^ '!,- - ■+- 0,-

et avec les mêmes résidu>: donc on pourra l'Ciirc :

(6) (Yi-i-o)""-2Q^^^^-i^, «") -Qiz,a) = B[n).

B(a) désignant une l'onction tliélal'uclisienue de a. susceptible d'être mise sous la l'orme (5) (§ I) et de la seconde espèce. Posons maintenant

(7j Ai;) = A, Q( ;, c, ) -r- A.. Ui;, ;,)-^...— A../i.î{:. i^).

En rapprochant les équations (5), ((i) et (7), on trouve aisément l'identit*' suivante :

. f..-^5^-2,„-.A(li^)=Ai;),

qui a lieu pour toutes les substituticuis ( :. "^ 't ) du i;roupe ('•. II suil de là que A( ; ) |icul se mettre sous la l'orme

F(.r, V) désignant unet'onction rationnelle de .r et de )■. Or, la lonction A(;;)

admet q infinis distincts ;,. z-^ z,j. qui ont été choisis au hasard, et n'en

admet pas d'autre à dislance finie. On pourrait donc construire une lonction de la l'orme ( iS)admetlaul q inlinis doniirs et n'en admellant pas d'antre. Or, nous avons vu au paragraphe \ I qup cela était impos^ihle. Donc l'hypothèse laile au (IcIiMl riail idisurde.

îio MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

On en conclut coiiune (.laiis les trois paragraphes précédents :

i" (^)ue toutes les séries de la l'ornie (5) (^§ I) et de la seconde espèce ne peuvent s'exprimer linéairement à laide de q — i d'entre elles;

2° Que toute expression de la l'orme (2) qui n'a pas d'infinis peut se mettre sous la forme (5) (§ T) ;

IV' Que toute expression de lu forme (2) peut être exprimée par une série de la forme (5) (§ I) (pourvu que m> i) ;

4° Que toute fonction hiclisienne peut être égalée d'une infinité de manières au (piotient de deux séries de la lornie (5) (§ I).

Considérons la fonction

I dx \ '-"'

Su]>posoiis qu'elle admette une infinité d'infinis z,, :•■<. .... ;ai ■•■! avec les résidus A,, Aj, ..., A/j, Supposons de jilus qu'on ail

A, I ; ) teniianl \ers une limite Unie quand ; croît indéfiniment. On aura identiquement

(9) A(-» = B/,a''-HB/,-,;''-'-t-...+ B,c+ V ^* .

Cette identité se démontre de deux manières comme l'identité correspondante du paragraphe V.

Un cas particulier bien remarquable est celui de « = i .

Dans ce cas les substitutions du groupe G se réduisent à

'az-i-/j i,az-\-b\ ,cz -¥■ d cz -¥■ d ! ^

rt, h. c. d étant des constantes, K étant un nombre réel positif et |ilus grand que I. et l'exposant^ pouvant prendre dans les diverses substitutions toutes les valeurs entières positives ou négatives.

Voici comment on peut former les fonctioii> luehsiennes dans leca>qui nou^ occupe. Soit /V?) nne fonction doiiMement périodique admettant les périodes 21- et logK. La transcendante/ log( ". 7" ^) sera alors une fonction fuch.sienne.

MKMOIRE SIR LES FONCTIONS FUCIISIENNES. 25l

Posons, par exemple,

/, «3 -ni, /, az-\- b\ / az^b\

X = in( bi; -, . V = en log -— ; ) tin log -j ■

\ '^cz^df ■^ \ ^cz-\-dj \ ''cz-^dl

Les expressions de la forme

/ dx \ '" „

pourront s'écrire

(lo)

(az J- Oyiez -h d)'"'

y"(ç) désignant toujours une fonction doublement périodique. l^es séries &{z) de la forme (5) (§ I) deviendront d'autre part

^d, I fz + d)-'"

'ji étant l'algoritliiue d'une fonction rationnelle. Egalons les expressions (lo) et (i i) et faisons-y

az -i- b .

cz-[- d il viendra

/($) = :ùiK""'e"'lo(K'ei).

On obtient ainsi le développement d'une fonction doublement périodique de ^ suivant une série dont les termes sont des fonctions rationnelles de e^. Si au lieu de Ç, on avait pris pour variable indépendante r\ = Çy/ — i , le premier membre serait une fonction doublement périodique de r,, et, dans la série du second membre, tous les termes seraient des fonctions rationnelles de sinr, et C0S71. Nous retrouvons par une voie détournée un résultat auquel Jacobi est parvenu directement et d'où il a tii'é tant de belles conséquences.

Voyons maintenant ce que devient la formule (y) dans le cas particulier qui nous occupe.

On a

A(5) = (as-H by"-i(cz-+-d)'"-^/{i),

y (ç) étant toujours une fonction douhleiiient périodique. On a d'autre part dans le second membre : i" Va polynôme du degré h en ;; nuis il est aisé de voir que, dans le cas

■232 MÉMDIRE Sl'R I.ICS KONCTIONS FICHSIENNES.

général, ('"csl-à-dirc à iiioiii-. (jiie

le (.lt'i;ré h ne peiil (lé|>asser •xiit — a. On poul ilunn le regarder comme un polynôme iioniogcne de degré 9.in — a en (az^-b) et (^cz + d). Si on le divise par [az -f- />)'""' (es + (/)'""', il prentlru la forme suivante :

P,„( el P„,, désignant des polynômes de degré m — i en e^ et enp~^.

2" Un ensemble de termes > '\ cpi'on peut grouper de la façon suivante :

soient ;,, z-^, z^ les ij infinis distincts de A(5) et supposons qu'il i\y en ait

pas d'autre; soient A,, A.j, ..., A^ les résidus correspondants; soient ç,, Çj,

E;i, . . ., \q les valeurs correspondantes de i. Groupons ensemble tous les termes

de la forme '— qui correspondent à des infinis qui ne sont pas distincts

de ; = Zp. Leur somme sera

An > ^ ; — ^(ceV— a )"".

.^J, ( c K' e'^r — a )-"• i ei — K' eir

Gomme on a <1 autre part

{az — 6)"'-i (es -f- tl)'"-^ = e'"' -"5(ce.— n)--^'",

on trouvera |)mn- la fonction doublement |)ériodique / (ç) l'expression suivante :

/(;) = P,« .'e5) + P;„.Jc-S|

-f- 7 A,,(eeV— a)-'" > ( = — ;^ •