IX. - - Cinquième famille ; genre zéro

Je crois inutile de multiplier da\anlagc les exeinples. Ceux que j'ai étudiés jusqu'ici suffisent en efl'el pour faire voir comment on doit appliquer les principes généraux à chaque cas particulier.

.Je veux cependant, sans traiter complètement les questions qui les concernent, dire quelques mots de certaines fonctions remarquables de la cinquième famille.

UÉMOIRE SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 253

Considérons un polygone Ro limité de la façon suivante ; Il aura 211 côtés de la première sorte et un côté de la seconde sorte; je suppose que ses sommets soient, en suivant le périmètre dans le sens positif, ».(,, a,, 7.2, ..., 5t„, a„^,, a„,2, ..., ao,,. Je suppose que le côtéa„a„^, soit de la seconde sorte et les autres de la première sorte, de telle façon que les côtés a^a, et aoao,,, a, aj et ajaiXon-n 7.2 a;, et a2„,a2H-2» •■■> V+i */'+^ ^^ «aH-paan-p-i • •••! et enfin a„,a„ et "■ii+i "^-n+i 1 soient conj ligués et par conséquent congruents. Si on laisse de côté a„ et a„^,, tous les sommets seront de la première catégorie et se répartiront en n cycles fermés. L'un des cycles ne comprendra que le sommet 7.0; les autres seront formés respectivement des sommets a, et a2„, a2 et a2,,(, 7.3 et otjH-ai •••) enfin a,i, et a„^.2 ; de sorte que les angles curvilignes ao, a, H-aj,,, «2 + o'-2n i , ..., 2H t + aH+2 devnmt être des parties aliquotes de 27t. Quant aux angles a„ et a„^, , ils seront forcément droits, puisque les côtés de la première sorte a„,7.„ et a„^, a„,.2 coupent orthogonalement le cercle fondamental, dont le côté a„a„^, n'est qu'un arc. Nous construirons ensuite un polvgone R'^j symétrique de R„ par rapport au cercle fondamental. J'appellerai a', le sommet de R'„ qui est symétrique de a,- par rapport au cercle fondamental.

On voit aisément que le polygone Rq est de la cinquième famille et du genre zéro, et qu'on peut s'en servir pour définir un groupe fuchsien et une infinité de fonctions fuchsiennes. Celles-ci peuvent toutes s'exprimer rationnellement à l'aide de l'une d'entre elles que j'appellerai

Comme on peut choisir d'une infinité de manières, parmi nos fonctions fuclisiennes, une d'entre elles à l'aide de laquelle toutes les autres s'expriment rationnellement, la fonction x =J(^) ne serait pas complètement déterminée si nous n'ajoutions quelques conditions de plus.

Soient ft et y deux points du côté de la seconde sorte a„a„^, ; je supposerai

qu'on a

Je poserai ensuite

Le polygone Ro+ R,, étant symétrique par rapport au cercle fondamental, on peut voir, par un raisonnement analogue à celui du paragraphe précédent, que les nombres a, et a'^ sont imaginaires conjugués,

13a mkmoihe sir les fonctions flchsikxnes.

Posons lUiiiutenanl

la fonclion i' satisfera à une équation (lillérentielle de la forme {'.'>bis) (§I\ ) puisque le groupe fuchsien correspondant est de f;enre zéro. Cette équation, comme on le voit aisément, peut s'écrire :

(3 bis) ""''• P^'-^

dx' |Q(r,]'

Q(a;) étant le produit [x — a(,){x — a'^){x — at){x — a',), ..., (x — •a„,)(a; — «'„|) et P(jc) étant un polynôme de degré /\n — 4 en x, ayant tous ses coefficients réels.