X. — Résumé
En étudiant les exemples précédents, j'ai rencontré dillerents résultats qui sont communs à toutes les (onctions fuchsiennes. .le ne crois pas utile d'en donner la démonstration dans le cas le plus général: car elle ne différerait pas de celles que nous avons données dans les divers cas particuliers et je serais entraîné à des redites sans intérêt. .le me bornerai donc à les énoncer ici sous forme de résumé.
Formons avec une fonction ralionnelle quelconque H(:;) la série thétafuchsienne
Celle série pourra toujours se niedre sous la forme
(dr \ "'
F(x,y) désignant une fonction rationnelle de ces deux fonctions fuchsiennes a; et j', à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement et entre lesquelles il y a une relation algébrique
Pour qu'une expression de la forme (2) puisse se mettre sous la forme (i ), il faut qu'elle s'annule quand ; vient en un des sommets de la deuxième caté^ gorie du polygone Ho-
MEMOIRE SIR LES FONCTIONS Pl'CHSIRNNES.
A cette condition . toute expression de la forme (2) peut se mettre sous la forme (i) pourvu que m soit un entier plus grand que i.
Il en résulte que toute fonction fuchsienne peut se mettre d"une infinité de manières sous la forme du quotii'ul de deux séries telles que (i).
Les séries de la forme (i) sont de deux espèces : celles qui ont des infinis et celles qui n'en ont pas. Ces dernières peuvent s'exprimer linéairement à l'aide d'un nombre fini d'entre elles. Il j a donc entre les séries thétafuchsiennes de la deuxième espèce une infinité de relations linéaires.
Voici une de ces relations qui peut servir de point de dé[>art pour trouver, sinon toutes les autres, au moins un ;j;raiid nombre d'enlre elles.
Soit ( ;, — ^ j une subslitui ion quelconque du f^roupe (j. On aura identiquement
e[;, Il (3)] = 6 1";, Il /^il±-|j(Y; + S)-î'«l(-.ô^o)2"'.
Considérons maintenant une fonction de la forme suivante :
F(x, }' ) désij;nant toujours nnr lonition rationnelle et m un entier plus fjrand que I. Je suppose de plus que cette fonction s'annule quand z vient en un des sommets de la deuxième catéf;orie de Ro.
Soit q le nombre des infinis distincts de A(;); soient ;,, z^ Zq ces
infinis distincts; A,, Aj Ay les résidus correspondants; soit cb(;) une
fonction rationnelle quelconque île ; n'ayant pas d'infini à l'inférieur du cercle fondamental.
On aura identiquement
si les fonctions luilisiennes n'existent qu à I intérieur du cercle londauienlal,
i-iàis) A(a) = 'V V ^^-f^,-/. -t- 0, )-='"-!- Pu )
it = \ 1 = 0 z ^
îàfi MÉMOIRE Sllll I.liS FONCTIONS h'IlCMSIRNNES.
[P(;;) élaiil Mil |v(il\ii(uiie eiilicr en ;] si les loiiclidiis l'uclisienaes o\isleiil, cliiiis tdul \r |ilaii.
Il cil lùsultc que toute Ituullou ru<li>iciiiic peut d'une iiirinité do manières se mettre sous la forme du ijudliiiit de deux st'ries Iclles que (4) ou (4 bis).
