partie aliquote de

Ainsi, toutes les arêtes de la première sorte sont des circonférences dont le plan est perpendiculaire au plan des \r\ et d(uat le centre est dans ce plan.

Les extrémités des arêtes s'appelleront des sommets. Parmi les sommets nous distinguerons :

i" Ceux qui sont en dehors du plan des ^7), auxquels aboutissent trois ou plusieurs arêtes île la première sorte",

2° Ceux tpii sont sur le plan des Ç/,, auxqiuds aboutinint une ou plusieurs arêtes de la première sorte et deux ou plusieurs arêtes de la deuxième sorte ;

3" Il faut ajouter aussi les sommets isolés. .Si deux faces sont tangentes entre elles, le point de contact peut être en eH'et regardé comme un sommet et cependant il n'ap[)artient à aucune arête de la première sorte.

Il est clair qu'on peut remplacer, comme dans le paragraphe précédent, la région Pq par toute autre région PJ, équivalente. Je dis qu'on pourra toujours s'arranger de telle façon Cjue P'g soit un polyèdre limité par des sphères ou par des portions de sphères. Toutes les faces de la première sorte seront des sphères ou portions de sphères ayant leur centre d;ins le plan des Hv) ; toutes les arêtes seront des circonférences ou des arcs de cercle.

476 MÉMOIRE Srn LES GROUPES KLEINÉENS.

Sciirnl. ru ellel, I"' une l'ace fjuck'oiifnic de Im |ii(iiiiric sorte, F' s<i conjuguée; S la >uIin| iiul 1011 i|iii clKiiige I' en F', l'iusieurs cas sont possibles :

i" On Lien la laee F esl liinili'c |iar une arèle de la deuxième sorte, et cette arêle esl une couilie tcruK'e. On a|i]>ellera alors F, uni,' deiui-siilu'rc ijuclconque ayant son centre dans le |>lan des çy,, cl (^)o '•' iéi;ion limitée par F et 1" 1 ; la substitution S changera alors F, en une autre deiui-splière F'^ et Qo en O,,, n'gion limitée par F' et V\. I^es régions Po et l'ô= l^o — Qo+ Qo st^™nt alors é(|ui\aientes ;

2" Ou bien la l'ace F est limitée j)ar deux arêtes, dont une de la première sorte et admet deux sommets. On raisonnera de la m("uie façon: on devra seulement s'astreindre à laii-e passer la sphère F, jiar l'aièle de la première sorte, qui est une circonférence d'après ce qu'on a vu plus haut ;

3" Ou bien la face F admet plusieurs arêtes de la première sorte situées sur une même sphère 2 qui a son centre dans le plan des ^tj. Dans ce cas la sphère F, devra être la sphère S;

4" Ou bien enlin les différentes arêtes de la première sorte de la face F ne sont pas sur une même sphère ayant son. centre dans le plan des çtj. Dans ce

cas, nous pourrons partager la face F en plusieurs autres /', /', /'",

Je su])poserai, par exemple, que la face parlicdle/ n'est conliguë qu'à la face y', que y n'est conliguë qu'à /' et à /'"; / " à /'' et à /'", etc. Je supposerai que la face partielle / est séparée de la face /' |)ar une ligne a', dont les extrémités sont p' et y'; que la face /' esl séparée de la face /' |)ar une ligne a' dont les exlrémilés sont [i" et y", etc. Je supposerai que toutes les arêtes de la première sorte conleinues dans / el les sommets p' et y' sont sur une juême sphère /, ayant son centre dans le ])lan des çt) ; que les arêtes de la première sorte conlenues dans /' et les sommets p\ y', jî", y" sont sur une même sphère /"', ayant son centre dans le ])lan des çr|, ..., cl ainsi de suite. On envisagera la portion de /, limitée par les arêtes de la première sorte de/ et par l'intersection de J ^ el de/', ; la portion de/', limitée par les arêtes de la première sorte de/' et par les intersections de/', avec/, et /'j, etc. L'ensemble de ces portions de surfaces spliériqucs formera la nouvelle face F, sur laquelle on raisonnera comme plus haui .

Dans tous les cas on aura remplacé la régii^ui P,, jiar une autre éipii\alente, mais où les faces F et F' seront remplacées ))ar les faces F, et !■ , lormées de portions Ac sjilières ayant leur centre dans le plan des ^ï,. En opérant de même

sur lotîtes les faces ilc la [iremière sorte de la région P„, ou remplacera cetic rr^ion [)ar une autre équivalente dont toutes les faces île la [treniière sorte seront formées de pareilles portions de surfaces sphériques.

En résumé, nous pourrons toujours supposer que notre région 1*„ est un polyèdre dont loules les faces de la première s(ute sont des portions de sphères ayant leurs centres dans le plan des^/,. iNous Va^^^h-Wvvoiis pol)è{/ic grin'nilt'iir du groupe.

(Jn voit aisénieul (piiHi p.ireil polyèdre ne peut avoir de soDtnu't isuli' en dehors du plan des ;;r,.

Les laces de la deuxième sorte tlu polyèdre générateur Pq seront des polygones limités par des arcs de cercle, et ces arcs de cercle seront les tiaces des laces de la première sorte sur le plan des ^•f|. Ces polygones peuvent èti<' regardés comme les polygones générateurs d'un groupe kleinéen.

Supposons que notre polyèdre Po ail n faces de la deuxième sorte l'J, l-jj, ..., I""; le polyèdre homologue P, aura aussi n faces de la deuxièuie sorte Vj, If, .... F". Si lOu excepte certains jtoiiils du certaines lignes singLilières, tiiiit piiint du plan des ^r, apparlu'ul à lune des laces F, de l'un des |)olyèdres P,, cl il ne peut d'ailleurs appartenir qu'à l'une d'elles, puisque aucun point de l'esjiaee n'appartient à plus d'un polyèdre P/.

Le groupe est donc |iropremenl discontinu, même pour les points du plan des ;rj, si l'on e\ee|)t(; tou|our> les points et les lignes singulières dont il a c\v question plus haut.

Le groupe considéré est donc kleinéen.

Le plan des ^t] sera partagé en n régions Pi', R-, ..., Il"; la régiiui R* se subdivise elle-même en une infinité de polygones F^,, Fj, J't. ■■•i l'/i ••• telles que la substitution S/ change F* en F*.

Ainsi, on |i(iii pieiulre, pour polygone générateur du groupe, runr quelconque <les faces de la deuxième sorte ilii polvèdre générateur, c'est-à-dire un des polygones ayant pour cêités les cercles qui ont même centre et même rayon que les sphères qui lormcnt les faces de la première sorte de ce polyèdre.

La réciproque n'est pas vraie. Considérons un groupe kleinéen quelconque, et soit R^ l'un des polygones que l'on peut choisir pour son polygone générateur; construisons les sphères qui ont même centre et même rayon que les arcs de cercle qui servent de côtés à ce polygone et envisageons le polyèdre Pq limité par ces sphères. En général, ce ne sera pas un polyèdre générateur du

groupe. En effet, dans un polyèdre générateur, deux faces conjuguées doivent être congruenles. Or, considérons un côté quelconque bc de Ro,les côtés adjacents ab et Cf/, le côté conjugué />'c', les côtés adjacents «'^' et c' d' . Construisons les sphères S|, Sj, S3, S4, S5, Se correspondant respectivement à ces six côtés. A chaque côlé tie R„ correspondra une face de Po*. Au côté bc correspondra la portion de la surface de S| qui est limitée j>ar l'intersection de cette sphère avec S» et S3; au côté b'c' correspondra la portion de la surface de S-, qui est limitée par l'intersection de celte sphère avec S5 et Se- Ce devrait être là deux faces conjuguées de Pq; or, ces deux f;\ces ne seront pas en général congruentes.

Pour que le polyèdre Pq soit un polyèdre générateur du groupe, il faut e( il suffit que ses faces conjuguées soient congruentes, et pour cela, voici quelle est la condition nécessaire et suffisante :

Soient encore bc un côté de Rq, ab et cd les côtés adjacents, b' c' le côté conjugué, a' U et c d' les côtés adjacents. Prolongeons les cercles dont font partie ces six côtés. Soit b^ le second point d'intersection des cercles ab cl bc, et de même c,, 6',, c', les intersections respectives de bc et de cd; de a' b' et de b'c'; de b'c' et de c' d' . Le rapport anliarmonique des quatre points />, c, /^,, Ci doit être égal à celui des quatre points //, c', fc',, c\.

Parmi les polygones équivalents à Rj, qui sont en nomhre infini et qui peuvent être clioisis comme polygones générateurs, il y en a toujours qui remplissent celte condition, ])uisque tout groupe kleinéen est proprement discontinu p(uir les points non situés sur le plan des çt) et admet par conséquent un polyèdre générateur. Nous supposerons toujours que le polygone Rq a été choisi de façon à satisfaire à cette condition.

A chaque côté de Rq correspondra alors une face de P,,; à deux côtés conjugués correspondront deux faces conjuguées. A chaque sommet de Ro appartenant à un cycle elliptique correspondra une arête de P„ et aux divers sommets d'un même cycle, correspondront les diverses "arêtes d'un même cycle; à un sommet de Ro appartenant à un cycle parabolique ou hyperbolique correspondra un sommet isolé de Pq. On voit ainsi que les sommets isolés de Po se répartissent en cycles.

Je dis maintenant qu'on peut toujours supposer que Ro et par conséquent P,, n'admettent pas de cycle hyperliolique. En effet, supposons que P„admette un souiuict isoh' appartenant à un cycle hyperbolique, je dis (ju'on pourra remplacer ce polyèdre jjar un autre éipiivaleul n'admettant pas de cycle hyperbo-

MÉMOIRE SUR LES GROUPES KLEmÉENS. 279

lique. En effet, craprès ce qu'on a vu à la fin du paragraphe précédent, on peut toujours supposer que ce cycle hyperbolique se compose d'un seul sonimel A.

Le sommet A est un sommet isolé de Pq, c'est-à-dire qu'il est le point de contact de tleux faces de la première sorte de P„, tangentes l'une à l'autre, et que j'appellerai F et F'. Ces deux faces sont conjuguées ; car si elles ne l'étaient pas, le cycle dont fait partie A devrait contenir encore d'autres sommets. Une des substitutions du groupe, que j'appelle S, changera F en F', et elle sera hyperbolique, par liypothèse. La face F ne sera limitée par aucune arête, ou bien elle le sera par une seule arête, ou bien par plus d'une arête. Je dis d'abord qu'on peut toujours supposer que le troisième cas ne se présentera pas. En effet, s'il se présentait, on tracerait sur la face F une demi-circonférence, dont le plan devrait être perpendiculaire au plan des Çti, et qui devrait être assez petite pour être tout entière contenue dans la face F; cela est toujours possible. Cette demi-circonférence partagerait la face F en deux autres F, et F2 ; à F, contiendrait par exemple le sommet A; la face F' congruente à F se diviserait de même en deux autres F', et F^ congruentes respectivement à F, et à Fj. Le sommet A fera alors partie de deux faces F, et F', qui ne seront limitées que par une seule arête.

Supposons donc que la face F^ admette au plus une arête. Construisons une sphère (1> peu difFérente de F. Si la face F admet une arête, j'assujettirai la sphère *I> à passer par cette arête. La substitution hyperbolique S changera <I> en une autre sphère <!>', et l'on aura toujours pu choisir «I> de telle façon que ces deux sphères ne se coupent ni ne se touchent. 11 suffit pour cela que la sphère $ diffère suffisamment peu de F et que, si A et B sont les deux points doubles de la substitution S, ces deux points soient l'un intérieur, l'autre extérieur à <I>. Soit p^ la portion de l'espace comprise entre <I> et F, p'^ la portion comprise entre <ï>' et F'. La substitution S changera />, en /)'„. Le polyèdre P'„= P„ — /'o+ p'(s 6st donc équivalent à P„ ; donc il peut servir de polyèdre générateur. Mais il ne possètie plus le sommet hyperbolique A, puisque les sphères $ et <!>' ne se coupent pas.

Nous pouvons donc toujours supposer que notre polygone Rq et notre polyèdre P^ ne présentent pas de cycle hyperbolique; c'est ce que nous ferons désormais (' ).

(') Cette (lémunstration n'est pas exacte. Le polyèdre Pj n'est pas équivalent au polyèdre P„, mais à un domaine plus compliqué, formé ; i° du polyèdre P„; 2° d'un segment de la sphère

a8o MÉMOIRE Sun i.rs groupks kleinkiîns.