V. — Existence des groupes kleinéens

Sn|)|)i)S()ns un |)i)lyt'flrc gcncnUeiir l'„ salisfiiismil iiu\ cinidil ions (■iioiicées dans le [)ar,»i;r.i|)lR' |iit'ci''(liîii(, : ses laces conjiii;ia'es sont coni;rnentcs, ses arêtes de la première sorte se répartissent en cycles elliptiques, de telle façon que la somme des dièdres correspondant aux arêtes d'un même cycle soit une partie aliquote de 2tî. Le f;roupe correspondant à ce polyèdre est entièrement délinl. II reste à démontrer que ce groupe est discontinu, c'est-à-dire que les polyèdres transformés de Pq remplissent toute la partie de l'espace située au-dessus du pliin d(;s çvj et ne se recouvrent pas nuiluollemcnt.

La démonstr.ition est tout à fait la même que dans le cas des groupes fuclisiens.

Soient en cllet A un [)0int quelconque intérieur à l'„, \i un point silué au-dessus du plan des ?y, . Joignons A et B par un arc de courbe AMB ne coupant pas ce plan. Cet arc sortira du polyèdre l'o jJiir une face tie la première sorte, on pourra construire le polyèdre P(, limitrophe de Pq le long de cette face; l'arc AMB sortira de P, par une certaine face, on construira le polyèdre V-, limitrophe de P| le long de cette face, et ainsi de suite.

V^oici ce que nous avons à démontrer :

i" (hi'après un nombre fini d'opérations nn arrive à un |>olvèdre P„ à l'inlerii:ur duquel se trouve le point B;

a" Que si le point B se confond avec le puint V, tle telle façon que l'arc AAIB se réduise à un contour terme AAIA, le polyèdre P„ se eontond avec l'o.

Le [U'einiei' |)oinl s'étal)lit connue ilans la théorie des groupes iuehslens. L:i L (le laie AMB seia mif longueur linu' L,. Je dis que Cet arc ne pouir.i rencontrer qu'un noiulue lini de polyèdres P, ou, ce qui re\ ieni an inr-ni(\ un

ayant Atî pour diaiiiélrc el coupant orlliogonalenuiil le plan des Çt); 3° d'un polyèdre .situe à l'inlérieur de celle sphère et avant en A un poiiil de eiinlacl avec le polyèdre P,,.

La déiiionslralion est en dél'aul i)aree i|ue le domaine /(„ coiilienl une infinité de points lioniologues enire eux par ta sultslil ulioii li\ jn-i'l)(di<|ue, el les principes de la pai:e -'-i ne s'appliquent èvideininent pas dans ce cas.

On en conclut qu'il existe seulement des e\eles ellipU(iues el des cycles paraboliques.

noinlîrc fiai de faces F de la première sorte apparten-anl à ces polyèdres. En effet, on établit aisément les lemmes suivants :

I. On peut Iroincr un nombre entier v assez grand pour que v polyèdres V quelconques et 'i faces F quelconques ne puissent avoir d'autre point commun qu'un sommet parabolique.

II. iS't V faces n'ont pas de sommet parabolique commun et n'ont par conséquent aucun point commun . et si un arc de courbe traverse ces v faces, la L de cet arc est supérieure à une certaine limite A.

III. Tout arc qui ne rencontre pas le phtn des ;r| . ne peut traverser qu'un nombre jini de faces F ayant un somna-t parabolique commun.

[ I '*(/■ [iaraj;r,iplics 1 et \'I du Mémoire sur les groupes fiichsiens.)

Il résulte de là que, quand l'arc A^IB aura traversé -^ faces F, il ne pourra

plus Iraverscr que des faces ayant un sommet paraijolique commun, et, en vertu i\v\ lemmc III, il n'en traversera (|u'uii nombre (îni.

Le premier- point une fois démontré, le second s'élaiiiit sans peine. En effet, on voit immédiatement qu'il >uflit de le démontrer |)(uir un eontour AMA infiniment petit. Dr le tiiéorème est évident pour un pareil conto\ir, soit qu'il ne tourne pas autour d'une arête de la première sorte, soit même qu'il tourne autour d'une pareille arête, puis(pie, par iijpothèse, cette arête fait partie d'un cycle dcuit la somme des dièdres est une partie aliquote de 2—.

Pour les dét-iils de la di'monsiralion je renverrai au paragi-apbe VI du Mémoire sur les groupes fuchsiens.

Ainsi les polyèdres P, ne se recouvrent pas mutuellerrreiit ; m \\ admet une face de la deuxième sorte Ro dont les transformées sont les faces R,- des polyèdres P,, eus faces R, ne se rccouvr-ent pas non plu^ mirhiellemenl . \iusi nn[re j>(d}i;one générateur et ses transformés ne se recouvrent pas.

C'est ce point que je \oulais élalilir, et pour y parvenir- j'ai eu recours à un artifice dont je ne pouvais guère me dispenser dans le cas général : j'ai di\ passer du plan à l'espace et des polygones R aux polyèdres P. Mais si ce détour est nr-cessaire dans le cas le plus général, on peut s'en afl'ranchir dans un grand uorulir(- de c;i> particulrets ; c est ce ipie nous vernms [)lirs loin.