VI. — Classification

Parmi les groupes kleinéens, il en est qui doivent attirer particulièrement l'attention à cause de leur importance au point de vue des applications. Ce sont ceux dont les groupes fuclisiens sont des cas particuliers, de telle sorte qu'on peut passer d'un pareil groupe klelnéen à un groupe fuchsien en faisant varier d'une /V/fo// continue certains paramètres. Ce seront les groupes de lu première espèce.

Ceux de la deuxième espèce seront ceux qui ne jouiront pas de cette propriété.

On peut classer aussi les groupes kleinéens en genres. Nous définirons le genre du polygone générateur Rq comme dans le paragraphe VIII du Mémoire sur les groupes fuchsiens et le genre d'un groupe sera celui de son polygone générateur.

Voici maintenant quelque chose d'analogue à la classification en familles.

Nous classerons d'abord les polyèdres générateurs d'après le nombre de leurs faces de la deuxième sorte. C'est là, en effet, un point fort important; car si un polyèdre P^ a n faces de la deuxième sorte, le plan des ^tj se trouve divisé eu n parties, et chacune de ces parties en une infinité de polygones R, de telle façon qu'à chaque substitution du groupe corresponde vm polygone R et un seul.

Nous classerons ensuite les polyèdres qui admettent un même nombre de faces de la deuxième sorte en familles, selon qu'ils admettent ou n'admettent pas des cycles elliptiques, ou des cycles paraboliques.

Donnons le déliil dv celle classification pour le> groupes les plus importants qui sont ceux de la première espèce, en conservant aux familles les mômes numéros «jue dans la théorie des groupes fuchslens.

i" PoLYiîDRES admetta:\t deux faces de la deimIcme sorte :

Première famille. — Admettent des cycles elliptiques.

Deuxième famille. — Admettent des cycles paraindiques.

^Sixième Jamille. — Admettent des cycles elliptiques et paraboliques.

2" Polyèdres admettaint cive face de la deuxième sorte :

Troisième famille. — Polyèdres dont toutes lc^ faces de la première sorte

sont des demi-sphères complètes, ne se coupanr ni ne se touchant mulinjUemont, et qui n'admettent ni cycle elli|)tique, ni cycle paraholique.

Qua trième famille . — Admettent des cycles paraholiques.

Cinquième famille. — Admettent des cycles elliptiques.

Septième famille. — Admettent des cycles elliptiques et paraholiques.