VII. — Troisième famille

\ oici quel est le mode de f;éni'M'.ili(iu des j;r<ui|i('s de la troisième famille:

Considérons ?.« cercles (pii ne se coupent ni ne se touclieni; je siq)|)oserai, pour lixer les idées, que ces a« cercles soient tous extérieurs les uns aux autres. Le polygoiie Ru sera la portion di\ plan (pii est extérieure à la l'ois à tous ces cercles. J'appelle ces cercles (^,, Co, . . ., C„ ; C',, C',, . . ., C„. Je suppose que les cercles C, et d- soient conju<;ués. Soit S,- une substitution qui change C, en C|, et de telle façon que l'extf'rieur de C,- se change dans l'intérieur de ('/,. S, est alors une sulistltiitiou liyperholique ou loxoilromiqiu^ dont un pciiul double e>l intérieur à C, et l'autre à C .

Le groiqje dérivé des siilisi ilutions S, est ahus un groupe kleinéen de la troisième famille.

Pour dé'montrer que ce groupe est di-^continu, il n'est pas nécessaire d'avoir recours à la marche ih'tournée du paragraphe V. En eflel, construisons le polygone R, limitrophe de R,, le long de C^, c'est-à-dire le transformé de Rg !'■"' 1<' substitution S,; il sera tout entier à l'intérieur de C). L'ensemble des Jjolygones Ru et R, se compose alors de la partie du plan extérieure à la fois à4« — 2 cercles (extérieurs les uns aux autres) qui servent de côtés à ces deux polygones. Soit C* l'un de ces cercles; si l'on veut construire le polygone Rs limitrophe de Ro ou de R, le long de Q, ce polygone sera tout entier intérieur à Ca, et ainsi de suite. On voit aisément, en continuant de la sorte, que les polygones ainsi construits ne peuvent se recouvrir mutuellement, et par conséquent que le groupe est discontinu.

(Quelles sont maintenant les conditions imposées aux substitutions S,? Ces II substitutions doivent être telles qu'on puisse trouver n cercles C,, C;,, ..., C„, de telle façon que ces n cercles et leurs transformés respectifs C, , Cj, . . ., C,', soient tous extérieurs les uns aux autres. Ce ne sont là que des conditions d'inégalité; ainsi, le groupe dérivé de n substitutions est dis-

284 MÉMOIBE SUR LES GROUPES KLEINÉENS.

coiilimi, piuir\ Il que les coi'l'licii'iils (U' ces siil)>tiliiliniis siitisl'assenl à certaines inégalllés.

Paiini les îjroupes de la lioisiènie Caniille, il en est qui niéritenl une mentiiia |iailiculière. On peut supposer que le polygone Ro est syniéli-ique par rapport à un certain cercle C„f.,, de telle façon que les cercles conjugués G, et C, soient svniétri(|iics l'un de l'autre, et que toutes les substitutions du groupe puissent s'ohlenir en combinant les inversions par rapport aux cercles C| , Co, . . ., (-„. tï„,i . Nous (lirons abu's fjue le groujie est synié trique.

"VIII. — Deuxième famille.

Supposons que in cercles Ci, (Jo, ..., Cj„ soient situés de telle sorte : i" qu'ils soient tous extérieurs les uns aux autres; 2° que le cercle C, touche extérieurement les cercles Cj) et G,,, ; >" que le cercle Co» touche extérieurement les cercles Ca,,.) et Ci- Appelons A,- le point de contact des cercles C,i et G,- et A, le point de contact des cercles Gon et G,, l^e plan se trouve divisé en trois parties : 1° le polygone Ro extérieur à chacun des cercles G et intérieur à la ligure formée par l'ensemble de ces cercles; ce sera notre polygone générateur; 2° le polygone R'^, extérieur à la lois à tous ces cercles et à la ligure formi'c par leur ensciidiic; !" riilin I inh'iieur des divers cercles C.

Si nous formons le polyèdre générateur l'o, ce polyèdre ]>résenleraa« faces de la première sorte lormées par les surlacts des sphères qui ont même centre et même

rayon que les cercles G; deux faces de la deuxième sorte qui seront les polygones Rj et R^ et >.n sommets isolés A|, Ao, ■■., A^,,. Je supposerai que les faces G| et Gan+i-/ sont conjuguées et (jue le polyèdre admet n + 1 cycles paraboliques, formés respectivement des sommets A,; Ao et A^,,: ■-.: A,-

el Ain+i-i', ■■■'■ A„ ol A,,^,: A,,^,. Cela -uiiiiosc (|iiu nous avons enlre les sonimels A la relation

(A2— A,)(Ai — A3)...(A2^-A2„,) = -(A3-A.,)(A,— A;)...(A,-Ao„).

Ici, comme dans le paragraplie précédenl, la disconlinuilé du groupe peuL se démontrer directement, sans qu'il soit besoin de recourir à larliflce du paragraphe \' . On vdil ([uc le plan se décompose en tlcux domaines D et D'; le iiiemlcr est recouvert par le polygone Ro et ses transformés, le second par le polygone R'(, et ses transformés. Ces deux domaines suiil s('parés par une ligne L, si l'on peut appeler cela une ligne.

Supposons que l'on ait construit un certain nondjrc de polygones Rq, R,, ..., R„ et les polygones correspondants R'„, R',, ..., R,',. On sera certain : 1" que tout piiinl rai>ant jiartie de l'un des polygones R appartiendra au ddiiiaine D; 2° que tout point l'aisanl partie de l'un des polygones R' appartiendra au domaine l)'; .J°quc tout soauuel de l'un des polygones R appartient à la ligne L.

Les sommets des divers polygones 11 torment ei/ie uneiidliche PunlUmenge ( ' ) P, et pour obtenir la lign<' L, il faut ajouter à celle PuuAtineiige son crslc Ablritang 1". On voit que la ligne L est eine perjecle und zusaniincnhâii i^eiidc Piiii/, linengi^. G'e^l dans ce sens que c'est une ligne. Mais nous alhms voir qu'elle ne jouit pas de toutes les propriétés que nous sommes habitués à attribuer aux lignes.

Cherchons d'abord si cette ligne possède une tangente. A ce point île \ue nous devons distinguer les points de la Punhlmenge P el ceux qui appartiennent à son {bleilinig I" sans appartenir à P. Envisageons d'abord un point de P; je dis qu'en ce (loint il y aura ime tangente. D'abord nous pouvons supposer que ce point est un sommet de Ro, car rien ne distingue Ro des autres polygones R,-; nous pouvons supposer que ce point est précisément A,, car ce qui distingue A) des autres sommets dcRo, c'est que le cycle dont fait partie A, ne contient pas d'autre sommet; or nous avons vu à la fin du paragraphe III que l'on peut toujours supposer qu'un cycle donné ne se compose que d'un seul sommet. Le groupe envisagé contiendra alors une certaine substitution parabo-

( ') Pour le sens précis dos diverses expressions allemandes que je vais employer, voir G. Cantor : Griindlagen eiiier allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig, Teubner, i883. Voir aussi la iraduction française de ce Mémoire : Acta malhematica, t. 2, p. 38i-4o8.

lique S qui ;iur.i A, |i()iii' |iiiial (loiil)le. SdiI

— Al s ^ A

cette siibslitiition. Soit IN un tel point que

arg(N — A, ) = — arg/(.

Joignons A,N, je dis que A, N sera tangente à noire ligne L. \ oici ce que j "entends par là. Supposons que p et to soient les coordonnées polaires d"un point de L en prenant A, ])ourpôlc et A|Npouraxe polaire; je dis que, quand 0 tendra \ers zi'ro, w tendra vers z(''ni, de telle laçon que A|]\ sera la llniile d'une sécante A| B, de la llf;n<' L, lorsque le point B, se rapproclieia indéfini ment de A, .

Pour démontrer cela, je vais construire deux cercles K et K' se touchant extérieurement en A, et tangents tous deux à A,N. Je choisirai le cercle Iv de telle façon qu'il coupe les côtés A, Aj et A,A2„ du polygone Ro et ne coupe aucun autre C(~>té de ce polygone. De même, le cercle K' devra couper les côtés A, Ao et AiAo» du polygone BJj et ne couper aucun autre côté de ce polygone. Soient l'o la partie de Ro qui est intérieure à K et /'„ la partie de R'„ qui est intérieure à K'. Il est clair que les transformés successifs de /'o par les puissances positives et négatives de la substitution S rempliront tout ce cercle K, de sorte que ce cercle fait tout entier partie du domaine D. De même le cercle K' fera tout entier partie du domaine \)' . 11 en rébulte que la ligne L est tout entière dans la portion du plan extérieure à la fois aux deux cercles K et K.'. Cela suffit pour démontrer le théorème énoncé.

Toutefois, la ligne A| N ne jouit pas des mêmes propriétés que les tangentes aux lignes ordinaires. On voit aisément, en effet, que si l'on joint par une droite BC deux points B et C de la Pi(iiAtineiii;e P, et que l'on fasse tendre B et G simultanément vers le point A,, la limite de la droite BC n'est pas en général la tangente A,N. Considérons, en effet, deux points Bq et Cq de la Pi/nklmenge P, choisis de telle sorte que le cercle A, BoC„ ne soit pas tangent à A, N. Considérons les transformés successifs B,C|, BoC^, ..., B^G,, de BqCo par les puissances positives de S. Quand ii croîtra indéfiniment, B„ et C„ se rapprocheront de A, et l'angle de B^C,, avec A, N tendra vers une limite finie. De plus, j'ai tout lien de croire qu'il n'y a pas de tangente aux ])i)iiils de L qui ne tout uas p^irtie de i*.

.le dis maintenant que la ligne L n'a pas de cercle osculateur. Je dis que si l'on mène un cercle A tangent en A| à la droite A| ]N et passant par un poinl B, de L, ce cercle ne tendra pas vers une limite déterminée lorsque le point B, se rapprochera du point A,. Menons, en effet, deux cercles k' et k" tangents tous deux en A, à la droite A|]\ et passant respectivement par deux points B^ cl B^ de la ligne L. Soient B', , B,, •••, B,', les transformés successifs de B'„ par les puissances de S. Ils seront tous sur k' et deviendront infiniment rapprochés de A, quand n deviendra infini.

Donc si le cercle osculateur existait, ce devrait être le cercle k' . Mais ce devrait être en même temps le cercle A". Donc le cercle osculateur n'existe pas.

J'en ai dit assez, je pense, [)our faire comprendre à quel |)oiul hi ligne L diffère d'une ligne analytique.