IX. — Groupes symétriques

Considérons un polygone Oo liiuiti' [lar /( + i arcs de cercles AjA^, A2A3, ..., A„, A„, A„A„^.|, A„^, A, se coupant en n + \ points A,, A2, ..., A„^, qui sont les sommets de ce polygone. Construisons les polygones n symétriques de Ho par rapport à ses divers côtés, puis les polygones symétriques des n + i polygones II j)ar rapport à leurs divers côtés et ainsi de suite. Si les divers polygones ainsi construits ne se recouvrent pas mutuellement, on aura un groupe kleinéen.

Soit II',, le [lolygone symétrique de Il„ par rapportait côté A„^, A, ; le polygone IIo + II,, = Bo sera le polygone générateur du groupe; il admettra -.m côtés, à savoir les // côtés A,A2, A^A^, ..., A„ \„^, tie IIq et les côtés symétriques de IIJ,. Deux ciUés syiiiélri([ues seront (failleurs conjugués.

La jiremière condition évitieinmcnt nécessaire pour que le groupe soit ilisconi mil, c'est que tous les angles A,, Ao, ..., A„, A„,| <lii polygone IIo soient nuls ou soient des parties aliquotes de tt; ils sont donc tous droits ou aigus.

Supposons cette condition remplie el construisons le polyèdre P,, générateur du groupe, l'our cela, construisons les sphères ^,,^21 •••- ^h+i 4"' ont même centre et même rayon que les arcs de cercle A, A2, A2 A3, .'. . , A„^i A|. Ces sphères limiteront un certain polyèdre K„. On construira ensuite le polyèdre K'^

aSS AfÉMOIRE SUR LES CROUPES KI-EINÉENS.

symétrique de Ko p:>r rapport à la sphère ^C,,^,. Le polyèdre Pq ^ Ko + K,, sera alors le polyèdre f;énérateur du groupe.

Les sphères S,,^, et S, se couperont suivant une circonférence C| qui coupera le plan des ^yj en deux points A, et B, dont le premier est un sommet de FIo- De même, les sphères S,, et S, se couperont suivant une circonférence C, qui coupera le plan des Çr, en deux points A,- et B,- don! le premier est un sommet deri„.

Cela posé, on peut faire diverses hypothèses :

i" On [)eul supi)oser que les sphères i) n'oul pas d'autre intersection que le> circonlérences C|, G2, ..., C,,^.,. (Test ce qui arrive par exemple dans le cas de la figure 12. Dans ce cas, le polyèdre Kq admet deux faces de la deuxième sorte Ilo et Aj. La face Aq est formée dans le cas de la figure 12 de la portion du plan

Fis. 12.

extérieure au contour polygonal cuivilignc B|B>B:) ... B,,^,. Le polyèdre Ko admet en outre n + 1 faces de la première sorte qui sont les portions des sphères S,, So, .... ï,,^i, limitées respeclivemenl par les circonférences C, et

C2, Cj et C3, C,,^, et C|, et // + i arêtes de la première sorte qui sont ces

circonférences elles-mêmes. Le polyèdre P,, := K,, -f- K'^ admet de même deux faces (h' la deuxième sorte, m laces de la première sorte et 2/; arêtes de la première sorte.

Les condllioiis de discoiil laull(' du giniipe soni remplies et nous avons un groupe kleinéen. I )c |du^ il v^\ <lc la première espèce, car on peut, en (h'formant d'une manière (oui iiiMc le polygone IIq, passerai! cas où les côtés de ce polygone soiil (irliicigonauv l\ une circoulV'rence, c'est-.à-d iiT au cas des groupes fuchsiens. Le plan esl divisi' en deux (l()manie> 1) el !)', ii' premier rrinpli pai' le |iolygone Ilo cl ses transformés, le seC(Uid [lar Ir pidygoue A,, el ses ir.iasliiiiués.

MEMOIRE SUR LES GROl'PES KLEINEEMS.

2" On pourrait supposer aussi que les sphères S admettent d'autres intersections que les circonférences d, Co, .... Cn+i: qu'elles se coupent par exemple suivant d'autres circonférences A,, A.,, ..., Ap] mais que ces circonférences restent tout entières extérieures au polyèdre Ko, de telle façon qu'elles ne soient pas des arêtes de ce polyèdre. Mais il est aisé de voir que celte supposition est incompatil)le avec l'hypothèse que nous avons faite que les angles de rifl sont tmis droits ou aigus.

,'5" On peut supposer que le polyèdre Ko admet comme arêtes, outre les circonférences C, une ou plusieurs des circonférences /, cl ([ue les angles dièdres correspondants ne sont pas des parties aliquotes de — . Il est clair alors que le grou[ie n'est pas discontinu.

f" Il peut arriver enlin que le polyèdre Ko admelti; comme arêtes, outre les circonférences C, une ou plusieurs des circonférences A' et que les dièdres correspondants soient des parties aliquotes de tz. Dans ce cas, le groupe est discontinu, mais on ne peut passer au cas des groupes fuchsiens en déformant le polygone FIo. Le groupe est donc de la deuxième espèce.

Prenons comme exemple le cas de la figure i3. Le polygone Ho est un qiiadri-

Fig. «3.

latère A| \^ Vj \-, dnul deux côtés opposés A, A-, et AoA;, son! dl'^ lignes droites qui proliingco \iuil ^(• couijcr rii I'. Je ^oppose tic plus (pic les angles A,, Ao, A3, A4 et F sont di'> parties aliqiiote> de -. Le polyèdre Ko 11 admet alors <pie des dièdres égaux à des parties aliquotes de -. lia trois faces de la deuxième sorte, llj, Mo et Toi il a quatre faces île la première sorte faisant partie respectivement des sphères A] A.j et A, A-, et des plans A| A, et A2A3. Le groupe G considéré est donc discontinu.

Si l'on prend le |ioiyèdre Kj, symétrique de K^ par rapport au |)lan A2A3. l'ensemble de ces polyèdres sera \*„ et aura pour faces de la deuxième sorte II« -f- n'„, Mo + M„ et Tu + T„ en appelant n|,, M\^ et T„ les polygones symé- H. P. — II. 37

29° MKMOmK SUK LES GKOLPES KLEINÉENS.

triques de 0,,, Mu et Tq- Le plan des çy; va se trouver divisé en trois domaines D, D' et D" recouverts respect iveinenl par les transformés de IIo + Hj,, par ceux de Mo + m;, et par ceu\ de To + T„.

Etudions d'abord le domaine D'. Supposons que l'on construise les trianf^les symétriques de M„ par rapport à ses trois côtés, puis les triangles symétriques de ceux-ci par rapport à leurs divers côtés et ainsi de suite. Tous les triangles ainsi construits recouxrinmt un certain cercle H qui a pour centre F et qui coupe orthogonalenient le cercle A, AjBiB^. Ce cercle H sera donc une partie du domaine D', mais une partie seulement. En effet, le cercle H est recouvert par les transformés de M„ + M'j, par certaines substitutions du groupe G. Ces substitutions s'obtiennent en combinant de toutes les manières possibles les trois inversions par rapport aux cercles FB| , FB2 et B, B2, de telle façon que le nombre total des substitutions combinées soit [)air. Ces substitutions forment un groupe g qui est fuchsien el qui est un sous-groupe du groupe kleinéen G. Pour avoir les autres transformés du quadrilatère Mo+Al'^ et par conséquent les autres parties du domaine D', il faut prendre les symétriques du cercle H par rapport au cercle AsA^ et à ses transformés. On obtient ainsi une infinité de cercles H,, H^, ... dont l'ensemble constitue le domaine D'. Ce domaine n'est donc pas dune seule pièce.

Il en est de mc'me de D". En effet, on démontrerait de même qu'en construisant les triangles symétriques de To par rapport aux trois côtés de ce triangle, puis les triangles symétriques de ceux-ci par rapport à leurs divers côtés, et ainsi de silIic, on obtient tous les transformés de T„ + T,, par les substitutions d'un sous-groupe fuchsien g^ du groupe kleinéen G. Ces transformés recou- \renl la purlioii ilii plan cxlérieure à un certain ccrcic.l cl celle portion du plan ainsi qu<' l'intérieur tics divers cercles J,, .K, ..., symétriipies de .1 par r.ipporl an cercle A| A2 et à ses transformés, constituent le domaine D".

Au contraire, le domaine J3 est d'une seule pièce. .Si. en effet, nous construisons les polygones symétricpies de W^ par rapport aux c()tés de ce quadrilatère, puis les polygones sviiii'liiques de ceux-ci par rappoi'l à leurs divers côtés, et ainsi de siiilc, nous oiilrruuis ('v idiinineul Ions les Iranslormés de IIq + H,, et par conséqiicnl loiii le doiiiaiiKt 1). Mais la (igiire ainsi foriiK'e par ces polygones que l'on consiruil siiccessiveinenl à ci'ilé' les uns des autres esl d'une seule pièce. Il en est donc de même de D.

Ce domaine D esl d'ailleurs limilé par les circontéreiiees 11, 11,. 11^ '•

J,. Jj, ...; il a est donc pas simplement connexe. Celle circonstance aurait

MÉMOIRE SUR l,ES GROUPES KLEINÉENS. 29I

rendu presque impossible la deuionstration directe de la disconlinuilc du i^roupe et nécessitait Teniploi de l'artifice dont nous avons fait usage.

L'existence de ces domaines liuiités par un nombre infini de cercles a été signalée pour la première fois par M. Klein.