X. — Première famille

Dans le pai-.igr.iplie XI du Mémoire sur les groupes fucbsiens, nous axons envisagé (p. i()a) un iiexagone ABGDEF, dont les côtés AB et CE, CD et ED, EF et AF sont conjugués et dont les angles B, D, F et A + C + E sont des parties aliquotes de 27:. Déformons cet licxagone de façon que ses angles continuent à satisfaire à cette condition, mais que ses côtés ne soient plus orthogonaux à un même cercle fondamental et cherchons à quelles conditions il restera le polygone générateur diin groupe kleinéen.

Considérons donc le groupe engendré par noire hexagone déformé ABCDEF. Il sera évidemment dérivé de trois substitutions elliptiques S|, Sj et S3 cpii ont respectivement pour points doubles B et B', D et D', F et F' ri pour multiplicateurs e'P, e'^, e"P, [3, o et o désignant les angles B, D et F;

S| change BA en BC, S. » DC en DE, Sa » FE en FA.

La combinaison

est aussi une substitution elliptique qui a pour points doubles A et A' et pour multiplicateur e"'", a désignant l'angle A + C + E. Les combinaisons

85838,= Si et 838180=86

ont aussi pour multiplicateurs e"'" et elles ont respectivement pour points doubles C et C, E et E'.

Voyons maintenant quelles relations doivent avoir lieu entre ces points doubles et ces multiplicateurs.

Soient S( le transformé de :; par S), z-n celui de ^1 par Sa, ^s celui de Z2 par S3; Z3 sei'a par conséquent le transformé de :; par S4 et nous aurons les

âg?. MKMOIRE Slin LES GROUPES KLEINEENS.

relations

— ^- tôt ,

Ku dilTerenlianl les relations d), du Udiivc

d: dz, .„ dz

(=1— B')dz,

dz,

ds.

e-ix

(^,-Br-

dz.

dz-.

dz.

iz,~F'y^'

{z,-Ff

dZ3

dz,

dz.

(33— A')-^ (-A')^ (-3— A)- (;-Aj2

P.iniii les relations (a) envisageons les trois premières de la seconde colonne et la dernière de la première colonne el faisons-v z; ^ A, d'où r, =^ C, ^2= E, ;3 = A; il viendra, en combinant les relations ainsi oLtenues de manière à éliminer <!?;. </;,, dz.2, dz, :

(A-Br-(C-T))HE-Fy ^ p g ,

(C— B)2(E — D)2(A — F)2 ou

Une discussion facile montre que c'est le signe — qui convient. Dans le cas où les quatre angles a, p, o et o sont nuls, c'est-à-dire dans le cas où le groupe se réduit à la deuxième fomille, la relation (3) devient

(A — B)(C— D)(E-F)= — (B — C)(D — E)iF — A).

Supposons donc qu'on se donne, outre les angles a, j3, 2, o, six points doubles A, B, C, D, E, F de façon à satisfaire à la relation (3). Les trois points doubles B', D' et F' sont alors déterminés par les équations

MRMOIRE SIR LES CROUPES KI.EINÉENS.

et les trois points doubles A', C et E' |)rtr les relations

■ gia

Il n'arrivera pas en général que les quatre points A, B, A'. B' seront sur un même cercle. Il en sera de même des points B, B', C et C; G, C. D et D , etc. Il résulte de là que, si nous construisons le polyèdre P» générateur du groupe, la face de la deuxième sorte de ce polyèdre ne sera pas en général l'hexagone ABCDEF. mais un dodécagone, ainsi qu'on va le voir.

Voici, en effet, comment on peut construire le polyèdre Po : Considérons six cercles K, , Kj, .... Ko passant respectivement par A et A , par B el B', par C et C. |iar D et D', par E el E', par F et F'. Les deux premiers se coupercinl ca II, cl H',, les deux suivants eu IL el U',. les deux derniers

en II3 et H!,. Soient maintenant K\ et K„ les transformés de K, et ka par S, ; ils passeront, le premier par C et C, le second par B et B' et ils se couperont en J, et J', .

Soient de même K, et K^ les transformés de K3 et de Kj par S2 ; K^ et K'^ les ti'ansformés de K5 et de Kj par S^. Ces quatre cercles passeront respectivement par E et E', par D et D', par A et A', par F et F' et ils se couperont, les deux premiers en J2 el J!,, les deux derniers en J3 et J^.

Je suppose que ces différents cercles n'aient pas d'autre point irintersection que ceux que je viens d'énumérer et que la position relative de ces divers cercles el points soit celle qui est indiquée par la ligure i4- Dans ce cas, cons-

Iruisons les sphères S,- et S^- qui ont même centre et même rayon que les cercles K, cl K] . Puis envisai;cons le polyèdre Po lormo par la portion du plan extérieure à ces douze sphères. Ce polyèdre aura deux faces de la deuxième sorte, Rq et RJ|, qui seront respectivement les portions du plan intchûeure et extérieure à l'anneau formé par les douze cercles K,- et R, ; il aura douze faces de la première sorte formées par des portions des sphères S,- et S^ ; ces douze faces seront conjuguées deux à deux de telle façon que la face S^ soit conjuguée de S/. Le polyèdre P,, admettra douze arêtes de la première sorte formées par les intersections deux à deux des sphères S,- et S^ ; ces arêtes se répartiront en sept cycles ainsi que l'indique le Tahleau suivant :

Numéro du cycle.

Aux quatre premiers cycles correspondent les substitutions elliptiques S4, S,. S2 et S3; aux trois derniers, la substitution identique. Si donc les cercles K, et K^. sont dans la situation relative indiquée par la figure 1 \. le groupe considéré, dont le polyèdre générateur sera Po, sera discontinu.

Notre groupe sera donc kleinéen, pourvu que les points doubles A, B, C, D, E. F satisfassent non seulement à la relation (3), mais à des inégalités expriiiianl que les douze cercles K,- et K^ sont dans la situation relative indiquée par la ligure i "j .

Le plan se trouve partagé en deux domaines limités par une ligne L. \ oici comment on peut trouver la génération de la ligne L : on considère l'ensemble des points doubles de toutes les substitutions hyperboliques ou loxodromiques du groupe. Ces points doubles forment une Punktmeiige P; si l'on y adjoint son erste Ableitung P', on aura la ligne L.

.Vrotes

Somme

des dièdres

faisant partie du

cycle.

AA', ce et