XI. — Fonctions kleinéennes

Soit G un groupe kleinéen quelconque et soient

les diverses siili>lifiitions de ce groupe. Kornions, comme d;uis lu théorie des fonctions fuchsiennes, lu M'rie suivunte :

l'ulgoritlime H(;) représentant une l'onction rutionnelle de ; dont uucun iulini ne se confond uvec un point singulier du groupe, et ni désignunt un entier plus grand que i .

Cette série est convergente. Dans le paragruphe 1 du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, nous avons donné deux démonstrations de la convergence de cette série. Lu première de ces démonstrations subsiste dans le cas qui nous occupe; il n'en sérail pus de même de la seconde.

A tout groupe kleinéen correspondent donc une infinité de fonctions thétakleinéennes &(z) et de fonctions kleinéennes ^{z) jouissant des propriétés

Ces lonctions |oui>>enl de> mêmes propru'lés que les innilKin- fuchsiennes ci ihi'lufuchsiennes. Par conséquent, Idutes les fondions kleinéennes s'expriment ralionnellemenl à l'aide de deux d'entre elles, x et j', entre les(juelles il y a une relation algébrique

dont le genre est égal à celui du groupe C. (^)uand ce genre est nul, (outes les fonctions kleinéennes s'exprimeni rati(Uinrllemenl à l'aide de l'une d'entre elles que j'appelle x.

Si je pose

296 MÉMOIRE SUR I-RS (iROIl'ES KI.RINIJENS.

l'i el Cj sont deux intégrales de l'équation linéaire

qui se réduit à

dans le c;is où le i;enre est nul (cf. |)ar,ii;i'.i|)lie W du Mémoire .sur les Jonctions fiic/isien/ies): dans ces équations, -j désii;no une Fonction rationnelle.

Examinons quelques cas particuliers, et d'abord reprenons l'équation (3'j des paragraphes V et VU du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes :

'dxi ^ Q2(a;) '"' où

Çl{x) = {x — ai){x — a-i). . .{x — a,,).

Le polynôme P(^) est de degré 2« — 2 et je suppose qu'il satisfait aux n + 1 conditions suivantes :

PK)=o.(«,)(i-^).

coefficient de x'^"--- dans V(x) = — ( - — -7-^^ — )

Les nombres [Si, jîi, ..., ^m+i sont des entiers positifs qui peu\ent de\enir infinis.

^ous avons vu que, si le polynôme P(.rj [outre les n + i conditions (4) q"> sont comple.Tcs et (|ui, par conséquent, étpiivalenl à 2/( + 2 conditions réelles], satisfait à 2/4 — 'y autres condilions réelles el transcendantes, la variable .r est une loniimu Inclisiennc du r.ijipiui des intégrales.

Il résulte de la théorie précédente (pie. si le ]>ûlynome l'(.r) salisfail uun seulement aux conditions ( ^ ). mais à certaines inégalités., la variable x sera line fonction kleinéenne du rapport des intégrales. Supposons, en effet, les condilions( \) rem|)lies ; appelons ; le rapport des intégrales de l'écjuation ("3) ; quand .r reviendra à sa \aleur initiale, après axoir décrit un contour lermé C(,

„ , „ , rj .

z se cbangera en -^ ^' et les subslitutuius

formeront un groupe (j.

MÉMOIRE Sun LES GROliPKS KLEINÉENS. 9.97

Si ce f;roupe esL kleinéen, x sera une fonction kleinéenne de z. Or ce groupe G, comme on le voit aisément, est dérivé de /( substitutions elliptiques ou paraboliques Si, Sj, •••. S«, ayant respectivement pniir iiuiltiplicateurs

•lin 1 iTZ liTZ 2/71

eTT, eX, e"Pr, ..., eJ^ .

La combinaison

sera aussi une substitution elliptique ou parabolique qui aura pour multiplicateur

Or nous avons vu au paragraphe précédent qu'il suffit de certaines inégalités imposées aux coefficients d'un pareil groupe G pour qu'il soit discontinu. 11 suffira donc aussi d'imposer certaines inégalités aux coefficients de t*(.^') pour que X soit fonction uniforme de z.

lleprenons de même l'équation (.5) du paragraphe \i du Mémoire sur les fonctions fu cil siennes

(3) -^ = -if^, j).-, ^(x,y) = o.

J'appelle c,, di les points analytiques pour lesquels on a à l.i lois

dii dif ^

.l'appelle a,-, bi les points analytiques différents de c,, c/, et pour lesquels la fonction o devient infinie. Je suppose que la fonction <o satisfasse aux conditions suivantes :

i/ dx \ 2 1

Wmi y— di)'^y-j-\ !f>(x,7)=— - (pour .r = c,-. ^ = c/,),

linUJ- — ai)o{x,y) = J' (pour x = a.-.y = b,)-

Les nombres j3, sont encore ici des entiers positifs qui peuvent devenir infinis.

Nous avons vu que, si la fonction es satisfait en outre à certaines conditions

transcendantes, 07 est fonction fuchsienne du rapport z des variables. De même,

si celte fonction es satisfait non seulement aux équations (.t), mais à certaines

H. P. - II. ÎS

agS MÉMOIRE SUR LES GROl'PES KLEINÉENS.

illégalités, x sera foncliou kleliiéennc de r. Lx dénionstralion sérail loiU à fait analogue à celle qui précède.

Ainsi pour que dans l'équation (3) x exprimé en fonction de z soit une fonction Ivleinéenne de la pi-euiière, de la deuxième ou de la sixième famille, il suffit de certaines égalités algébriques et de certaines inégalités. Nous n'avons pas à nous imY>oser d' égalité transcendante. Il n'en est pas de même pour les fonctions des autres familles. Si nous voulons, par exemple, que, dans l'équation (.5), x soit fonction kleinéenne de la troisième famille du rapport ; des intégrales, il faudra nous imposer certaines égalités transcendantes.

Reprenons, en ellel, l'équation (3) du paragraphe \ III du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes

-^ =tf(.r, 7)(.\ 4/(3", j') = o,

en supposant que la f(uiction o satisfait aux conditions énoncées à la page a44 de ce paragraphe (lignes 3 et suivantes). Soit n le genre de la relation A = o; le groupe kleinéen de notre équation (3) devra être de genre n et dépendra par conséquent de 3« — 3 paramètres complexes; c'est-à-dire pi-écisément d'autant de jiaramètres qu'il y a de modules dans la relation i = o. Quand on se donnera cette relation i = o, le griuq)e kleinéen sera donc entièrement déterminé; il en sera donc de même de la fonction es. Il résulte de là que cette fonction est assujettie, indépendamment des conditions algéhriques de la page 241 du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, à n conditions transcendantes, puisque ces conditions algéhriijues ne suffiraient pas pour la déterminer.