I. — Invariants fondamentaux
Occupons-nous d'abord du premier de ces problèmes. Considérons une équation quelconque à coefficients algébriques :
dPv di'-'v ^ di'-^i'
(') Terminé le 20 octobre i8(S3; imprime le 9 février 1884. i\. K. .\.
(') Ce Tome, p. 108-168.
(') Ce Tome, p. 169-25-7.
(') Ce Tome, p. 258-2(jg.
SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINEAIRES. 3oi
Dans cette équation les es sont des fonctions rationnelles de deux variables x et j)' liées entre elles par une relation al};éliriqiie
Supposons que l'on considère un système fondanienlal d'intégrales de l'équation (i)
et qu'on fasse décrire à a; un contour fermé C tel que y revienne à la même valeur; les intégrales i',, Co, ..., Vp prendront des valeurs nouvelles (ï',,(V2, ..., Wp qui seront des fonctions linéaires de leurs valeurs initiales, de telle sorte qu'on ait
En d'autres termes, les intégrales c,, c^, ... linéaire
\' p subiront une substitution
qn'cin pniiria représenicr |>ar le Tableau à doiilile ealiée des coeliicients :
«Il «21 «IS «22
Si l'on opère ainsi pour tous les contours C possibles, on obtiendra un ensemble de substitutions linéaires qui formeront un groupe G. Ce sera le groupe de Véquation (i).
Ou peut loujoiirs supposer que, dans l'équation (i), le coefticient '^p^i est identiquement nul; car si cela n'était pas, on ramènerait au cas où ce coefficient est nul |)ar une transfoi'mation bien simple et bien connue. On en conclu! que le déleruiiuaul de la subslitution S est égal à l'unité; on a donc
La connaissance de l'équation (i) et du contour C ne suffit pas pour déterminer la substitution S. En effet, cette substitution dépend en outre du cboi\ du système d'intégrales fondamentales c,, Cj, ..., f,,.
Supposons qu'on les remplace par/) autres intégrales fondamentales
( )ii aiiiM
SUR LES GROITES DES E(,lUAT10NS LINEAIRES.
"/. = - Pm'';
lie Sorte que lu suhslllulioii
, ; Ut, u,,
II
sera linéaire. En décrivant le contour C et en iiarlant des intégi'ales ?/ , . ir.
a-iStr.
L'enscniLle des substilulions t"' St formera un i;roiipe qu'on pourra désii;ner )>ar la nolalion tMIt el qui pourra, aussi bien que (), être regardé coiiiine le gioiqje de ri'(pialioii (ij, si au lieu d'envisager le système des inlégrales r, on envisage C(diii des intégrales w. On sait que !<• groupe t '("17 s'appelle le transformé de G par la substitution linéaire <7.
Afin de n'avoir qu'un seul groupe pour l'équation (i), nous ne considérerons pas comme distincts le groupe G et ses transformés par les diverses substitutions linéaires.
Cela posé, cherchons les invariants de la substitution S. c'est-à-dire les fonctions de ses coefficients qui demeurent invariables quand on remplace S ])ar T~' St. Formons l'équation
cillât a.2i
'■ïp
Les racines de celte équation, et par conséquent aussi ses coefficients, ne changeront pas quand on remplacera S par t"' St. Ce seront des invariants de S.
Ces invariants sont au nombre (\e p — 1 . En ell'et, l'équation en / (4) est de degré yj; elle a donc /> + i coefficients. Mais le coefficient de //'et le terme tout connu sont égaux à 1 ; il reste donc p — i invariants. Ces invariants, qui sont des coefficients de r('qualion (4)i seront des fonctions entières des a.
Supposons que les intégrales i,. r^, .... r^ soient définies de la manière suivante :
Au point initial du contour C (pour a; = 0, par exein]>le) c, est égal à 1 el ses p — I premières dérivées sont nulles; c,- est nul, ainsi que ses p — i premières dérivées, à l'exception de la dérivée d'ordre i — 1 qui est égale à 1. Soit
SUB LES r.HOUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3o3
maintenant (t'| ce que devient l'intégrale ly; quand x revient au point initial après avoir décrit le contour G et (v'j^ ce que devient sa dérivée d'ordre ( — i ; on aura
11 en résulte que les inxariants sont des fonctions rationnelles entières des \r',^. Supposons en particulier p ^= :i; l'équation (i) devient
et l'équalion ( i) s'écrit
/-+ <(ir| -H "'.7) + I = o.
La substitution Sadmel alors comme invariant unique tij + n;,. Si A* est son multiplicateur, cet in\arianl est |irécisémenl /. 4- j-
Si l'tm connaissait les invariants de toutes les substitutions S, le groupe G serait complètement déterminé, puisque nous ne le regardons pas comme distinct de ses transformés c^'Oiy. Mais il ne sera pas nécessaire de connaître tous ces invariants, il suffira d'en connaître i\n certain nombre que nous appellerons i/tvariants fondanu'ntaux et dont tous les autres ne seront que des fonctions.
Combien y a-l 11 d'invariants fondamentaux? Supposons que le groiqje Ti soit dérivi- de ii substitutions fondamentales. Les coefficients de cha([ue substitution seront au nomlirc de p-, mais à cause de la relation (3) il n'en restera que p- — I d'indépendants, l'our les // Md)sl iiul ions, cela lait en tout ii{p- — i) coefficients. INJais nous ne considérons pas comme dislincls le groupe G et ses divers transformés. 11 l'aul ilonc retrancher p- — i du nombre précédent et l'on arrive à cette conclusion que, pour déterminer le groupe G, il faut (« — i) [p- — i) conditions.
Si donc on se donne (« — i) (yj- — i) in\arian(s quelconques (pour\u qu'ils soient indépendants), tous les autres n'en seront que des fonctions. <)n clioisira, pai' exemple, pour iiuariants fimdainentaux les in\arian(s de (/i — ')'/* + ') subsl itui ions convcnaideiuenl cboisies.
On peut toujours su[)poser que l'équation (i) a ses coefficients rationnels. En clVet, supposons (jue cela ne soit pas et que l'équation (2) soit une relation
3o4 SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
algébrique de degré ni, de telle façon qu'à chaque valeur de x correspondeul m valeurs de y
yo, y\. ■■■, ym~\-
Ou pourra toujours tracer, dans le plan des x, m — i contours C, . C^, . . ., C,„, tels que, quand r décrit le contour C,, Vo se change en yi- Soient maintenant
p intégrales fondiuncnlalcs de l'équatiofi (i) correspondant à la valeur j'o de )'. Soient
ce que deviennent ces intégrales quand x a décrit le contour C,. Cela posé,
les mp fonctions
satisferont ii une équation (i'^ linéaire et d'ordre mp dont les coefficients seront rationnels en x. La connaissance du groupe de (i') suffira pour déterminer le groupe de l'équation (i).
Supposons donc que l'équation (i) ail ses coefficients rationnels et qu'elle présente n + i points singuliers, en y comprenant le point oo, s'il y a lieu, et en n'y comprenant pas les points à apparence singulière. Le groupe est alors dérivé de « substitutions fondamentales, et il y a /t -(- i de ses substitutions dont ou connaît immédiatement les invariants, à l'aide de l'équation déterminante, pourvu que les intégrales soient régulières; ce sont les subslilutions auxquelles on est conduit en faisant décrire à la variable un contour fermé qui n'enveloppe qu'un seul point singulier. Il reste donc à calculer les invariants de ( 71 — i) p — 2 substitutions.
Soit a un point singulier quelconque et soient
Al, Ao, . . . , A,,
les racines de l'équation liéterniinantc correspondante.
Il y aura, dans le voisinage du point a, p intégrales parliculièrement remarquables. La /•"■""' d'entre elles sera égale à (x — rt)^* multipliée par une fonction liolomorplie. Soient
SljR LES GROUPES DES KOl'ATIONS LINÉAIRES. 3o5
cesp inlégrales qiio j'appellerai intégrales C(//(o/(((;r«(?5 par rapport au pointa. Lorsque la varialjle décrira un cercle infiniment petit autour du point a, ces p intégrales v subiront la substitution linéaire
^27ïAj
hr
que j'appellerai substitulion canonique rolalive au point a. Soient, de même,
