I'2, ..., IV

les intégrales canoniques par rapport à un second point singulier h.

Joignons les deux points a et b par un cliemin quelconque amb. Lorsque la variable partant du point a et décrivant le chemin amb sera parvenue dans le voisinage du point b, les intégrales canoniques i',, Cj, ..., c^ seront devenues des fonctions linéaires des intégrales canoniques n',, w.,, ..., (v,,, de telle sorte qu'on ait

I^a siibstitulion linéaire

s'appellera la sabslitntinn auxiliaire relative an chemin amb. Si l'on connaft cette substitution auxiliaire, on connaîtra aussi une substitution du groupe de réc|uatiou (i), ce sera celle que subissent les intégrales canoniques i',, i'2, .... \p, quand, paii.iiil du \oisinag(' du point a, la variable dé-crit le cbemin amb jusque dans le \oisinage du point />, décrit ensuile un cercle înfinimeni petit autour du point b et revient enfin dans le voisinage du pointa par le chemin bma.

Soit S la substitution canonique relative au point b. C^uaiid la variable décrira le contour précité, les intégrales c subiront la substitution S~'SS.

Supposons cju'on joigne entre eux les n + i points singuliers par /; chemins quelcon(|uc>, <le lacon (pi'on puisse circuler iMitre deux quelconques de ces points singuliers à l'aide de ces fi chemins; lorsque l'on connaitra les substitutions auxiliaires relatives à ces n chemins, le groupe de l'équation (i) sera complètement déterminé.

3o6 SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Soient, en eftel, a l'un des points singuliers et h^. h., //„ les /( autres.

Joignons, par exemple, le point (/ à chacun des points bi par une droite. Soient S, S,, ïj, .... S/, les substitutions canoniques relatives respectivement aux points a, h,, />o, . . ., b,i\ soient S,, Sj, . . ., S„ les substitutions auxiliaires relatives aux chemins al>,, abo., ...,ab„. Le groupe de l'équation (i) sera dérivé des « + i substitutions

entre lesquelles il y a d'ailleurs la relation

-i j ^ WJO1O2 — 2O2...0,, -jfi c fi — 1.

Supposons maintenant qu'on distingue deux des points singuliers a et ft; et soient c,, Co, • . ., c„( les /( — i autres. Joignons a et b par « — i chemins différents am,b, ariiib, ..., am„,b et soient S|, So, ..., S„( les substitutions auxiliaires correspondantes. Ces 7i — i chemins partageront le plan en « — I régions; supposons que chacune de ces régions contienne un point singulier a et un seul. Le groupe de l'équation (i) sera entièrement déterminé. Si, en effet, S est la substitution canonique relative au point a, le groupe sera dérivé des n substitutions

, o, 02, ''2 ''Si .■•! ^«-2'Jn— 1, "«-l'^i-

Supposons que \c point r, soit contenu dans la région limitée par les deux chemin-, //;»,/; el f/7//,^, />, décrivons un contour situé tout entiei' dans cette région et enveloppant le point c, ; quand la variable décrira ce contour, les intégrales canoniques relatives au point n subiront la substitution

On voit que, j)our déterminer le groupe de l'équation (1), il suffit de connaître soit les invariants fondamentaux, soit certaines substitutions auxiliaires.