II. — Calcul numérique des invariants fondamentaux

Les invariants fondamentaux qui déliuisseiit complètement le groupe d'une équation linéaire s(3nl (■vitleinment des fond ions des coefficients de cette équation; d'où le problème sui\iuil qui se pose tout naturellement : déterminer

SCR LES CROUPES DES EQUATIONS LINEAIRES. Soy

cex invariants en fonction de ces coejjicients. Mais en réalilc ce problème est double : ou j>eul se proposer de calculer numeriqueiuenl, ces invariants quand on a aflaire à une c(|uali(iu numérique donnée; mais il n'est pas non plus indigne d'intérêt d'étudier, au point de vue de la théorie des fonctions, la l'açon dont varient les invariants quand on fail varier les coefficients. Les méthodes propres au calcul numérique ne nous apprennent rien sur la nature de ces fonctions, pendant que les formules les plus instructives à ce dernier point de vue conduiraient à des calculs pénibles si l'on voulait les traduire en nombres.

Au point de vue du calcul iiuniérupie, un grand nombre de méthodes ont déjà été proposées, parmi lesquelles je citerai celle de M. Fuchs [Journal de Crelle, t. 75) et celle de M. Hambui'ger (Journal de d'elle, t. 83).

La méthode de M. Fuchs consiste à distinguer deux des n -+- 1 points singuliers, a et b, comme à la (in du paragraphe précédent, puis à diviser le plan en II — I régions par // — i cheuiins aiii , /y, a»t-2 h, . . ., ain„^ h, de façon que chacune de ces n — i régions iiuilieune un des n — i autres points singuliers C|, Co, . . ., c„i et un seul, l^c savant géomètre d'Heidelberg donne ensuite un développement des inlégrales canoniques relatives au point a et ce développement est valable dans une certaine région R^. De même, les intégrales canoniques relatives au point h sont susceptibles d'un développement valable dans une région 11^. Les deux régions R„ et R^ ont n — i parties communes P,, Po, ..., P,i). On peut d'ailleurs Ir.iccr le chemin amjh de telle façon qu'il reste constamment intérieur à l'une des régions Ra et Rj ou à toutes deux à la fois, et qu'il traverse la région P,-. Il suffit alors de comparer les deux développements de M. Fuchs pour une valeur Ac x quelconque intérieure à P,- (région dans laquelle les deux développements sont valables à la fois) |)our pouvoir calculer les coefficients de la substitution auxiliaire relative au chemin aiiiih. J^e groupe de l'équation (i) est ainsi entièrement déterminé.

On peut varier cette méthode à l'infini; supposons, en effet, que nous joignions deux points singuliers quelconques a el b par un chemin quelconque amb et que nous cherchions la substitution auxiliaire relative à ce chemin. Traçons autour des deux points a et b deux régions quelconques R^ et Ra, telles : i° que la première contienne l'unique point singulier a et la seconde l'unique point singulier b; a" qu'elles aient une partie commune P; 3° que le chemin amb reste constamment intérieur au moins à l'une des régions R„ et Rj et traverse la région P. Supposons que deux fonctions /«(a;)

3o8 srn les cnoi'PES des kqiatioxs linéaires.

[etyA(,r)] soieiil lellcs que, (|iiaml x reste inlérieur ,-i lu région ]\„ (ou ;i la réi;ion Rj), la lomiuui /'„ (on la foiictioii y/,) aient constamment leur module intérieur à i, de telle sorte que ces deux fonctions donnent respectivement la représentation conforme du cercle de rayon i et de centre o sur la région Ra et sur la région R4. Je suppose de plus

/a(a) = o, fo(b) = o.

Les intégrales canoniques relatives au point a se développeront suivant les puissances de/a(a:;). Ce développement, dont les coefficients se calculent par récurrence, sera valable dans toute la région R^. De même, les intégrales canoniques relatives au point b seront, dans toute la région Rj, développables suivant les puissances de fb{x). Il suffira de comparer les deux développements pour un point de la région P (où ils sont valables à la fois) pour calculer les coefficients de la substitution auxiliaire cberchée.

On choisira les régions R^ et R4 de telle façon que les fonctions /"„ et /* soient aussi simples que possible. On pourra prendre, par exemple, un rectangle, ou un fuseau limité par deux arcs de cercle qui se coupent, ou la portion du plan eouqîiise entre deux droites parallèles.

Voici maintenant en quoi consiste la méthode de M. Hamburger.

Soit o un des points singuliers et soient f/|, «oi •••) (^n les n autres, rangés par ordre de module croissant; soient pi, pa, ...,p„ leurs modules; construisons les deux cercles qui ont pour centre l'origine et pour rayon o,et p,+i . Considérons un contour fermé C compris tout entier dans la région annulaire limitée par ces deux cercles. Soit A un point de ce contour C; supposons, par exemple,

A = v/piP/+i-

Soit t',, t'a, •■■, t> un système fondamental d'intégrales dans le voisinage du point A. Soient iv,, ivo, ..., Wp ce que deviennent ces intégrales quand on revient au point A après avoir décrit le contour C. Les intégrales e pCuvent se développer suivant les puissances croissantes de

la- — lA et si l'on a

lp,+ l — I A >21T,

les développements sont encore valables quand on fait

\x — 1 A = 9. /tt.

SUn LES CROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. ioÇ)

En subslitiiaiil alors ■j.i- l\ la place de Ix — lA dans les développements des intégrales i' et de leurs dérivées, on aura les \aleurs des intégrales (v et de leurs dérivées, ce qui suffit pour délenninei' la sid)stitulion du groupe de l'équation (i), qui correspond au contour C.

La méthode de M. Hamburger peut être aisément étendue au cas où

Nous poserons, pour abréger,

lp,+i— 1A= ^-, puis nous dévelo|ipcrons les intégrales v suivani la puissance de

Le développement sera encore convergent piuir

ou

e-Sî:a,

e-27ta ) ,

En remplaçant, dans les développements des intégrales c et de leurs dérivées, z par cette valeur, on aura les valeurs des intégrales iv et de leurs dt'rivées cl par conséquent la substitution qui correspond au contour C.

Il suffit de réfléchir un instant à la nature de ces méthodes pour comprendre qu'on peut les varier à l'inlini. Le calculateur devra se guider dans son choix d'après la convergence plus ou moins rapide des séries employées. Or cette convergence dépend avant tout de la po>ition relative des n -+- i points singuliers. C'est donc cette position (jui déterminera le choix d'une méthode.

Mais aucune des méthodes ainsi proposées ne nous apprendrait rien sur les propriétés des invariants fondamentaux considérés comme fonctions des coefficients et étudiés au point de vue de la théorie des fonctions. C'est cette étude (|ue iiouN allons aborder dans le paragraphe suivant.