III. — Propriétés des invariants fondamentaux

Ecrivons l'équation (i) sous la forme suivante :

(i) dr^ ^ yi V y A/,/,,- d/'t)

k—a 1 = 1 II

l 'd 111' ccnro aillai cel Ir <''(|ii;i I khi ikhis il \ uns (li'Coiiniosé eu (■IimiiciiIs m m pies les eoellicieiils des divei'ses dérivées de r, iliii |i;ii- li \ |iiillièse sonl ilé's Idiiclions lalidiiuelles de' ,/ . iNiiiis uMins suiiiiosé de |diis ijue ces fondions raliiiniielles nadiiK'Uaienl pas de pailie enlièrc, car il esi loHJours permis de taire celle hvpollièse.

Les invariants londaincntanx que nous clicrclions seront des fonctions des cii et des A/,/,j. Considérons d'aljord les cti comme des constantes et les A comme seules variables. Je dis que les iinarianls sero/il des fonctions entières des A.

Pour le taire voir, il siitlil de démontrer ce qui suit :

Ecrivons l'équation (i) sous la forme suivante :

/ ,. di'v „ c?*!' ,, ^ , d''v

^ ' dxP ' du'- '^ • d.i''

Les «A et les iy; sonl des fonctions rationnelles de x cjue je suppose entièrement déterminées; a et p sont des paramètres que je vais regarder comme \arial)les. Il sullit, dis-|e, (le di'iiKiiiIrer que les invariants sont des tiuietions entières de a et de p.

Considérons un point quelciuiqiie a du plan et décrivons de ce point comme centre un cercle K assez petit pour ne contenir aucun point sinoulier. .Soient (•,, Co, .... f^, p intégrales assujetties aux conditions suivantes ;

Pour ûT = a, 1 I = I. ses jD — i premières dérivées sont nulles;

r, = o, ses p — I premières dérivées sont nulles, excepté la dérivée d'ordre i — i qui est égale à i.

Les p intégrales c,, Cj, .... Cy, sont développables à rintérieur du cercle K suivant les puissances croissantes de x — a. Le coefficient de (x — a)"' est un polynôme d'ordre 7U — p + i en a et en p. On a donc un développement de ces intégrales suivant les puissances de .r — a, de a et de p. Il reste à faire voir que ce développement est convergent.

Si l'on regarde ç comme fonction de x, de a et de [i, l'équation (i) peut être regardée comme une équation aux différences partielles et le théorème de M""" Kowalevski (Journal de Crelle, t. 80), appliqué à cette équation, montre que V peut être développé suivant les puissances de a: — a, de a — a„ et de p — • Po? pourvu que x soit intérieur au cercle K et que les modules de a — a^ et de p — ^o soient suftisamment petits. Ainsi c est une fonction liolomorphe de a et de p

SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3ll

flans lé voisinage d'un [xiint ([iielconque ao, p„ ; c'est donc une fonction entière de a et de p et le développement de v suivant les puissances de x — a, de a et de j3 est convergent quels que soient a et p, pourvu que x soit intérieur au cercle K.

Il faut maintenant démontrer que, si x est regardé comme une constante, c est encore une fonction entière de a et de ^, quand même x est extérieur au cercle K. Pour définir complètement la fonction c dans ce cas, il ne suffit pas de se donner la valeur de x, il faut encore connaître le cliemin amx par lequel cette variable a atteint cette valeur, en partant du point a.

Supposons, pour fixer les idées, que b soit un point intérieur à K, que K.' suit un cercle ayant son centre en l> et ne contenant aucun point singulier, que X soit intérieur au cercle K' et extérieur à K, enfin que le chemin amx soit tout entier intérieur à la figure formée par l'ensemble des deux cercles K etK'.

Soil M|, »2, .... Up un système fondamental d'intégrales défini comme il suit : iii devra satisfaire pour x^b aux mêmes conditions auxquelles était assujettie r,- pour ,r = a.

Soient t' la valeur de r, pour x ^ b, c*^' la valeur de sa dérivée />"""". On aura

Or les 1'^ soûl des f()ucliiiii> cnlièrcs i\r a cl de p puisque le poini h est intérieur au cercle K, cl les (//, ^oiil aussi des fiuxctions entières de y. el de p puisque le point X est intérieur au cercle K'. Donc les c,- sonl aussi des fonctions entières de a et de [3.

Le raisonnement serait le même si, au lieu d'a\oir à ciuisidé'rer seulement deux cercles de convergence K. et K', il était nécessaire d'en envisager plusieurs.

Supposons maintenant que le chemin amx se réduise à un contour fermé C. Les valeurs des intégrales c,- et de leurs dérivées ne sont alors autre chose que ce que nous avons appelé n* dans le |>aragraphe L Or les invariants fondamentaux sont des polynômes entiers |iar rappiirl aux nj, ce seront donc des fonctions entières de a et de p.

\insi quand on regarde les «,■ comme des constantes, les Invariants sont des lonclions entières des A^a/ et peuvent par conséquent être développés suivant

3 la Sl'H LKS GROUPES UES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

les jniissiiiices de ces qiianlilos V^/,,. Cniisidérons un quelconque des coefficients de ces dcveloppenienls, ce sera évideinineni une fonction des «,- el c'est la nature de cette fonction qu'il nous reste à (-ludier. Il est aisé de voir que ces fonctions s'expriment à l'aide de quadratures successives. Ecrivons, en effet, léqualion (i) sous la forme (i') et considérons le développement de Tinléi;ralc r,- sui\aiit les puissances de a el île jj

.le dis qu'on peut obtenir le coefficient (•,„,„ par de simples quadratures. .le suppose, en efTet, que cela soit vrai pour i',-.„,| .„ et t',-.,„,„„| ; cela sera vrai aussi pour Vimni car on a identiquement

da-P " " '?'■' dx'' " '^'' dxk '

et la dérivée p'^""" de i',m„ s'exprimant à l'aide de quadratures successives, il en sera de même de la fonction r,,„„ elle-même.

Soit mainlenani n*„,^^ le coefficient de a"'jj" dans le dcvcloppement de ii*. Ce coefficient s'exprimera pour la même raison par des quadratures, et il en sera de même des coefficients qui entrent dans le développement des invariants, car ce sont des polynômes entiers par rapport aux ii'f„,„- On peut d'ailleurs pousser plus loin l'étude du développement de la fond ion i',-. A cet elfet posons

C dx l^

X — ai

dx h.(x, ï])

Remarquons maintenani qu'on peut mettre l'éijuation (i) sous la forme

de /) équations simultanées du |)remier onirc. Si les inté;;ralcs sont ré};ulières

dans le \oisiniii;e de cliacun des points sini;uliers, nous pourrons introduire

/) \,u'ial)lrs viriiiiliaiK'es u ^ ^ r. Il-, il ^ ri reinpla<rr l'iMpuilion (i) par les

p (Miiiiii lou-- Miiiullanécs

din ..

-T— = i. CS,7, U/,-.

(Ix '

SIR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3l3

Les (Su seront des fonctions rationnelles de la forme suivante :

' ^ml X — a

les A,-. A. X étant des constantes. Supposons par exemple p^a, l'équalion (1) s'écrira

Q sera le produit (x — a,) {x — «2 ) ••• (^ — ««) p' P sera un polynôme en x de degré an — 2. Nous pourrons toujours trouver deux polynômes entiers A et G de degré « — i en a; et satisfaisant identiquement à la relation