IV. — Fonctions inverses
Nous avons jusqu'ici étudié les invariants fond.imentaux comme fonctions des coefficients de l'équation (1); mais si, au contraire, on regarde les coefficients comme des fonctions des Invariants fondamentaux, on est conduit à des transcendantes intéressantes qui jouent par rapport aux équations linéaires le même ro\e que la fonction modulaire par rapport aux intégrales elliptiques.
Mais ici il imjjorte de faire luie remarque : reprenons l'équation
dPv ^ rf*'i d^ ~"''?*^
^'^ dxP~""^'' dx''
3l4 SUR LES GROUPES DES ÉOUATIONS LINÉAIRES.
et considérons les infinis des coefficients o/, ! ils seront de deux sortes : les uns seront des points sinj^uliers proprement dits et quand la variable x décrira un contour fermé autour d'un de ces points, les intég;rales subiront une substitution linéaire; les autres seront de simples pôles des intégrales ou bien encore, si a est un pareil point, toutes les intégrales se mettront sous la forme
), étant une constante qui est la même pour toutes les intégrales et '-p(ar) étant holoinorphe. Il en résulte que, quand x décrit un contour fermé autour du point a, toutes les intégrales sont multipliées par un même facteur et que leurs rapports reprennent leurs valeurs primitives. Ces points s'appelleront des
points à apparence singulière. Pour qu'un infini des coefficients o^ soit un
point a apparence singulière, il laut — ■ conditions.
Supposons donc une équation de la forme (i) admettant /; points singuliers outre le point oo, savoir ai, «o? • • ■ ? '*« et q points k apparence singulière ft,,
Je suppose que les intégrales soient partout régulières. L'équation (i)
s'écrira alors
di'v ■^ P/;. d''V ((xP "~ ^ Qp-''- dx'''
INous posons
Q = (.r — Oi) (J- — a^) .. .{x — an)(x — bi)(x — b,) . . .{X — b„)
pi l'/i psi MU pi>]vnome d'ordre
l/équaliou (i) contient alors
paraiiiètrps, à sa\oir :
1° Les n + (j infinis ((, , u... ..., (t,,. //,, h^,, ..-, l>q ',
2" Les
coefficients des polynômes P^.
Mais nous avons
SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3l5
conditions exprimant qiio les points i sont à apparence singulière. II reste donc
Il ^-i^- 1- (7 — -^—^
paramètres indépendants.
Remarquons de plus qu'on peut toiijouis supposer
car si cela n'était pas, on feniit un cliangement linéaire de variable. Il tant donc encore de ce chef, retrancher deux paramètres.
Si nous supposons de plus qu'il n'y a pas de points à apparence singulière, il restera enlin
paramètres. Mais le groupe ( i de l'équalion (i) esl dérivé de // sulisl 11 iil ions el nous a\ons su an par.igr.qilii' ! qu'un p,n('il i;ronpc (1, si l'on ne le regarde pas coiiimç (li>lincl de ses Iranslorniés p,ir les dixerses suhstilutions linéaires, dépend de
in\ariaiits fondamentaux.
Si /> = 2 les expressions (2) et (3) se réduisent toutes deux à 3/; — 3. Le nombre des paramètres de l'équation est alors égal au niunbre des i)aramètres du groupe; d'où la conséquence suivante :
On peut en général trouver une équation du second ordre, sans points ii apparence singulière, qui adiiicllc un groupe donné.
Je veux dire parla que, pour que cette équation existe, il n'est pas nécessaire qu'il y ait aucune relation entre les invariants du groupe et que si l'on doit leur imposer certaines conditions, ce ne sont que des conditions d'inégalité. D'ailleurs on pourra trouver une infinité d'équations du second ordre qui auront des points à apparence singulière et qui admettront un même groupe.
Sui)posons maintenant yj > a et bien entendu ;; >■ i . On voitaisément que l'expression (a) est toujours plus petite que l'expression (3j; d'où cette conséquence :
On ne peut pas en général trouver une équation d'ordre supérieur au second, sans points à apparence singulière et qui admette un groupe donné.
3l6 SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Il faut ilonc en général, si l'on veut conslruire une équation ayant un groupe donné, lui chumer des points à apparence singulière.
C'est pour éviter ces points qui compliqueraient notablement les résultats et les démonstrations que je me bornerai ici au cas des équations du second ordre. Je supposerai donc que j'ai affaire à une équation du second ordre sans pointa apparence singulière.
Considérons sur la sphère les /; + i points singuliers
a,= o, a2=i, as, ai,, ..., a„, an^, = vi
et joignons-les par n coupures
Considérons deux intégrales quelconques de l'équation (i) et leur rapport r : quand x parcourra la sphère sans franchir les coupures, z parcourra une certaine région R. Cette région sera analogue aux polygones générateurs des groupes fuchsiens et kleinéens, mais elle pourra se recouvrir ]>artiellement elle-même; elle aura 2« côtés
et
répondant aux /( coupures
Les côtés p(pi+i eta,a/^, seront conjugués et l'on passera de l'un à l'autre par une substitution linéaire S,-. Les sommets a, et cl„^, formeront chacun un cycle. Il y aura n — i autres cycles formés respectivement des sommets a,- et j3,. La somme des angles a,- et [3,- est alors égale à
2Tr(i — aX,-),
).,• étant la plus petite racine de l'équation déterminante relative au point singulier a,-. De même les angles a, et a„,| sont égaux à
2T:(i — -iXi) e( ■i1T(l — îXn+i).
Quand on connaît les \aleurs de
(4) «I, 02, ..., a«+l, ^2, p3, •■•, §n, A], Xi, ..., Àn+1,
les substitutions S, sont entièrement déterminées et, comme ce sont Icssubsli-
SUR LES GROUPES DES EQUAtlONS LINEAIRES. 3l7
lutlrtns l'ondainenlales «lu ^iiiu|)e <j, les invaruiiits fondamentaux de ce groupe s'exprimeront aisément en fonctions des quantités (4)- Nous regarderons donc les coefficients de l'équation (i) comme des fonctions des quantités (4)-
La région R n'est pas entièrement déterminée quand on se donne les quantités (4); en effet on peut faire varier arbitrairement la forme des côtés a,a2, ajaj, ..., a„a„^.| et il s'ensuit des variations correspondantes des côtés conjugués «,^2, pa^is, ..., ^i„a„^,. Toutefois toutes les régions R obtenues de la sorte sont équivalentes, au sens donné à ce mot au paragraphe III du Mémoire sur les groupes hleinéens [Acta malhematica, t. 3, p. (33 (' )]. On pourra d'ailleurs tracer les coupures
de telle façon que les côtés
«1 Jtj, . . . , 3t„ ïn+i
aient telle forme que l'on veut.
Il résulte de là que, s'il existait deux équations (i) conduisant à un même système de valeurs des quantités (4), on pourrait toujours tracer les coupures de telle façon que la région R soit la même pour l'une et pour l'autre équation.
Imaginons maintenant des fonctions de z jouissant des propriétés suivantes : i" elles seront uniformes quand ;; parcourra la région R; il est clair que, si la région R se recouvre partiellement elle-même, à deux points ^o et ;, de cette région pourra correspondre un même point du plan; dans ce cas, la fonction pourra prendre deux valeurs différentes aux points Zq elz^ ; 2" elles reprendront la même valeur en deux points correspondants du périmètre deR; 3" elles n'auront d'autre singularité que des pôles (et des points singuliers logarithmiques dans le cas ou quelques-uns des angles a ou p sont nuls).
Il est clair que toutes ces fonctions s'exprimeront rationnellement à l'aide de l'une d'entre elles. [Cf. Schottky, Journal de Crelle, t. 83, et Mémoire sur les fonctions fuchsiennes [Acta mathematica, t. 1, p. 228) (^).]
Si l'on regarde maintenant x comme une fonction de z, ce sera précisément une des fonctions dont nous venons de parler, et il est clair que toutes les autres seront rationnelles en x.
Supposons maintenant qu'il y ait deux équations (i) qui conduisent à un même système de valeurs des quantités (4) et par conséquent à une même région R. Soient x et Xt les variables correspondantes que nous regarderons
(' ) Ce Tome, p. 271.
( = ) Ce Tome, p. 200. N. E. N.
SlIU I,ES GROUPES DES EQUATIONS LINEAIRES.
coiniiu~ (.los ionclions de z. D'après ce qui précède, x sera ralionnel en ./', et j'i on X et par conséf|iicnt im aura entre ces varial)Ies une relalionde la
forme
\xxi + Ba7 -(- Ga"i -+- D = G.
Soient, maiiitenanl, «, et aj les valeurs de x et de a;, qui correspondent à la valeur r = a,. Ce seront des points singuliers des deux équations (i) et par lijpothèse, on aura
C'est-à-dire qu'on aui
pour z = 7.,, z = y..,, :■ = y.n+, .
Il en résulte que x sera Idenliqueinent égal à x,. Les deux équations (i) dont nous avions supposé l'existence seront donc identiques.
Il résulte de là que, quanti les ([uantités (4) sont entièrement délerminées, il en est ilc nn'iuc ilc r('(|u;iti()n (i) el ([uc les coe//icic/ils de cette /'■(juatuni sont des jonctions ii/iijornies des quantités (/()■
Ainsi, nous sommes conduits à une nouvelle classe de fonctions uniformes de plusieurs variables. Ces fonctions demeurent invariables quand on fait subir aux quantités (4) certaines substitutions dont je vais dire quelques mots.
Reprenons pour cela le polygone R défini plus liant et appelons S^lasubstilulioii linéaire qui cbange |3;;p,i^i en y^i-ii-^^- Con\enons en outre de poser pour plus de symétrie dans les notations
«1= [i|, «2= Pî,
La substitution suivante :
"■i+n + X — ^h Pi+H + 1 — p|.
pM «/. + !',
appliquée aux quantités (4) laissera inaltérée la fonction dont nous nous occupons. Nous avons, grâce au Tableau (5), les nouvelles %aleurs des quantités a, [i el A en fonction des anciennes, car les coefficienis de la sidjsdlutuMi linéaire Sa s'obliciincnt aiséiuenl en tcuictions des a, des p el des A.
SIR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. Sig
