V. — Énoncé du deuxième problème

JNoiis avons montré, dans les quatre paragraphes précédents, comment on peut résoudre le problème suivant :

Trouver le groupe d'une équation donnée^ soll au point de \ue du calcul numérique, soit au point de vue de la théorie des fonctions.

N^iicl le secniid pnihh'iiie (pie ] ai à n'soudrc a\.int d'aller plus loin. On donne une équalioii du second ordre

où ts est une lonclion rationnelle de deux variables x ei y liées par une relation algébrique

On suppose que la fonction o dépend d'un certain nombre de paramètres et l'on demande de disposer de ces paramètres de telle manière que x soit une fonction fuchsienne du rapport des intégrales. Nous dirons alors, pour abréger, que léquation (i) csl Juclisienne.

jNous ne nous occuperons dans ce qui va suivre que des fonctions fnchsiennes qui n'existent qu'à l'intérieur du cercle foiiflamenlal rpremière, deuxième et sixième familles). iNous laissons donc sjstématicjueiuent de côté les fonctions fnchsiennes qui existent dans tout le plan.

Pour que; l'équation (i) siiii fuciisiennc, il faut qu'elle remplisse d'une part certaines conditions algébriques, d'autre part un certain nombre de conditions transcendantes.

Commençons par énoncer les conditions algébriqties.

Les points singuliers de l'équation (i) sont de deux sortes :

1° Les points où )■ cesse d'être une fonction holomorphe de x et les points où X on y cessent d'être finis;

.■i" Les points singuliers proprement dits.

Il n'y a pas à s'inquiéter des premiers, car on peut poser

x = (i(x',y), y — Qi(T', y),

320 Sl'B LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

9 el 9, élanl des fonctions ralionnelles, et s'arranger de telle façon que, dans le voisinage du point considéré, les nouvelles variables x' el )'' restent finies et quey' soit holomorphe en x' .

Quant aux points singuliers proprement dits, à chacun d'eux correspond une équation déterminante et la différence des racines de cette équation doit être nulle ou une partie aliquote de Vanité. Ce sont là les C(uidltions algébriques qu'il s'agissait d'énoncer et, quand elles seront remplies, je dirai que l'équation (i) est normale.

Considérons d'abord deux équations normales

où nous supposerons que o et œ, sont des fonctions rationnelles de x et de x^. Si l'on peut passer de la première de ces équations à la seconde en posant

nous ne regarderons pas ces deux équations comme distinctes. Considérons maintenant une équation normale plus générale

el posons

Si (111 laisse de côté certains cas exceptionnels, on pouiia tirer des équations (a) et (3) X et r en fonctions rationnelles de x' et de y' . Je supposerai que ces cas exceptionnels ne se présenleni pas.

Dn trouvera alors

Je ne regarderai pas comme distinctes les équations (i) et (i').

SUR LIÎS GROUPES DES EQUATIONS LINEAIRES. 321

Je dirai que deux équations

(a) if {r,y)=o,

(2') if,(.r,y)=.o

appartiennent au ni^'ine type si les deux relations (2) et (2') sont identiques et si les points sinj^^uliers des équations (i) et (i') sont les mêmes ainsi que les équations déterminantes relatives à chacun d'eux. Il va sans dire que si une équation

(2") 4,',(ar',/) = o

ne d(jil pas cire regardée comme disunctc de (1') en \crta de la convention laite plus haut, je diiiii encore que (i ) et (1") ap|)arl icuiient au même ty[)e. Voici le [)rohlème qu'il s'agit de résoudre :

1° Reconnaître st\, parmi les équations d'un type don/ie, il y a une ('fjuation fuchsienne.

2" Trou^'er cette équation si elle existe.

Mais il laul d'ahnrd laire une dislincliTm cl classer les lypes d ('(piiiliiius normales en lypes fuchsiens, elliptiques cl ralioiin(ds.

Supposons que X soit une loiiclion luchsiennc du r.ippiirl des inli'grales de l'équation ( i) ; cette fonction admcllra un polygone générateur R„ (jui aura 2/t côtés de la première sorte et 271 sommets de la première ou de la deuxième sorte. La somme des angles du polygone devra être plus petite que

T.{nn — -i).

Soient q le genre de la rclalion (2); p le ncuuhre des points singuliers de l'équation (i); ai, a-,, ..., Up ces points singuliers; a, la dilTérence des racines de l'équation déterminante relative au point a,.

Si p >- o, les sommets de Ro *^ répartiront eu p cycles; on aura

n = iq ^ p — I H. P. - U. 4-

et la somme des angles sera égale à On doit donc avoir l'inégalité

(4) Sai<2y -r-/) — 2.

Si /) = o, les sommets de Rq formeront un seul cycle et la somme des angles sera ztz. On aura

d'où l'inégalité

Si les inégalités (4) ou (4') sont satisfaites, le type considéré sera un type fuchsien.

Supposons maintenant que x soit fonction doublement périodique du rapport des intégrales de (i), on aura les égalités

(5) Sa,= 25r+p-2,

ou bien

Le type sera alors elliptique.

Voici d'ailleurs l'énumération des types elliptiques (') :

Supposons entin que x soit fonction rationnelle de c-, on aura les inéga-

(') Si ^ = o, 011 ne peut supposer y? = o ni /? := i. Si l'on suppose /î = 2, on est auionê <» l'équalion

d- V \v dx'' ~ {X — ay

SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. SaS

lités

(6) £a,> iq^p — 2,

riijpotlièse j9 =; (^ = o devanl élre rejetce.

Le type est alors rationnel. Voici rémunération des types rationnels, d'ailleurs bien connus :

ai =

Cela posé, les équations diin luèine type dépendent d'un cerlain nouibre l* de paramètres arbitraires, de telle sorte que ce type se compose de oo" équations distinctes.

Ces P paramètres, étant complexes, correspondent à 2P paramètres réels. Or le nombre de ces paraïuctres réels est précisément celui des conditions transcendantes auxquelles doit satisfaire l'équation (1) (qui est supposée appartenir au type donné) pour que x soit fonction fuchsienne de ; (ou bien fonction doublement périodique, ou rationnelle dans le ca-. d'un type elliptique ou rationnel).

[Cf. Mémoire sur les fondions fiicltsiennes [Acta nuithemalica, t. 1, p. :>'■>'[, 9.57, 262 et 272) (').]

Si, au lieu de conditions transcendantes, il s'agissait de conditions algébriques, on pourrait conclure de là que, parmi les équations d'un même type, il y en a toujours une qui est fuchsienne. Mais ici cette conclusion n'est pas légitime et une démonstration spéciale est nécessaire. C'est cette démonstration qui fait l'objet principal du problème qui nous occupe.

Il est aisé d'en comprendre l'importance.

Supposons en ell'et que l'équation

(i) Itei='?^"'->'^'''

soit fuchsienne. Soient

(') Ce Tome, p. 2o5, n-j^, i!:!ij, ■i'iH.

les points singuliers de l'équalion (i) et t- la diUérence des racines de l'équa-

tion délerminaiilc relative au point (f/,-, bj). kj sera un nombre entier positif ou bien inlini.

Considérons une (onction de x et de )• n'admettant d'autres points singuliers que les jioints

et cela de telle façon qu'elle revienne à sa valeur primitive quand le point analytique {x,y) a décrit />/ tours autour du jioint singulier (ai,bi). Cette dernière condition doit être supprimée quand />',== ce.

Celle fonction sera uniforme en ;.

II en sera ainsi des intégrales de l'équation

si les fondions o^ sont rationnelles en x el y et s'il n'y a d'autres points singuliers que

(«,,^;,), (a.,,b,), ..., {■ap.b,,),

de telle sorte que toutes les racines de réi|ualion déleriniaante relative au point (a,-, b,) soient des multiples de y (cette dernière condition étant sup-

primée quand /»,= oo).

11 en sera de même de toute fonction rationnelle de x et de )' el d'un granil nombre de fondions algébriques.

Par conséquent, si l'on démontre que dans tout I ^ l>e (uclisien il y a une (•(pialinii fiicbsienne, ou aiir.A lait voir :

i" (^11 l'tanl (Idiuii'c iiiie é(piation linéaire quelconque à coellicients algébriques, la variable et les intégrales peuvent s'exprimer en fonctions uniformes d'une même variable auxiliaire ;.

a° (^u'étaiil tloanée une courbe algi'brique quelconque, les coordonnées x et >' d'un point de cette courbe s'expriment en fond ions uniformes d'une même varialile auxiliaire z.

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