VI. — Subordination des types

Considérons deux ('quai ions normales

Les coefficienls » et a, sont des l'onctions rationnelles de deux variables x el )' qui sont liées entre elles par une relation alf;ébru|uc

queye sup])ose être la même pour les deux équations (i) el (i'). ,1e suppose que l'équation (i) admette p points singuliers

de telle façon que la différence des racines de l'équation déterminante relative

à (a,-, hi) soit -j; ■

Je suppose (|ue l'équation (i'^ admette les mêmes points singuliers (a,, 6,), (ao, />2)i • • • i {'-'pi l>p) '11'*^ l'équation (i) el en outre q autres points singuliers

et cela de telle sorte que la dilVérence des racines de l'équation déterminante relative à (r/,, //,) soit — •

Je suppose eiiliu (jue ]N , soit divisible par / , , INj par /.j, ..., N^ par/.p. Si /", est infini, i\, devra être aussi inlini. Si N,-= oo, la condition de divisibilité sera regardée comme renqjlie, quel que soit A,.

Je dirai alors que le tj[)e dont fait partie l'équation (i') est subordonné au type dont fait partie l'équation (i).

Soit un tj'pe fucbsien T' subordonné à un autre type fuchsien T. Je suppose que chacun d'eux contienne une équation fuchsienne; le premier l'équation E' et le second l'équation E. Soit ; le rapport des intégrales de l'équation E' et t celui des intégrales de l'équation E. 11 est aisé de voir que / est une fonction unilorme de z. Cette fonction n'existe évidemment que quand z est intérieur

au cercle fondamental. De son côté t ne peut prendre aucune valeur extérieure à ce cercle; t prend au contraire une infinité de fois toule valeur intérieure au cercle fondamental.

Soient encore [a,, b,), («j, b^), . . . , (a^, bp) les points singuliers du type T et T- la diflerence des racines de l'équation déterminante relative au point (a,-, bi). Soit F une fonction du point analytique {x,y) qui ne présente d'autre point singulier que les points (a,, />,), (rto) ^^2)1 ■■■^ («/n bp)el de telle façon qu'après A/ tours autour du point (a,, bi) la fonction reprenne sa valeur primitive. F sera par exemple une intégrale de l'équation linéaire (7) du paragraplie précédent. F sera une fonction uniforme de t et par conséquent de ;.

Mais supposons qu'on ne sache pas si le type T contient une équation fuchsienne; qu'on ne puisse pas, par conséquent, démontrer l'existence de t, mais (pi'aii contraire on sache que T' contient une équation fuclisienne et que la fonction z existe. Il est aisé de voir que F est encore une fonction uniforme de z.

Ainsi pour démontrer le résultat suivant : Les intégrales d'une équation linéaire à coefficients rationnels en x et y peui'ent s^exprimer ainsi que x et y en fonctions uniformes d'une même variable auxiliaire, il n'est pas nécessaire de faire voir que tout type fuchsien contient une équation fuclisienne; il suflil de montrer que, parmi les types suhordonnés à un type fuchsien donné, il en est toujours un qui contient une équation fuclisienne.

De là l'importance de cette notion de la subordination des types.

En particulier, considérons une équation E à coefficients rationnels et soient

ses points singuliers. Soit Â, un nouihre entier tel que toutes les racines de l'équation déterminante relative au point a, soient des multiples de j- ■ S'il n'existe pas de pareils nombres entiers, on fera /, = 00.

Au lieu d'envisager le type T qui admet les points singuliers a, , «27 •••! f'/u de telle façon que les différences des racines des équations déterminantes soient -T- , -r- , ■ ■ ■ , -j- , on pourra envisager un type T' subordonné à T. On supposera par exemple que T'admette, outre les points singuliers «,, (I2, ...,a„, p autres points singuliers quelconques b^. bi, ..-, bp, et que chacune des p -\~ n équations déterminantes correspondant à ces divers points singuliers ait une racine double.

Sl'R LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 327

Supposons que ce type T' contienne une équation fuchsienne E'; alors x sera une fonction fuchsienne du rapport z des intégrales de cette équation. La propriété caractéristique de cette fonction fuchsienne c'est de ne pouvoir prendre aucune des valeurs a,, a^-, •-,, ««, i|, ^a, ••-, bp^ et, si elle existe, il est évident que les intégrales de l'équation E seront des fonctions uniformes de ;;.

Ainsi il suffit de démonlrer que l'on peut toujours trouver une fonction fuchsienne qui ne puisse pas prendre n valeurs données (a,, a-i^ . . ., a„) pour faire voir que toutes les équations linéaires à coefficients rationnels peuvent s'intégrer en n'employant que certaines fonctions uniformes que je me réserve d'ailleurs d'étudier dans un Mémoire ultérieur.

Il en est de même des équations à coefficients algébriques, car on sait que l'intégration d'une équation à coefficients algébriques se ramène à celle d'une équation d'ordre plus élevé à coefficients rationnels.