VII. — Lemme fondamental
Aucun type fuchsien ne peut contenir plusieurs équations fuchsiennes distinctes.
Supposons en effet qu'un type T contienne deux équations fuchsiennes E et E'; soit z le rapport île deux intégrales «, et «2 de !'(''qualion E; soit t le rapport de deux intégrales u\ et u'., de Féqualion E'.
On sait que z ne peut prendre d'autres Milcurs que celles qui sinil iult'rieures à un certain cercle fondamtiilal. Ou peut Ion jours choisir les intégrales ;/,, u., u\ et «!, de telle façon : 1" que le cercle fondamental relatif à ;, de même que le cercle fondamental relatif à /, ait pour centre le point O et pour rayon l'unité; 2" que les deux variables z et t s'annulent en même temps, pour x = a par exemple; 3" que pour une autre valeur de x, pour x = b, l'argument de z soit égal à celui de /.
Tl est clair que ; scni t(Uicti(jn uniforme de t, et récipro(juemeiit que t sera
fonction unilornie de ;. H résulte alors des liypothèscs laites plus haut que -
considéré, soit comme fonction de c, soit comme fonction de t, n'existe pas à l'extérieur du cercle fondamental et qu'à l'intérieur de ce cercle, ce rapport reste holomorphe et ne peut s'annuler.
3^8 SUK LKS OROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIIIES.
Considérons par exemple - comme fonction de ;. Posons
Il = log moil -;
Il sera une l'onction de \ et de /, , liolomorphe à l'intérieur du cercle fondamental et satisfaisant à l'équation
Considérons dans le plan des ; un cercle C concentrique au cercle fondamental et ayant pour rayon /■ < i .
Le long de ce cercle, t est constamment de module inférieur à lunité, et par conséquent on a
(2) u < log mod - •
Mais toute fonction holomorphe satisfaisant à l'équation (i) ^i^^ peut devenir, à l'intérieur d'un contour quelconque, supérieure à la plus grande des valeurs qu'elle prend le long de ce contour. L'inégalité (2) subsiste donc pour tous les points intérieurs au cercle C.
Mais je puis prendre le rayon de ce cercle C aussi voisin ipie je veux de l'unité. Quand je fais tendre /■ vers l'unité, le second memhre de l'inégalité (2) tend vers zéro. Il résulte de là qu'à l'intérieur du cercle fondamental, u ne |KMit prendre aucune valeur positive; d'où
mod - Si.
Or rien ne distingue ^ de 3; on peut donc écrire aussi
mod -if,
d'où
mod ; = mod/, d'où
6 étant une constante.
Mais, par liy|)ollièse, / et :; ont même argument pour z = h; on a donc
6 = 0 et f = z.
Ainsi les deux ('quai ions E et E' ne sont pas distinctes. c. q. f. n.
SUR I,ES GROIPES DRS ÉOUATIONS LINÉAIRES. 329
Ce lemine important a été énoncé d'abord par moi dans une Communication faite à l'Académie des Sciences de Paris (Comptes rendus, t. 93, i^ octobre 1881, p. 582'''). Il l'a été depuis par M. Klein (Mathematische Annalen, Bd 21, p. 20()). AI. Klein l'élendait d'ailleurs au cas des fonctions qui existent dans un domaine limité par une infinité de cercles [cf. Mémoire sur les groupes kleinéens, § IX {Acta mathematic.a, t. 3, p. 8.'^>f-')]. Mais je ne dirai rien ici de cette extension, qui ne me serait pas utile pour mon objet.
